Космологічна стала

У космології космологічна костанта (зазвичай позначається грецькою великою літерою лямбда: Λ), яку також називають космологічною сталою Ейнштейна, — це коефіцієнт, який Альберт Ейнштейн спочатку додав до своїх рівнянь загальної теорії відносності. Згодом він його вилучив; проте значно пізніше його було відновлено для вираження густини енергії простору, або енергії вакууму, що виникає в квантовій механіці. Вона тісно пов'язана з концепцією темної енергії^[a].

Ескіз хрогологія Всесвіту в моделі ΛCDM. Прискорене розширення в останній третині часової шкали відображає еру домінування темної енергії.

Ейнштейн ввів цю константу 1917 року^[1], щоб збалансувати ефект гравітації та досягти статичного Всесвіту^[en], що тоді й було прийнято. Космологічна константа Ейнштейна була відкинута після того, як Едвін Габбл підтвердив, що Всесвіт розширюється^[2], з 1930-х до кінця 1990-х років більшість фізиків вважали космологічну константу рівною нулю^[b]. Ситуація змінилася 1998 року з відкриттям, що розширення Всесвіту прискорюється, що означає, що космологічна константа все ж може мати додатне значення^[c].

З 1990-х років дослідження показали, що, якщо припустити космологічний принцип, близько 68 % густини маси-енергії Всесвіту можна віднести до темної енергії^[3][4][5]. Космологічна стала Λ є найпростішим можливим поясненням темної енергії та використовується у стандартній моделі космології, відомій як модель ΛCDM.

Згідно з квантовою теорією поля (КТП), яка лежить в основі сучасної фізики елементарних частинок, порожній простір визначається вакуумним станом, який складається з набору квантових полів. Усі ці квантові поля демонструють флуктуації в своєму основному стані (найнижча густина енергії), що виникають через нульову енергію, що існує всюди в просторі. Ці флуктуації нульової точки повинні вносити свій внесок у космологічну константу Λ, але фактичні розрахунки призводять до величезної енергії вакууму^[6]. Розбіжність між теоретичною енергією вакууму, отриманою на основі квантової теорії поля, та спостережуваною енергією вакууму, отриманою на основі космології, є джерелом серйозних суперечок, оскільки прогнозовані значення перевищують спостережувані приблизно на 120 разів. Ця розбіжність була названа «найгіршим теоретичним прогнозом в історії фізики!»^[d]. Ця проблема називається проблемою космологічної константи і є однією з найбільших загадок науки, причому багато фізиків вважають, що «вакуум є ключем до повного розуміння природи»^[e].

Історія

Космологічна константа була вперше введена в статті Ейнштейна 1917 року під назвою «Космологічні міркування в загальній теорії відносності»^[1]. Ейнштейн включив космологічну константу як термін у свої рівняння поля для загальної теорії відносності, оскільки був незадоволений тим, що інакше його рівняння не допускали статичного Всесвіту: гравітація спричиняла б стискання Всесвіту, який спочатку не розширювався. Щоб протидіяти цій можливості, Ейнштейн додав космологічну константу^[2]. Однак Ейнштейн не був задоволений додаванням цього космологічного терміна. Пізніше він заявив: «З моменту введення цього терміна мене завжди мучила нечиста совість… Я не можу повірити, що така потворна річ насправді реалізується в природі»^[7]. Статичний Всесвіт Ейнштейна нестійкий до збурень щільності матерії^[8]. Крім того, без космологічної константи Ейнштейн міг би виявити розширення Всесвіту до спостережень Габбла^[9].

1929 року, невдовзі після того, як Ейнштейн розробив свою статичну теорію, спостереження Едвіна Габбла^[9] показали, що Всесвіт, здається, розширюється; це узгоджувалося з космологічним рішенням початкових рівнянь загальної теорії відносності, яке знайшов математик Александр Фрідман, працюючи над рівняннями Ейнштейна загальної теорії відносності. Ейнштейн, як повідомляється, називав свою нездатність прийняти підтвердження своїх рівнянь — коли вони передбачали розширення Всесвіту теоретично, перш ніж це було продемонстровано спостереженням космологічного червоного зміщення — своєю «найбільшою помилкою» (за словами Георгія Гамова)^[f].

Виявилося, що додавання космологічної константи до рівнянь Ейнштейна не призводить до статичного Всесвіту у рівновазі, оскільки рівновага нестабільна: якщо Всесвіт трохи розширюється, то розширення вивільняє енергію вакууму, що викликає ще більше розширення. Аналогічно, Всесвіт, який трохи стискається, продовжуватиме стискатися^[10].

Однак космологічна стала залишалася предметом теоретичного та емпіричного інтересу. Емпірично, космологічні дані останніх десятиліть переконливо свідчать про те, що наш Всесвіт має додатну космологічну сталу^[g]. Пояснення цього невеликого, але позитивного значення є теоретичною проблемою, так званою проблемою космологічної сталої.

Деякі ранні узагальнення теорії гравітації Ейнштейна, відомі як класичні об'єднані теорії поля^[en], або вводили космологічну константу на теоретичних підставах, або виявляли, що вона природним чином виникла з математики. Наприклад, Артур Еддінгтон стверджував, що версія рівняння вакуумного поля з космологічною константою виражає «епістемологічну» властивість, що Всесвіт «самокалібрується^[en]», а чисто афінна теорія Ервіна Шредінгера, що використовувала простий варіаційний принцип^[en], створила рівняння поля з космологічним компонентом^[11][12].

У 1990-х роках Сол Перлмуттер з Національної Лабораторії імені Лоуренса в Берклі, Браян Шмідт з Австралійського Національного Університету та Адам Рісс з Наукового Інституту Космічного Телескопа шукали наднови типу Ia. У той час вони очікували спостерігати уповільнення наднових, спричинене гравітаційним притяганням маси, згідно з гравітаційною теорією Ейнштейна. Перші звіти, опубліковані в липні 1997 року в рамках проєкту «Космологія наднових», використовували спостереження наднових для підтвердження такої гіпотези уповільнення. Але незабаром вони виявили, що наднові зірки віддаляються з прискоренням. 1998 року обидві команди оголосили про цей дивовижний результат. Це означало, що Всесвіт зазнає прискореного розширення. Для пояснення такого прискорення необхідна космологічна константа^[13]. Після цього відкриття космологічна константа була знову вставлена в рівняння загальної теорії відносності.

Послідовність подій 1915—1998

• 1915 року Ейнштейн публікує свої рівняння загальної теорії відносності без космологічної константи Λ.
• 1917 року Ейнштейн додає параметр Λ до своїх рівнянь, коли усвідомлює, що його теорія передбачає динамічний Всесвіт, для якого простір є функцією часу. Потім він надає цій константі значення, яке робить його модель Всесвіту статичною та вічною (статичний Всесвіт Ейнштейна).
• 1922 року російський фізик Олександр Фрідман математично показав, що рівняння Ейнштейна (незалежно від Λ) залишаються справедливими в динамічному Всесвіті.
• 1927 року бельгійський астрофізик Жорж Леметр показав, що Всесвіт розширюється, поєднавши загальну теорію відносності з астрономічними спостереженнями, зокрема спостереженнями Габбла.
• 1931 року Ейнштейн приймає теорію Всесвіту, що розширюється, і згодом, 1932 року разом з голландським фізиком та астрономом Віллемом де Сіттером пропонує модель Всесвіту, що безперервно розширюється, з нульовою космологічною постійною (простір-час Ейнштейна-де Сіттера).
• 1998 року дві команди астрофізиків, Проєкт космології наднових та High-Z Supernova Search Team, провели вимірювання далеких наднових, які показали, що швидкість віддалення галактик відносно Чумацького Шляху збільшується з часом. Всесвіт перебуває в прискореному розширенні, що вимагає наявності суворо позитивного значення Λ. Всесвіт містив би темну енергію, що створює силу відштовхування, яка врівноважує гравітаційне гальмування, спричинене матерією, що міститься у Всесвіті (див. Стандартну космологічну модель).
  За цю роботу Перлмуттер, Шмідт і Рісс спільно отримали Нобелівську премію з фізики 2011 року.

Рівняння

Докладніше: Темна енергія та Космічна інфляція

Орієнтовні співвідношення темної матерії та темної енергії (яка може бути космологічною константою) у Всесвіті. Це зображення створено NASA на основі даних WMAP за 9 років. Це остаточна версія WMAP.

Космологічна стала Λ входить до рівнянь поля Ейнштейна у вигляді $${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\tfrac {1}{2}}R\,g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu },}$$де тензор Річчі R_μν, скаляр Річчі R та метричний тензор g_μν описують структуру простору-часу, тензор напружень-енергії T_μν описує густину енергії, густину імпульсу та напруження в цій точці простору-часу, а κ = 8πG/c⁴. Гравітаційна стала G та швидкість світла c є універсальними константами. Коли Λ дорівнює нулю, це зводиться до рівняння поля загальної теорії відносності, яке зазвичай використовувалося в 20 столітті. Коли T_μν дорівнює нулю, рівняння поля описує порожній простір (вакуум).

Космологічна стала має такий самий ефект, як і власна густина енергії вакууму, ρ _vac (і пов'язаний з нею тиск). У цьому контексті її зазвичай переносять у праву частину рівняння, використовуючи Λ = κρ_vac. Зазвичай значення густини енергії наводять безпосередньо, хоча все ще використовують назву «космологічна стала». Розмірність Λ зазвичай розуміється як довжина⁻².

Використовуючи одиниці Планка та значення, розраховане 2025 року для постійної Габбла H₀ = 76,5±2,2 (км/с)/Мпк = (2,48±0,07)×10⁻¹⁸ s^−1[14], Λ має значення $${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda =3\,\left({\frac {\,H_{0}\,}{c}}\right)^{2}\Omega _{\Lambda }&=1.4657\times 10^{-52}\ {\text{m}}^{-2}\\&=3.827\times 10^{-123}\,l_{\text{P}}^{-2}\end{aligned}}}$$ де ${\textstyle l_{\text{P}}}$ — планківська довжина. Додатна густина енергії вакууму, що є результатом космологічної константи, передбачає негативний тиск, і навпаки. Якщо густина енергії додатна, пов'язаний з нею негативний тиск призведе до прискореного розширення Всесвіту, як це спостерігається.

Параметр щільності Ω

Безрозмірний параметр щільності Ω представляє собою відношення фактичної щільності компонента Всесвіту до критичної щільності. Загальний параметр щільності для плаского Всесвіту^[15] можна виразити так:$${\displaystyle \Omega _{\text{total}}=\Omega _{m}+\Omega _{\Lambda }+\Omega _{k}=1}$$Де:

• Ω _m — параметр щільності матерії (включаючи як баріонну, так і темну матерію);
• Ω _Λ — параметр щільності темної енергії (космологічна константа);
• Ω _k описує кривизну Всесвіту, яка дорівнює 0 у плоскому Всесвіті.

Замість самої космологічної константи, космологи часто посилаються на співвідношення між щільністю енергії, зумовленою космологічною постійною, та критичною щільностю Всесвіту, переломним моментом для достатньої щільності, щоб зупинити розширення Всесвіту назавжди (параметр щільності темної енергії). Це співвідношення оцінюється в 0,714, згідно з результатами 2018 року, опублікованими Planck Collaboration та чітко згаданими на WMAP^[16][17]. Більш інтуїтивно цей параметр можна описати як частку Всесвіту, яка складається з темної енергії. Це значення змінюється з часом: критична щільність змінюється з космологічним часом^[en], але щільність енергії, зумовлена космологічною постійною, залишається незмінною протягом усієї історії Всесвіту, оскільки кількість темної енергії збільшується зі зростанням Всесвіту, але кількість матерії не збільшується^[18][19][20].

Космологічне Рівняння стану

Докладніше: Космологічне Рівняння стану^[en]

Ще одне співвідношення, яке використовують вчені, — це рівняння стану, яке зазвичай позначається w, і яке є відношенням тиску, який темна енергія чинить на Всесвіт, до енергії на одиницю об'єму^[21]. Це співвідношення дорівнює w = −1 для космологічної константи, що використовується в рівняннях Ейнштейна; альтернативні змінні в часі форми вакуумної енергії, такі як квінтесенція, зазвичай використовують інше значення. Значення w = −1,028±0,032, виміряне 2018 року, Planck Collaboration^[17], узгоджується з −1, якщо припустити, що w не змінюється з космічним часом.

Значення

ΛCDM, прискорене розширення Всесвіту. Часова шкала на цій схематичній діаграмі простягається від епохи Великого вибуху/інфляції 13,7 млрд років тому до сучасного космологічного часу.

Спостереження залежності відстані від червоного зміщення для наднових типу Ia^[h], оголошені 1998 року показали, що розширення Всесвіту прискорюється, якщо припустити космологічний принцип^[3][4]. У поєднанні з вимірюваннями космічного мікрохвильового фонового випромінювання це дало значення Ω_Λ ≈ 0,7 ^[22], результат, який був підтверджений та уточнений новішими вимірюваннями^[23] (а також попередніми роботами^[24][25]). Якщо припустити космологічний принцип, як у випадку всіх моделей, що використовують метрику Фрідмана-Леметра-Робертсона-Вокера, хоча існують інші можливі причини прискорення Всесвіту, такі як квінтесенція, космологічна константа в більшості випадків є найпростішим рішенням. Таким чином, модель Лямбда-CDM, сучасна стандартна модель космології, яка використовує метрику FLRW, включає космологічну константу, яка вимірюється приблизно на рівні 10⁻⁵² m⁻². Його можна виразити як 10⁻³⁵ s⁻² (множенням на c² ≈ 10¹⁷ m²⋅s⁻²) або як ¹⁰⁻¹²² ℓ _P ^−2[26] (де ℓ _P — планківська довжина). Значення базується на нещодавніх вимірюваннях густини енергії вакууму, ρ_vac = 5,96×10⁻²⁷ кг/м³ ≘ 5,3566×10⁻¹⁰ Дж/м³ = 3,35 ГеВ/м^3[i].^[27] Однак, через напруження Габбла та диполь реліктового випромінювання, нещодавно було запропоновано, що космологічний принцип більше не діє в пізньому Всесвіті, і що метрика FLRW порушується^[28][29][30], тому можливо, що спостереження, які зазвичай відносять до Всесвіту, що прискорюється, є просто результатом того, що космологічний принцип не діє в пізньому Всесвіті^[31][32].

Як нещодавно було показано в роботах 'т Гофта, Сасскінда та інших, додатна космологічна константа має дивовижні наслідки, такі як скінченна максимальна ентропія спостережуваного Всесвіту (див. Голографічний принцип)^[33].

Прогнози

Квантова теорія поля

Докладніше: Квантова теорія поля

Нерозв'язана проблема фізики: Чому нульова енергія квантового вакууму не спричиняє великої космологічної константи? Що її нівелює? (більше нерозв'язаних проблем фізики)

Головною невирішеною проблемою є те, що більшість квантових теорій поля передбачають величезне значення для квантового вакууму. Поширеним припущенням є те, що квантовий вакуум еквівалентний космологічній константі. Хоча не існує теорії, яка б підтверджувала це припущення, можна навести аргументи на його користь^[34].

Такі аргументи зазвичай ґрунтуються на аналізі розмірностей та ефективній теорії поля^[en]. Якщо Всесвіт описується ефективною локальною квантовою теорією поля аж до планківського масштабу, то ми очікуємо космологічної константи порядку ${\textstyle M_{\rm {pl}}^{2}}$ (1 у зменшених одиницях Планка). Як зазначалося вище, виміряна космологічна стала менша за це в ~10¹²⁰. Цю розбіжність назвали «найгіршим теоретичним передбаченням в історії фізики»^[j].

Деякі суперсиметричні теорії вимагають космологічної константи, яка точно дорівнює нулю, що ще більше ускладнює ситуацію. Це проблема космологічної константи, найгірша проблема точного налаштування^[en] у фізиці: не існує відомого природного способу виведення крихітної космологічної константи, що використовується в космології, з фізики елементарних частинок.

Жоден вакуум у ландшафті теорії струн^[en] не відомий, щоб підтримувати метастабільну, позитивну космологічну константу, і 2018 року група з чотирьох фізиків висунула суперечливу гіпотезу, яка означала б, що такого Всесвіту не існує^[en][35].

Антропний принцип

Докладніше: Антропний принцип

Одне з можливих пояснень малого, але ненульового значення було зазначено Стівеном Вайнбергом 1987 року, дотримуючись антропного принципу^[36]. Вайнберг пояснює, що якби енергія вакууму приймала різні значення в різних областях Всесвіту, то спостерігачі обов'язково вимірювали б значення, подібні до тих, що спостерігаються: формування життєзабезпечуючих структур було б пригнічено в областях, де енергія вакууму набагато більша. Зокрема, якщо енергія вакууму негативна, а її абсолютне значення значно більше, ніж воно здається у спостережуваному Всесвіті (скажімо, в 10 разів більше), за умови, що всі інші змінні (наприклад, щільність матерії) залишаються постійними, це означало б, що Всесвіт замкнутий; крім того, його час життя був би коротшим за вік нашого Всесвіту, можливо, занадто коротким для формування розумного життя. З іншого боку, Всесвіт з великою позитивною космологічною постійною розширювався б занадто швидко, запобігаючи утворенню галактик. За словами Вайнберга, області, де енергія вакууму сумісна з життям, були б порівняно рідкісними. Використовуючи цей аргумент, Вайнберг передбачив, що космологічна стала матиме значення, менше ніж у сто разів більше від прийнятого на даний момент значення^[37]. 1992 року Вайнберг уточнив це передбачення космологічної постійної до значення, яке в 5–10 разів перевищує щільність матерії^[38].

Цей аргумент залежить від того, чи є щільність енергії вакууму постійною в усьому просторі-часі, як і очікувалося б, якби темна енергія була космологічною константою. Немає жодних доказів того, що енергія вакууму змінюється, але це може бути так, якщо, наприклад, енергія вакууму є (навіть частково) потенціалом скалярного поля, такого як залишковий інфлятон (див. також Квінтесенцію). Інший теоретичний підхід, який розглядає це питання, — це теорії мультивсесвіту, які передбачають велику кількість «паралельних» всесвітів з різними законами фізики та/або значеннями фундаментальних констант. Знову ж таки, антропний принцип стверджує, що ми можемо жити лише в одному з всесвітів, який сумісний з певною формою розумного життя. Критики стверджують, що ці теорії, коли їх використовують як пояснення для точного налаштування, допускають зворотню оману гравця.

1995 року аргумент Вайнберга був уточнений Олександром Віленкіним, щоб передбачити значення космологічної константи, яке лише в десять разів перевищує щільність матерії^[39], тобто приблизно втричі більшим за поточне значення, яке було визначено пізніше.

Неможливість виявити темну енергію

Спроба безпосередньо спостерігати та пов'язувати кванти чи поля, такі як частинка-хамелеон^[en] чи теорія симетрона^[en], з темною енергією в лабораторних умовах не змогла виявити нову силу^[40]. Висновок про наявність темної енергії через її взаємодію з баріонами в космічному мікрохвильовому фоні також призвів до негативного результату^[41], хоча поточні аналізи були проведені лише в режимі лінійних збурень. Також можливо, що складність виявлення темної енергії пов'язана з тим, що космологічна константа описує існуючу, відому взаємодію (наприклад, електромагнітне поле)^[42].

Див. також

• Нерозв'язані проблеми сучасної фізики
• Модель Лямбда-CDM
• Модель де Сіттера
• Великий розрив
• Механізм Гіґґса
• Проблема калібрувальної ієрархії
• Квантова електродинаміка
• Ефект Унру

Примітки

1. Цілком можливо, що темна енергія пояснюється статичною космологічною сталою, або що ця таємнича енергія зовсім не є постійною і змінювалася з часом, як у випадку з квінтесенцією, див., наприклад:

   • «Фізика пропонує ідею, що простір містить енергію, гравітаційний ефект якої наближається до космологічної константи Ейнштейна, (Λ); сьогодні ця концепція називається темною енергією або квінтесенцією». Peebles та Ratra, (2003), с. 1
   • «Тоді здається, що космологічна рідина домінує над якоюсь фантастичною щільністю енергії, яка має негативний тиск і тільки сьогодні почала відігравати важливу роль. Поки що не існує переконливої теорії, яка б пояснювала такий стан речей, хоча космологічні моделі, засновані на компоненті темної енергії, такі як космологічна константа (Λ) або квінтесенція (Q), є провідними кандидатами». Caldwell, (2002), с. 2
2. Щодо космологічної константи, яка, як вважається, має нульове значення, див., наприклад:

   • «Оскільки космологічна верхня межа ${\displaystyle \left|\rho +{\dfrac {\lambda }{8\pi G}}\right|}$ була значно меншою за будь-яке значення, очікуване з теорії частинок, більшість теоретиків у сфері теорії частинок просто припустили, що з якоїсь невідомої причини ця величина дорівнювала нулю». Weinberg, (1989), p. 3
   • «Епохальним астрономічним відкриттям було б встановлення на основі переконливих спостережень, що Λ не дорівнює нулю» Carroll, Press та Turner, (1992), p. 500
   • "До 1998 року не було прямих астрономічних доказів існування Λ а верхня межа спостережень була настільки сильною (Λ;< 10⁻¹²⁰ одиниць Планка), що багато фізиків у сфері теорії частинок підозрювали, що якийсь фундаментальний принцип змушує його значення бути рівним нулю» Barrow та Shaw, (2011), p. 1
   • «Єдиним іншим природним значенням є Λ= 0. Якщо Λ дійсно є дуже малим, але не дорівнює нулю, це додає фізиці найцікавішу, хоча й загадкову підказку, яку ще належить відкрити». Peebles та Ratra, (2003), p. 333
3. "Це незалежний результат роботи двох команд. Supernova Cosmology Project (Perlmutter et al., (1999); див. також Perlmutter et al., (1998)) та High-Z Supernova Search Team (Riess et al., (1998); див. також Schmidt et al., (1998))" Weinberg, (2015), p. 376
4. Див. наприклад:

   • «Це дає відповідь, яка приблизно на 120 порядків перевищує верхні межі Λ встановлені космологічними спостереженнями. Це, мабуть, найгірший теоретичний прогноз в історії фізики!» Hobson, Efstathiou та Lasenby, (2006), p. 187
   • «Як ми побачимо пізніше, це приблизно на 120 порядків більше, ніж допускають спостереження»." Carroll, Press та Turner, (1992), p. 503
   • «Теоретичні очікування щодо космологічної константи перевищують межі спостережень приблизно на 120 порядків величини». Weinberg, (1989), p. 1
5. Див. наприклад:

   • «Вакуум є ключем до повного розуміння природи» Davies, (1985), p. 104
   • «Теоретична проблема пояснення космологічної константи є однією з найбільших проблем теоретичної фізики. Найімовірніше, щоб зрозуміти Λ, нам потрібна повністю розвинена теорія квантової гравітації (можливо, теорія суперструн)». Hobson, Efstathiou та Lasenby, (2006), p. 188
6. Існують суперечки щодо того, чи назвав Ейнштейн космологічну константу своєю «найбільшою помилкою», оскільки всі згадки про це пов'язані з однією особою — Георгієм Гамовим. (Див. Gamow (1956, 1970).) Наприклад:

   • «Астрофізик і письменник Маріо Лівіо не може знайти жодних документів, які б підтверджували, що ці слова належать Ейнштейну (або, власне, були написані ним). Натомість усі посилання зрештою ведуть до однієї людини — фізика Джорджа Гамова, який повідомив про використання Ейнштейном цього виразу у двох джерелах: у його посмертно опублікованій автобіографії «My World Line» (1970) та у статті журналу «Scientific American» від вересня 1956 року». Rosen, (2013)
   • «Ми також вважаємо цілком імовірним, що Ейнштейн зробив таку заяву саме Гамову. Ми дійшли висновку, що немає сумнівів у тому, що Ейнштейн почав вважати введення космологічної константи серйозною помилкою, і що цілком імовірно, що він принаймні один раз назвав цей термін "своєю найбільшою помилкою"». O'Raifeartaigh та Mitton, (2018), p. 1
7. "Це незалежний результат роботи двох команд. Supernova Cosmology Project (Perlmutter et al., (1999); див. також Perlmutter et al., (1998)) та High-Z Supernova Search Team (Riess et al., (1998); див. також Schmidt et al., (1998))" Weinberg, (2015), p. 376
8. "Це незалежний результат роботи двох команд. Supernova Cosmology Project (Perlmutter et al., (1999); див. також Perlmutter et al., (1998)) та High-Z Supernova Search Team (Riess et al., (1998); див. також Schmidt et al., (1998))" Weinberg, (2015), p. 376
9. Розраховано на основі постійної Габбла та Ω_Λ з The Planck Collaboration, (2015).
10. Див. наприклад:

    • «Це дає відповідь, яка приблизно на 120 порядків перевищує верхні межі Λ встановлені космологічними спостереженнями. Це, мабуть, найгірший теоретичний прогноз в історії фізики!» Hobson, Efstathiou та Lasenby, (2006), p. 187
    • «Як ми побачимо пізніше, це приблизно на 120 порядків більше, ніж допускають спостереження»." Carroll, Press та Turner, (1992), p. 503
    • «Теоретичні очікування щодо космологічної константи перевищують межі спостережень приблизно на 120 порядків величини». Weinberg, (1989), p. 1