Нерівність Адамара

Нерівність Адамара (також теорема Адамара про визначники), визначає верхню межу об'єму паралелепіпеда в ${\displaystyle n}$-вимірному евклідовому просторі, заданого ${\displaystyle n}$ векторами. Названа на честь Жака Адамара.

Формулювання

Нехай ${\displaystyle M}$ — матриця стовпцями якої є вектори ${\displaystyle v_{i}\in \mathbb {C} ^{n},\;i=1,\;2,\;\ldots ,\;n}$. Тоді

${\displaystyle |\det(M)|\leqslant \prod _{i=1}^{n}{||v_{i}||}_{2},}$

де ${\displaystyle {||\cdot ||}_{2}}$ — евклідова норма вектора, тобто для вектора ${\displaystyle a=(a_{1},a_{2},\dotsc ,a_{n})}$ норма рівна ${\displaystyle ||a||_{2}:={\sqrt {|a_{1}|^{2}+|a_{2}|^{2}+\dotsb +|a_{n}|^{2}}}=\left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{2}\right)^{1/2}}$

У випадку матриці з дійсними елементами, з точки зору геометрії нерівність стверджує, що об'єм ${\displaystyle n}$-вимірного паралелепіпеда є максимальним, коли його задають взаємно перпендикулярні вектори.

Для матриці ${\displaystyle M}$ її матриця Грама ${\displaystyle A=M^{*}M}$ є додатноозначеною. Окрім того ${\displaystyle \det A=(\det M)^{2}}$ і ${\displaystyle a_{ii}={||v_{i}||}_{2}^{2}.}$ Тому достатньо довести твердження:

Якщо матриця ${\displaystyle A}$ розмірності ${\displaystyle n\times n}$ є додатноозначеною, то

${\displaystyle |A|\leqslant a_{11}a_{22}\ldots a_{nn}.}$

Доведення

Визначник ${\displaystyle |A|}$ можна представити у вигляді

${\displaystyle |A|=a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&\ldots &a_{2n}\\a_{32}&\ldots &a_{3n}\\\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}0&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{vmatrix}}.}$

Так як ${\displaystyle A}$ додатноозначена, то і матриця, яка є першим доданком в сумі, теж додатноозначена. Позначимо ${\displaystyle A'}$ матрицю, що одержується з ${\displaystyle A}$ вилученням першого рядка і стовпця. Оскільки вона є додатноозначеною то додатноозначеною є і її союзна матриця (оскільки її власними значеннями будуть ${\displaystyle \det A'/\lambda }$ , де ${\displaystyle \lambda }$ — власні значення матриці ${\displaystyle A'}$). Проіндексуємо рядки і стовпці A' від 2 до ${\displaystyle n}$ (тобто кожен елемент буде мати той же індекс, що і в ${\displaystyle A}$). Якщо позначити ${\displaystyle M^{ij}}$ — мінор матриці ${\displaystyle A'}$ при вилученні ${\displaystyle i}$-го рядка і ${\displaystyle j}$-го стовпця, то елемент ${\displaystyle A_{ij}}$ союзної матриці буде рівним ${\displaystyle (-1)^{i+j}M^{ij}}$. Натомість у другому визначнику вище множник біля ${\displaystyle a_{1j}a_{i1}}$ буде рівний ${\displaystyle (-1)^{1+j}(-1)^{1+i-1}M^{ij}}$ тобто ${\displaystyle -A_{ij}}$.

Отже, квадратична форма по змінним ${\displaystyle a_{12},\;a_{13},\;\ldots ,\;a_{1n}}$, якою є другий доданок, є відємноозначеною. Тому

${\displaystyle |A|\leqslant a_{11}{\begin{vmatrix}a_{22}&\ldots &a_{2n}\\a_{32}&\ldots &a_{3n}\\\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{vmatrix}}}$ і рівність є можливою тоді і лише тоді коли всі ${\displaystyle a_{12},\;a_{13},\;\ldots ,\;a_{1n}}$ є рівними нулю.

Звідси, застосовуючи індукцію, отримуємо необхідний результат.

Геометричне доведення

Виділимо в першому векторі дві складові ${\displaystyle v_{1}=v_{S}+v_{N}}$, перша належить підпростору векторів ${\displaystyle v_{2},\ldots ,v_{n}}$, а друга— ортогональна до нього. Тоді ${\displaystyle {||v_{1}||}_{2}^{2}={||v_{N}||}_{2}^{2}+{||v_{S}||}_{2}^{2}\geqslant {||v_{N}||}_{2}^{2}}$.

Позначимо ${\displaystyle G(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})=|M^{*}M|}$ — визначник Грама векторів ${\displaystyle v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}}$. Розкладемо його в суму за лівим верхнім елементом і використаємо властивості ортогональності:

${\displaystyle {\begin{aligned}G(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n})&=G(v_{N}+v_{S},v_{2},\ldots ,v_{n})=G(v_{N},v_{2},\ldots ,v_{n})+G(v_{S},v_{2},\ldots ,v_{n})=\\&=G(v_{N})G(v_{2},\ldots ,v_{n})={||v_{N}||}_{2}^{2}\cdot G(v_{2},\ldots ,v_{n})\leqslant {||v_{1}||}_{2}^{2}\cdot G(v_{2},\ldots ,v_{n}).\end{aligned}}}$

Другий доданок є нульовим, бо вектори ${\displaystyle v_{S},v_{2},\ldots ,v_{n}}$ лінійно залежні. А перший доданок розкладеться в добуток за правилом Лапласа.

Звідси, застосовуючи індукцію, отримуємо необхідний результат.

Матриці Адамара

В комбінаториці матриці з елементами з ${\displaystyle \{+1,\;-1\}}$, для яких у нерівності Адамара виконується рівність, називаються матрицями Адамара. Таким чином, визначник таких матриць по модулю дорівнює ${\displaystyle n^{\frac {n}{2}}}$. З таких матриць отримують коди Адамара.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г. Осциляційні матриці та ядра та малі коливання механічних систем. — 2025. — 400 с.(укр.)
• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)
• Р.Беллман. Введение в теорию матриц. — М: : Наука, 1969. — 368 с.(рос.)
• F. J. MacWilliams and N. J. A. Sloane, The Theory of Error-Correcting Codes, Amsterdam, Netherlands, North-Holland, § 2.3, 1977.
• E. F. Beckenbach and R. Bellman, Inequalities, Berlin-Gottingen-Heidelberg, Germany, Ch. 2, § 11, 1961.