Матриця Грама

Матриця Грама для набору векторів ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$ — в лінійній алгебрі, у векторному просторі зі скалярним добутком це матриця, елементами якої є скалярні добутки ${\displaystyle G_{ij}=\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle }$. Якщо вектори ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$ є стовпцями матриці ${\displaystyle X}$, то матриця Грама є добутком ${\displaystyle X^{*}X}$.

Властивості

• Матриця Грама є ермітовою (у дійсному випадку — симетричною).
• Матриця Грама є невід'ємновизначеною:

${\displaystyle x^{*}\mathbf {G} x=\sum _{i,j}x_{i}^{*}x_{j}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =\sum _{i,j}\left\langle x_{i}v_{i},x_{j}v_{j}\right\rangle ={\biggl \langle }\sum _{i}x_{i}v_{i},\sum _{j}x_{j}v_{j}{\biggr \rangle }={\biggl \|}\sum _{i}x_{i}v_{i}{\biggr \|}^{2}\geq 0.}$

• І навпаки, довільна невід'ємновизначена матриця є матрицею Грама для деякого набору векторів:

${\displaystyle M=B^{*}B}$,

Такий розклад є неоднозначним і його можна здійснити багатьма способами, наприклад, здійснивши розклад Холецького чи знайшовши квадратний корінь матриці.

• Ортогональне перетворення набору векторів ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{n}}$ не змінює їх матрицю Грама.

Застосування

Матриця Грама має застосування в теорії ймовірностей, теорії керування, чисельних методах та ін.

Див. також

• Визначник Грама
• Процес Грама — Шмідта

Джерела

• Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г. Осциляційні матриці та ядра та малі коливання механічних систем. — 2025. — 400 с.(укр.)
• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)
• Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри. — 2025. — 248 с.(укр.)