Полігамма-функція

Поліга́мма-фу́нкція порядку m у математиці визначається як (m+1)-ша похідна натурального логарифма гамма-функції,

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)={\frac {{\rm {d}}^{m}}{{\rm {d}}z^{m}}}\psi (z)={\frac {{\rm {d}}^{m+1}}{{\rm {d}}z^{m+1}}}\ln \Gamma (z)\;,}$

Дигамма-функція ${\displaystyle \psi (x)}$

Тригамма-функція ${\displaystyle \psi '(x)}$

Тетрагамма-функція ${\displaystyle \psi ''(x)}$

Пентагамма-функція ${\displaystyle \psi '''(x)}$

де ${\displaystyle \Gamma (z)}$ — гамма-функція, а

${\displaystyle \psi (z)=\psi ^{(0)}(z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}}$

— дигамма-функція, яку також можна визначити через суму такого ряду:

${\displaystyle \psi (z)=\psi ^{(0)}(z)=-\gamma +\sum \limits _{k=0}^{\infty }\left({\frac {1}{k+1}}-{\frac {1}{k+z}}\right)\;,}$

де ${\displaystyle {\textstyle {\gamma }}}$ — стала Ейлера — Маскероні. Це подання справедливе для будь-якого комплексного ${\displaystyle z\neq 0,\;-1,\;-2,\;-3,\ldots }$ (у зазначених точках функція ${\displaystyle {\textstyle {\psi (z)}}}$ має сингулярності першого порядку)^[1].

Полігамма-функцію також можна визначити через суму ряду

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\sum \limits _{k=0}^{\infty }\displaystyle {\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}\;,\qquad m>0\;,}$

який виходить із подання для дигамма-функції диференціюванням за z^[2]. Це подання також справедливе для будь-якого комплексного ${\displaystyle z\neq 0,\;-1,\;-2,\;-3,\ldots }$ (у зазначених точках функція ${\displaystyle {\textstyle {\psi ^{(m)}(z)}}}$ має сингулярності порядку (m+1)). Його можна записати через дзета-функцію Гурвіца^[2],

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\;m!\;\zeta (m+1,z)\;.}$

У цьому сенсі дзета-функцію Гурвіца можна використати для узагальнення полігамма-функції на випадок довільного (нецілого) порядку m.

Зазначимо, що в літературі ${\displaystyle {\textstyle {\psi ^{(m)}(z)}}}$ іноді позначають як ${\displaystyle {\textstyle {\psi _{m}(z)}}}$ або явно вказують штрихи для похідних за z. Функцію ${\displaystyle {\textstyle {\psi '(z)=\psi ^{(1)}(z)}}}$ називають тригамма-функцією, ${\displaystyle {\textstyle {\psi ''(z)=\psi ^{(2)}(z)}}}$ — тетрагамма-функцією, ${\displaystyle {\textstyle {\psi '''(z)=\psi ^{(3)}(z)}}}$ — пентагамма-функцією, ${\displaystyle {\textstyle {\psi ''''(z)=\psi ^{(4)}(z)}}}$ — гексагамма-функцією, і т. д.

Інтегральне подання

Полігамма-функцію можна подати як

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}{\rm {d}}t}$

Це подання справедливе для Re z >0 і m > 0. При m=0 (для дигамма-функції) інтегральне подання можна записати у вигляді

${\displaystyle \psi (z)=\psi ^{(0)}(z)=-\gamma +\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-t}-e^{-zt}}{1-e^{-t}}}{\rm {d}}t=-\gamma +\int _{0}^{1}{\frac {1-t^{z-1}}{1-t}}{\rm {d}}t\;,}$

де ${\displaystyle {\textstyle {\gamma }}}$ — стала Ейлера — Маскероні.

Асимптотичні розклади

При ${\displaystyle z\to \infty \;}$ (${\displaystyle \;|\operatorname {arg} \;{z}|<\pi }$) справедливий такий розклад із використанням чисел Бернуллі:

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m-1}\left[{\frac {(m-1)!}{z^{m}}}+{\frac {m!}{2z^{m+1}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(2k+m-1)!\;B_{2k}}{(2k)!\;z^{2k+m}}}\right]}$

Розклад у ряд Тейлора поблизу аргументу, рівного одиниці, має вигляд

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}(m+k)!\;\zeta (m+k+1)\;{\frac {z^{k}}{k!}}\;,}$

де ζ позначає дзета-функцію Рімана. Цей ряд збігається при |z| < 1, і його можна отримати з відповідного ряду для дзета-функції Гурвіца.

Часткові значення

Значення полігамма-функції при цілих і напівцілих значеннях аргументу виражаються через дзета-функцію Рімана,

${\displaystyle \psi ^{(m)}(1)=(-1)^{m+1}m!\;\zeta (m+1)\;,\qquad m>0}$

${\displaystyle \psi ^{(m)}({\tfrac {1}{2}})=(-1)^{m+1}m!\;(2^{m+1}-1)\;\zeta (m+1)\;,\qquad m>0\;,}$

а для дигамма-функції (при m=0) —

${\displaystyle \psi (1)=\psi ^{(0)}(1)=-\gamma \;,}$

${\displaystyle \psi ({\tfrac {1}{2}})=\psi ^{(0)}({\tfrac {1}{2}})=-\gamma -2\ln {2}\;,}$

де ${\displaystyle {\textstyle {\gamma }}}$ — стала Ейлера — Маскероні^[2].

Щоб отримати значення полігамма-функції за інших цілих (додатних) і напівцілих значень аргументу, можна використати рекурентне співвідношення, наведене нижче.

Інші формули

Полігамма-функція задовольняє рекурентне співвідношення^[2]

${\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+{\frac {(-1)^{m}\;m!}{z^{m+1}}}\;,}$

а також формулу доповнення^[2]

${\displaystyle \psi ^{(m)}(1-z)+(-1)^{m+1}\;\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m}\pi {\frac {{\rm {d}}^{m}}{{\rm {d}}z^{m}}}\cot(\pi z)\;.}$

Для полігамма-функції кратного аргументу існує така властивість^[2]:

${\displaystyle \psi ^{(m)}(kz)={\frac {1}{k^{m+1}}}\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right),\qquad m>0}$

а для дигамма-функції (${\displaystyle m=0}$) до правої частини треба додати ${\displaystyle \ln k}$^[2],

${\displaystyle \psi (kz)=\ln {k}+{\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right).}$

Див. також

• Дигамма-функція
• Тригамма-функція