Обмінна матриця

Обмінна матриця (англ. exchange matrix) — бінарна матриця, у якої на антидіагоналі стоять одиниці, а всі інші елементи нулі. Є матрицею перестановки.

За допомогою символа Кронекера можно записати це означення так: ${\displaystyle J_{ij}=\delta _{n+1-i,j}}$.

Ця матриця є найпростішим прикладом: антидіагональної матриці, інволютивної матриці та матриці перестановки.

${\displaystyle J_{2}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad J_{3}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}},\quad \ldots \quad J_{n}={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0&1\\0&0&\cdots &1&0\\\vdots &\vdots &\,{}_{_{\displaystyle \cdot }}\!\,{}^{_{_{\displaystyle \cdot }}}\!{\dot {\phantom {j}}}&\vdots &\vdots \\0&1&\cdots &0&0\\1&0&\cdots &0&0\end{pmatrix}}}$

Властивості

• ${\displaystyle \det J=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}}$.
• ${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} \;J=n{\bmod {2}}}$ (1 для непарних ${\displaystyle n}$; 0 для парних ${\displaystyle n}$);
• ${\displaystyle J^{T}=J}$;
• ${\displaystyle J^{2}=I}$ та ${\displaystyle J^{-1}=J}$, тобто ${\displaystyle J}$ — інволютивна матриця;

Множення

Для прямокутної матриці ${\displaystyle A_{i,j}}$ розміру, який дозволяє множення з ${\displaystyle J}$:

• ${\displaystyle (JA)_{i,j}=A_{n+1-i,j}}$ — обмін рядків симетрично верх-низ.
• ${\displaystyle (AJ)_{i,j}=A_{i,n+1-j}}$ — обмін стовпців симетрично ліво-право.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)