Поверхня Зейферта

В математиці пове́рхня Зе́йферта — поверхня, межею якої є заданий вузол або зачеплення. Такі поверхні часто бувають корисними при дослідженні відповідного вузла або зачеплення. Зокрема, за її допомогою найпростіше обчислюються багато інваріантів вузлів. Поверхні Зейферта цікаві й самі собою, як об'єкти дослідження. Названо на честь німецького математика Герберта Зейферта^[en][1][2].

Визначення

Нехай ${\displaystyle L}$ — ручний орієнтований вузол або зачеплення в тривимірному просторі (або на тривимірній сфері). Поверхнею Зейферта називають компактно зв'язну орієнтовану поверхню ${\displaystyle S}$, вкладену в тривимірний простір так, що її межею є ${\displaystyle L}$, причому орієнтація на поверхні ${\displaystyle S}$ індукує початкову орієнтацію на ${\displaystyle L}$.

Підкреслимо, що поверхня Зейферта має бути орієнтованою.

Приклади

• Будь-яка компактна зв'язна орієнтована поверхня з непорожньою межею в тривимірному просторі є поверхнею Зейферта своєї межі.

• Стандартний лист Мебіуса має як межу тривіальний вузол, проте не є його поверхнею Зейферта, оскільки лист Мебіуса неорієнтований.

Рід вузла

Поверхня Зейферта даного вузла або зачеплення визначена неоднозначно: той самий вузол (або зачеплення) ${\displaystyle K}$ може мати кілька різних поверхонь Зейферта, мінімально можливий рід такої поверхні називають родом вузла, є його інваріантом і позначається через ${\displaystyle g(K)}$.

Наприклад:

• Рід тривіального вузла дорівнює 0 (оскільки він є межею диска); навпаки, якщо рід вузла дорівнює нулю, то вузол тривіальний.
• Трилисник, як і вісімка, мають рід 1.
• Рід торичного вузла типу ${\displaystyle (p,q)}$ дорівнює ${\displaystyle (p-1)(q-1) \over 2}$.
• Степінь многочлена Александера є оцінкою знизу на подвійний рід вузла.

Фундаментальною властивістю роду є його адитивність відносно зв'язної суми вузлів:

${\displaystyle g(K_{1}\#K_{2})=g(K_{1})+g(K_{2})}$