Математичне формулювання загальної теорії відносності

У цій статті розглядається математична основа загальної теорії відносності.

Початкові положення

Наше інтуїтивне сприйняття свідчить, що простір-час є регулярним і неперервним, тобто не має «дірок». Математично ці властивості означають, що простір-час буде моделюватися гладким диференційовним многовидом 4 вимірів ${\displaystyle M_{4}}$, тобто простором розмірності 4, для якого окіл кожної точки схожий локально на чотиривимірний евклідів простір. Гладкість тут означає достатню диференційовність, поки без уточнення її ступеня.

Оскільки крім того з хорошою точністю виконуються закони спеціальної теорії відносності, то такий многовид можна наділити лоренцевою метрикою, тобто невиродженим метричним тензором з сигнатурою ${\displaystyle \{-,+,+,+\}}$ (або, що еквівалентно, ${\displaystyle \{+,-,-,-\}}$). Значення цього розкривається в наступному розділі.

Геометрія простору-часу

NB Ця стаття дотримується класичних домовленостей щодо знаків Мізнера, Торна і Вілера^[1]

У цій статті приймається також угода Ейнштейна для підсумовування за повторюваними індексами.

Метричний тензор

Диференційовний многовид^[2] M, забезпечений лоренцевим метричним тензором g, і є таким чином лоренцевим многовидом, який є частковим випадком псевдоріманового многовида (визначення «лоренців» буде уточнено далі в тексті; див. розділ Лоренцева метрика).

Візьмемо довільну систему координат ${\displaystyle x^{\mu }}$ в околі точки ${\displaystyle P}$, і нехай ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{\mu }(x)}$ — локальний базис у дотичному просторі ${\displaystyle T_{x}M}$ до многовида ${\displaystyle M}$ у точці ${\displaystyle x\in M}$. Дотичний вектор ${\displaystyle \mathbf {w} \in T_{x}M}$ запишеться тоді як лінійна комбінація базисних векторів:

${\displaystyle \mathbf {w} \ =\ w^{\mu }\ \mathbf {e} _{\mu }.}$

При цьому величини ${\displaystyle \ w^{\mu }}$ називаються контраваріантними компонентами вектора w. Метричний тензор ${\displaystyle \mathbf {g} }$ тоді — симетрична білінійна форма:

${\displaystyle \mathbf {g} \ =\ g_{\mu \nu }(x)\ dx^{\mu }\ \otimes \ dx^{\nu },}$

де через ${\displaystyle dx^{\mu }}$ позначено дуальний відносно ${\displaystyle {\mathbf {e} }_{\mu }(x)}$ базис в кодотичному просторі ${\displaystyle T_{x}^{*}M}$, тобто такі лінійні форми на ${\displaystyle T_{x}M}$, що:

${\displaystyle dx^{\nu }({\mathbf {e} }_{\mu })\ =\ \delta _{\mu }^{\nu }.}$

Далі будемо припускати, що компоненти ${\displaystyle g_{\mu \nu }(x)}$ метричного тензора змінюються в просторі-часі неперервно^[3].

Метричний тензор, таким чином, може бути поданий дійсною симетричною матрицею 4x4:

${\displaystyle g_{\mu \nu }\ =\ g_{\nu \mu }.}$

Взагалі будь-яка дійсна матриця 4x4 має апріорі 4 x 4 = 16 незалежних елементів. Умова симетрії зменшує це число до 10: насправді, залишається 4 діагональних елементи, до яких треба додати (16 — 4)/2 = 6 недіагональних елементів. Тензор ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ має, таким чином, тільки 10 незалежними компонент.

Скалярний добуток

Метричний тензор визначає для кожної точки ${\displaystyle x\in M}$ многовида псевдо-скалярний добуток («псевдо-» в тому сенсі, що відсутня позитивна визначеність асоційованої квадратичних форм (квадрата вектора); див. Лоренцева метрика) в дотичному до різноманіття ${\displaystyle M^{}}$ в точці ${\displaystyle x}$ псевдоевклідовому просторі ${\displaystyle T_{x}M}$. Якщо ${\displaystyle \mathbf {u} }$ і ${\displaystyle \mathbf {v} }$ — два вектора ${\displaystyle T_{x}M}$, їх скалярний добуток запишеться як:

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} \ =\ \mathbf {g} (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )\ =\ g_{\mu \nu }\ u^{\mu }\ v^{\nu }}$

Зокрема, взявши два базисних вектори, отримуємо компоненти:

${\displaystyle g_{\mu \nu }\ =\ \mathbf {g} ({\mathbf {e} }_{\mu },{\mathbf {e} }_{\nu })\ =\ {\mathbf {e} }_{\mu }\cdot {\mathbf {e} }_{\nu }}$

Зауваження: якщо величини ${\displaystyle w^{\mu }}$ позначають контраваріантні компоненти вектора w, то можна визначити також його коваріантні компоненти як:

${\displaystyle w_{\mu }\ =\ \mathbf {w} \ \cdot \mathbf {e} _{\mu }.}$

Елементарна відстань — інтервал

Розглянемо вектор елементарного переміщення ${\displaystyle d\mathbf {P} \ =\ \epsilon ^{\mu }\mathbf {e} _{\mu }}$ між точкою ${\displaystyle P^{}}$ і нескінченно близькою точкою: ${\displaystyle |\epsilon ^{\mu }|\ll 1}$. Інваріантною інфінітезимальною нормою цього вектора буде дійсне число, що позначається ${\displaystyle ds^{2}}$, зване коефіцієнтом інтервалу, і рівне:

${\displaystyle ds^{2}\ =\ g_{\mu \nu }(x)\ \epsilon ^{\mu }\ \epsilon ^{\nu }}$.

Якщо позначити компоненти вектора елементарного переміщення «по фізичному» ${\displaystyle \epsilon ^{\mu }=dx^{\mu }}$, інфінітезимальний квадрат довжини (інтервалу) запишеться формально як:

${\displaystyle ds^{2}\ =\ g_{\mu \nu }(x)\ dx^{\mu }\ dx^{\nu }}$

Увага: в цій формулі, а також і далі, ${\displaystyle dx^{\mu }}$ є дійсним числом, що інтерпретується як фізично «інфінітезимальна зміна» координати ${\displaystyle x^{\mu }}$, а не як диференціальна форма!

Лоренцева метрика

Докладніше: Метрика Лоренца

Уточнимо тепер вираз «лоренцева» (точніше «локально лоренцева»), який означає, що метричний тензор має сигнатуру (1,3) і локально збігається в першому порядку з лоренцевою метрикою спеціальної теорії відносності. Принцип еквівалентності стверджує, що можна «стерти» локально поле гравітації, вибираючи локально інерційну систему координат. З математичної точки зору такий вибір є переформулюванням відомої теореми про можливість зведення квадратичної форми до головних осей.

У такий локально інерційній системі координат ${\displaystyle X^{\alpha }}$ інваріант ${\displaystyle ds^{2}}$ у точці ${\displaystyle P}$ запишеться як:

${\displaystyle ds^{2}\ =\ \eta _{\alpha \beta }\ dX^{\alpha }\ dX^{\beta }\ =\ -\ c^{2}\,dT^{2}\,+\,dX^{2}\,+\,dY^{2}\,+\,dZ^{2},}$

де ${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }}$ є метрикою простору-часу Мінковського, а в малому околі цієї точки

${\displaystyle ds^{2}\ =\ (\eta _{\alpha \beta }+\delta _{\alpha \beta })\ dX^{\alpha }\ dX^{\beta },}$

де ${\displaystyle \delta _{\alpha \beta }}$ має мінімум другий порядок малості за відхиленнями від координат точки ${\displaystyle P}$, тобто ${\displaystyle \delta _{\alpha \beta }|_{P}=0,\ \left.{\frac {\partial \delta _{\alpha \beta }}{\partial X^{\alpha }}}\right|_{P}=0}$. Приймаючи домовленість щодо знаків Мізнера, Торна і Вілера, маємо^[1]:

${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }\ =\ \mathrm {diag} \ (-1,\,+1,\,+1,\,+1\,)}$

Далі використовуються такі звичайні домовленості:

• грецькі індекси змінюються від 0 до 3. Вони відповідають величинам у просторі-часі.
• латинські індекси змінюються від 1 до 3. Вони відповідають просторовим складовим величин у просторі-часі.

Наприклад, 4-вектор стану запишеться в локально інерційній системі координат як:

${\displaystyle X^{\alpha }\ =\ \left({\begin{matrix}X^{0}\\X^{i}\end{matrix}}\right)\ =\ \left({\begin{matrix}X^{0}\\X^{1}\\X^{2}\\X^{3}\end{matrix}}\right)\ =\ \left({\begin{matrix}c\,T\\X\\Y\\Z\end{matrix}}\right).}$

Увага: насправді скінченні, а не інфінітезимальні прирости координат не утворюють вектора. Вектор з них виникає лише в однорідному просторі нульової кривини і тривіальної топології.

Лоренців характер многовида ${\displaystyle M^{}}$ забезпечує, таким чином, те, що дотичні до ${\displaystyle M^{}}$ у кожній точці псевдоевклідового простору будуть мати псевдоскалярні добутки («псевдо-» в тому сенсі, що відсутня додатна визначеність асоційованої квадратичної форми (квадрата вектора)) з трьома строго додатними власними значеннями (що відповідають простору) і одним строго від'ємним власним значенням (відповідним часу). Зокрема, елементарний інтервал «власного часу», що відокремлює дві послідовні події, завжди:

${\displaystyle d\tau ^{2}\ =\ -{\frac {ds^{2}}{c^{2}}}\ >\ 0.}$

Загальні поняття афінної зв'язності і коваріантної похідної

Узагальнено, афінною зв'язністю називається оператор ${\displaystyle \nabla }$, який приводить у відповідність векторному полю ${\displaystyle \mathbf {V} }$ з дотичного пучка ${\displaystyle TM}$ поле ендоморфізмів ${\displaystyle \nabla \mathbf {V} }$ цього пучка. Якщо ${\displaystyle {\mathbf {w} }\in T_{x}M}$ — дотичний вектор у точці ${\displaystyle x\in M}$, зазвичай позначають

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }\ \mathbf {V} (x)\ =\ \nabla \mathbf {V} (x,\mathbf {w} ).}$

Кажуть, що ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {V} }$ є «коваріантною похідною» вектора ${\displaystyle \mathbf {V} }$ в напрямку ${\displaystyle {\mathbf {w} }}$. Припустимо до того ж, що ${\displaystyle \nabla \mathbf {V} }$ задовольняє додатковій умові: для будь-якої функції f виконується

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }(f\mathbf {V} )\ =\ f\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {V} \ +\ df(\mathbf {w} )\ \mathbf {V} }$

Ковариантная похідна задовольняє таким двом властивостям лінійності:

• лінійність за w, тобто, якими б не були поля векторів w і u і дійсні числа a і b, ми маємо:

${\displaystyle \nabla _{(a\mathbf {w} +b\mathbf {u} )}\mathbf {V} \ =\ a\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {V} \ +\ b\ \nabla _{\mathbf {u} }\mathbf {V} .}$

• лінійність за V, тобто, якими б не були поля векторів X і дійсні числа a і b, ми маємо:

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }(a\mathbf {X} +b\mathbf {Y} )\ =\ a\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {X} \ +b\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {Y} .}$

Як тільки коваріантну похідну визначено для полів векторів, її можна поширити на тензорні поля з використанням правила Лейбніца: якщо ${\displaystyle \mathbf {T} }$ і ${\displaystyle \mathbf {S} }$ — два будь-яких тензори, то за визначенням:

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }(\mathbf {T} \otimes \mathbf {S} )\ =\ (\nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {T} )\otimes \mathbf {S} \ +\ \mathbf {T} \otimes (\nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {S} )}$

Коваріантна похідна поля тензора вздовж вектора w є знову поле тензора того ж типу.

Зв'язність, асоційована з метрикою

Можна довести, що зв'язність, асоційована з метрикою — зв'язність Леві-Чивіти [Архівовано 9 квітня 2016 у Wayback Machine.], є єдиною зв'язністю, яка, крім попередніх умов, додатково забезпечує те, що для будь-яких полів векторів X, Y, Z з TM

• ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }(\mathbf {g} (\mathbf {Y} ,\mathbf {Z} ))\ =\ \mathbf {g} (\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {Y} ,\mathbf {Z} )\ +\ \mathbf {g} (\mathbf {Y} ,\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {Z} )}$ (метричність — тензор неметричності дорівнює нулю).

• ${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {Y} \ -\ \nabla _{\mathbf {Y} }\mathbf {X} \ =\ [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}$, де ${\displaystyle [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}$ — комутатор Лі від X і Y (відсутність кручення — тензор кручення дорівнює нулю).

Опис у координатах

Коваріантна похідна вектора є вектор, і, таким чином, її можна виразити як лінійну комбінацію всіх базисних векторів:

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }V\ =\ \left[\,\nabla _{\mathbf {w} }V\,\right]^{\rho }\ \mathbf {e} _{\rho }\ =\ \Gamma ^{\rho }\ \mathbf {e} _{\rho },}$

де ${\displaystyle \Gamma ^{\rho }}$ є компонентами вектора коваріантної похідної в напрямку ${\displaystyle \mathbf {e} _{\rho }}$ (ця складова залежить від вибраного вектора w).

Щоб описати коваріантну похідну, досить описати її для кожного з базисних векторів ${\displaystyle \mathbf {e} _{\nu }}$ вздовж напрямку ${\displaystyle \mathbf {e} _{\mu }}$. Визначимо тоді символи Крістофеля (або просто крістофелі) ${\displaystyle \Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu },}$ залежні від 3 індексів^[4]

${\displaystyle \nabla _{\mu }{\mathbf {e} }_{\nu }\ =\ \nabla _{{\mathbf {e} }_{\mu }}{\mathbf {e} }_{\nu }\ =\ \Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }\ {\mathbf {e} }_{\rho }}$

Зв'язність Леві-Чивіти повністю характеризується своїми символами Крістофеля. Згідно з загальною формулою

${\displaystyle \nabla _{\mathbf {w} }(f\mathbf {V} )\ =\ f\ \nabla _{\mathbf {w} }\mathbf {V} \ +\ df(\mathbf {w} )\ \mathbf {V} }$

для вектора V:

${\displaystyle \nabla _{\mu }\mathbf {V} \ =\ \nabla _{\mu }(V^{\nu }\mathbf {e} _{\nu })\ =\ V^{\nu }\ (\nabla _{\mu }\mathbf {e} _{\nu })\ +\ dV^{\nu }(\mathbf {e} _{\mu })\ \mathbf {e} _{\nu }.}$

Знаючи, що ${\displaystyle dV^{\nu }(\mathbf {e} _{\mu })=\partial _{\mu }V^{\nu }}$, отримуємо:

${\displaystyle \nabla _{\mu }\mathbf {V} \ =\ V^{\nu }\ \Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }\ {\mathbf {e} }_{\rho }\ +\ \partial _{\mu }V^{\nu }\ \mathbf {e} _{\nu }}$

Перший член цієї формули описує «деформацію» системи координат відношенню коваріантної похідної, а другий — зміни координат вектора V. При підсумовуванні за німими індексами можна переписати це співвідношення у формі

${\displaystyle \nabla _{\mu }\mathbf {V} \ =\ \left[\,V^{\rho }\ \Gamma ^{\nu }{}_{\mu \rho }\ +\ \partial _{\mu }V^{\nu }\,\right]\ \mathbf {e} _{\nu }}$

З цього одержуємо важливу формулу для компонент:

${\displaystyle \nabla _{\mu }\mathbf {V} ^{\nu }\ =\ \left[\,\nabla _{\mu }\mathbf {V} \,\right]^{\nu }\ =\ \partial _{\mu }V^{\nu }\ +\ \Gamma _{~\mu \rho }^{\nu }\ V^{\rho }}$

Використовуючи формулу Лейбніца, так само можна продемонструвати, що:

${\displaystyle \nabla _{\mu }\mathbf {V} _{\nu }\ =\ \partial _{\mu }V_{\nu }\ -\ \Gamma _{~\mu \nu }^{\rho }\ V_{\rho }.}$

Щоб обчислити ці складові в явній формі, вирази для символів Крістофеля слід визначити, виходячи з метрики. Їх легко отримати, написавши такі умови:

${\displaystyle \nabla _{\mu }\ \mathbf {g} _{\nu \rho }\ =\ 0.}$

Розрахунок цієї коваріантної похідної приводить до

${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\rho \sigma }\ =\ {\frac {1}{2}}\ g^{\mu \nu }\ \left(\partial _{\sigma }g_{\nu \rho }\ +\ \partial _{\rho }g_{\nu \sigma }\ -\ \partial _{\nu }g_{\rho \sigma }\right),}$

де ${\displaystyle g^{\mu \nu }\ }$ — компоненти «оберненого» метричного тензора, визначені рівняннями

${\displaystyle g^{\mu \nu }\ g_{\nu \rho }\ =\ \delta ^{\mu }{}_{\rho }}$

Символи Крістофеля «симетричні»^[5] відносно нижніх індексів: ${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\rho \sigma }=\Gamma ^{\mu }{}_{\sigma \rho }.\ }$

Зауваження: інколи визначаються також такі символи:

${\displaystyle \Gamma _{\nu \rho \sigma }\ =\ {\frac {1}{2}}\ \left(\partial _{\sigma }g_{\nu \rho }\ +\ \partial _{\rho }g_{\nu \sigma }\ -\ \partial _{\nu }g_{\rho \sigma }\right)}$

одержувані як:

${\displaystyle \Gamma ^{\mu }{}_{\rho \sigma }\ =\ g^{\mu \nu }\ \Gamma _{\nu \rho \sigma }}$

Тензор кривини Рімана

Тензор кривини Рімана R — тензор 4-ї валентності, визначений для будь-яких векторних полів X, Y, Z з M як

${\displaystyle \mathbf {R} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )\mathbf {Z} \ =\ \nabla _{\mathbf {X} }\,(\nabla _{\mathbf {Y} }\mathbf {Z} )\ -\ \nabla _{\mathbf {Y} }\,(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {Z} )\ -\ \nabla _{[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}\mathbf {Z} \;.}$

Його компоненти в явній формі виражаються з метричних коефіцієнтів:

${\displaystyle R_{\mu \nu \rho \sigma }\ =\ {\frac {1}{2}}\left(\partial _{\nu \rho }^{2}g_{\mu \sigma }\ +\ \partial _{\mu \sigma }^{2}g_{\nu \rho }\ -\ \partial _{\nu \sigma }^{2}g_{\mu \rho }\ -\ \partial _{\mu \rho }^{2}g_{\nu \sigma }\right)\ +}$

${\displaystyle +\ g_{\lambda \tau }\left(\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \rho }\Gamma ^{\tau }{}_{\mu \sigma }\ -\ \Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }\Gamma ^{\tau }{}_{\mu \rho }\right)\;.}$

Симетрії цього тензора:

${\displaystyle R_{\mu \nu \rho \sigma }\ =\ R_{\rho \sigma \mu \nu }\;,}$

${\displaystyle R_{\mu \nu \rho \sigma }\ =\ -\ R_{\nu \mu \rho \sigma }\ =\ -\ R_{\mu \nu \sigma \rho }\;.}$

Він задовольняє також таким співвідношенням:

${\displaystyle R_{\mu \nu \rho \sigma }\ +\ R_{\mu \sigma \nu \rho }\ +\ R_{\mu \rho \sigma \nu }\ =\ 0.}$

Тензор кривини Річчі

Тензор Річчі — тензор валентності 2, визначений згорткою тензора кривини Рімана

${\displaystyle R_{\mu \nu }\ =\ g^{\rho \sigma }\ R_{\rho \mu \sigma \nu }\ =\ R_{~\mu \sigma \nu }^{\sigma }\;.}$

Його компоненти в явному вигляді через символи Крістофеля:

${\displaystyle R_{\mu \nu }\ =\ \partial _{\rho }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }\ -\ \partial _{\nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \rho }\ +\ \Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }\Gamma ^{\sigma }{}_{\rho \sigma }\ -\ \Gamma ^{\sigma }{}_{\mu \rho }\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }\;.}$

Цей тензор симетричний: ${\displaystyle R_{\mu \nu }\ =\ R_{\nu \mu }\ }$.

Скалярна кривина

Скалярна кривина є інваріантом, що визначається згорткою тензора Річчі з метрикою

${\displaystyle R\ =\ g^{\mu \nu }\ R_{\mu \nu }\ =\ R_{~\nu }^{\nu }.}$

Рівняння Ейнштейна

Рівняння гравітаційного поля, які називаються рівняннями Ейнштейна, записуються так

${\displaystyle R_{\mu \nu }\ -\ {\frac {1}{2}}\,g_{\mu \nu }\,R\ +\ \Lambda \ g_{\mu \nu }\ =\ {\frac {8\pi G}{c^{4}}}\ T_{\mu \nu },}$

або так

${\displaystyle G_{\mu \nu }\ +\ \Lambda \ g_{\mu \nu }\ =\ {\frac {8\pi G}{c^{4}}}\ T_{\mu \nu },}$

де ${\displaystyle \Lambda }$ — космологічна стала, ${\displaystyle c}$ — швидкість світла у вакуумі, ${\displaystyle G}$ — гравітаційна стала, яка з'являється також у законі всесвітнього тяжіння Ньютона, ${\displaystyle G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }\ -\ {\frac {1}{2}}\,g_{\mu \nu }\,R}$ — тензор Ейнштейна, а ${\displaystyle T_{\mu \nu }}$ — тензор енергії-імпульсу.

Симетричний тензор ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$ має тільки 10 незалежних складових, тензорне рівняння Ейнштейна в заданій системі координат еквівалентне системі 10 скалярних рівнянь. Ця система 10 пов'язаних нелінійних рівнянь у часткових похідних у більшості випадків дуже складна для вивчення.

Тензор енергії-імпульсу

Тензор енергії-імпульсу може бути записаний у вигляді дійсної симетричної матриці 4x4:

${\displaystyle T_{\mu \nu }\ =\ \left({\begin{matrix}T_{00}&T_{01}&T_{02}&T_{03}\\T_{10}&T_{11}&T_{12}&T_{13}\\T_{20}&T_{21}&T_{22}&T_{23}\\T_{30}&T_{31}&T_{32}&T_{33}\end{matrix}}\right).}$

У ньому виявляються такі фізичні величини:

• T₀₀ — об'ємна густина енергії. Вона має бути додатною.
• T₁₀, T₂₀, T₃₀ — густини компонент імпульсу.
• T -₀₁, T -₀₂, T₀₃ — компоненти потоку енергії.
• Підматриця 3 x 3 з чисто просторових компонент:

${\displaystyle T_{ik}\ =\ \left({\begin{matrix}T_{11}&T_{12}&T_{13}\\T_{21}&T_{22}&T_{23}\\T_{31}&T_{32}&T_{33}\end{matrix}}\right)}$

 — матриця потоків імпульсів. У механіці рідини діагональні компоненти відповідають тиску, а решта складових — тангенціальним зусиллям (напругам або, в старій термінології — натягам), викликаним в'язкістю.

Для рідини у спокої тензор енергії-імпульсу зводиться до діагональної матриці ${\displaystyle {\rm {diag}}({{\rho }c^{2}},~p,~p,~p)}$, де ${\displaystyle {\rho }}$ є густина маси, а ${\displaystyle p}$ — гідростатичний тиск.