Поверхня Больци

Поверхня Больци (крива Больци) — компактна ріманова поверхня роду 2 з максимальним можливим порядком конформної групи автоморфізмів для цього порядку, а саме, з групою GL₂(3) порядку 48. Повна група автоморфізмів (включно з відобиттями) є напівпрямим добутком ${\displaystyle GL_{2}(3)\rtimes \mathbb {Z} _{2}}$ порядку 96. Афінну модель поверхні Больци можна отримати як геометричне місце точок, що задовольняють рівнянню

${\displaystyle y^{2}=x^{5}-x}$

в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$. Поверхня є гладким розширенням^[en] афінної кривої. З усіх гіперболічних поверхонь роду 2 поверхня Больци має найвищу систолу. Як гіпереліптична ріманова поверхня вона виникає як розгалужене подвійне покриття ріманової сфери з точками розгалуження в шести вершинах правильного октаедра^[en], вписаного в сферу, що видно з наведеної формули.

Увів Оскар Больца^[en] 1887 року.

Трикутна поверхня

Замощення поверхні Больци відображеннями області є часткою розсіченої восьмикутної мозаїки порядку 3^[en] .

Поверхня Больци є (2,3,8)-трикутною поверхнею (трикутник Шварца): фуксова група, що визначає поверхню Больцы, є підгрупою групи, утвореної відбиттями відносно сторін гіперболічного трикутника з кутами ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{3}},{\tfrac {\pi }{8}}}$. Ця підгрупа є підгрупою з індексом групи відбиттів, що складається з добутку парного числа відбиттів і має абстрактне подання в термінах генераторів ${\displaystyle s_{2},s_{3},s_{8}}$ та відношень ${\displaystyle s_{2}{}^{2}=s_{3}{}^{3}=s_{8}{}^{8}=1}$, а також ${\displaystyle s_{2}s_{3}=s_{8}}$. Фуксова група ${\displaystyle \Gamma }$, яка визначає поверхню Больци, є також підгрупою (3,3,4) групи трикутника, яка є підгрупою з індексом 2 групи трикутника (2,3,8). Група (2,3,8) немає реалізації у термінах алгебри кватерніонів, але група (3,3,4) — має.

Під дією ${\displaystyle \Gamma }$ на диск Пуанкаре фундаментальною областю поверхні Больци є правильний восьмикутник з кутами ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}$ у точках

${\displaystyle p_{k}=2^{-{\tfrac {1}{4}}}e^{i\left({\tfrac {\pi }{8}}+k{\tfrac {\pi }{4}}\right)}}$ ,

де ${\displaystyle k=0,\ldots ,7}$. Протилежні сторони восьмикутника ототожнюються під впливом фуксової групи. Генераторами служать матриці:

${\displaystyle g_{k}={\begin{pmatrix}1+{\sqrt {2}}&(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{i{\tfrac {k\pi }{4}}}\\(2+{\sqrt {2}})\alpha e^{-i{\tfrac {k\pi }{4}}}&1+{\sqrt {2}}\end{pmatrix}}}$,

де ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}}$ і ${\displaystyle k=0,\ldots ,3}$, разом із оберненими їм. Генератори задовольняють співвідношенню:

${\displaystyle g_{0}g_{1}^{-1}g_{2}g_{3}^{-1}g_{0}^{-1}g_{1}g_{2}^{-1}g_{3}=1.}$

Див. також

• Гіпереліптична крива
• Квартика Кляйна^[en]
• Поверхня Макбіта

Література

• Oskar Bolza. On Binary Sextics with Linear Transformations into Themselves // American Journal of Mathematics. — 1887. — Т. 10, вип. 1. — С. 47–70. — DOI:10.2307/2369402.
• Katz M., Sabourau S. An optimal systolic inequality for CAT(0) metrics in genus two // Pacific J. Math.. — 2006. — Т. 227, вип. 1. — С. 95–107. — arXiv:math.DG/0501017. — DOI:10.2140/pjm.2006.227.95.
• Maclachlan C., Reid A. The Arithmetic of Hyperbolic 3-Manifolds. — New York : Springer, 2003. — Т. 219. — (Graduate Texts in Math.) — ISBN 0-387-98386-4.