Тригамма-функція

Трига́мма-фу́нкція в математиці є другою з полігамма-функцій. Її позначають ${\displaystyle \psi _{1}(z)}$ і визначають як

${\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {{\rm {d}}^{2}}{{\rm {d}}z^{2}}}\ln \Gamma (z)\;,}$

Тригамма-функція дійсного аргументу x

де ${\displaystyle \Gamma (z)}$ — гамма-функція^[1]. З цього визначення випливає, що

${\displaystyle \psi _{1}(z)={\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\psi (z)\;,}$

де ${\displaystyle \psi (z)}$ — дигамма-функція (перша з полігамма-функцій)^[2].

Тригамма-функцію можна також визначити через суму такого ряду:

${\displaystyle \psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+n)^{2}}},}$

звідки видно, що вона є окремим випадком дзета-функції Гурвіца,

${\displaystyle \psi _{1}(z)=\zeta (2,z)\;.}$

Ці формули істинні, коли ${\displaystyle z\neq 0,\;-1,\;-2,\;-3,\ldots }$ (у зазначених точках функція ${\displaystyle \psi _{1}(z)}$ має квадратичні сингулярності, див. графік функції).

Існують також інші позначення для ${\displaystyle \psi _{1}(z)}$, використовувані в літературі:

${\displaystyle \psi '(z),\;\;\;\psi ^{(1)}(z)\;.}$

Іноді термін «тригамма-функція» застосовують для функції ${\displaystyle {\displaystyle F'(z)=\psi _{1}(z+1)}}$^[1].

Інтегральні подання

Використовуючи подання у вигляді ряду, а також формулу для суми членів геометричної прогресії, можна отримати таке подвійне інтегральне подання:

${\displaystyle \psi _{1}(z)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{y}{\frac {x^{z-1}y}{1-x}}\,{\rm {d}}x\,{\rm {d}}y\;.}$

За допомогою інтегрування за частинами виходить таке одинарне подання:

${\displaystyle \psi _{1}(z)=-\int _{0}^{1}{\frac {x^{z-1}\ln {x}}{1-x}}\,{\rm {d}}x\;.}$

Використовується також інше подання, яке можна отримати з попереднього заміною x = e^—t:

${\displaystyle \psi _{1}(z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\,{\rm {d}}t\;.}$

Інші формули

Тригамма-функція задовольняє рекурентне співвідношення^[2]

${\displaystyle \psi _{1}(z+1)=\psi _{1}(z)-{\frac {1}{z^{2}}}\;,}$

а також формулу доповнення

${\displaystyle \psi _{1}(1-z)+\psi _{1}(z)={\frac {\pi ^{2}}{\sin ^{2}(\pi z)}}\;.}$

Для тригамма-функції кратного аргументу існує така властивість^[2]:

${\displaystyle \psi _{1}(kz)={\frac {1}{k^{2}}}\sum _{n=0}^{k-1}\psi _{1}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)\;.}$

Наведемо також асимптотичний розклад із використанням чисел Бернуллі:

${\displaystyle \psi _{1}(z+1)={\frac {1}{z}}-{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{z^{2k+1}}}\;.}$

Часткові значення

Нижче наведено часткові значення тригамма-функції:

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{3}}\right)={\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}+3{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {2}{3}}\right)={\tfrac {2}{3}}\pi ^{2}-3{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{4}}\right)=\pi ^{2}-8G\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}(1)\;={\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}\;,}$

де G — стала Каталана, а ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\theta )}$ — функція Клаузена, пов'язана з уявною частиною дилогарифма через

${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(\theta )=\mathrm {Im} \left[\mathrm {Li} _{2}\!\left(e^{\mathrm {i} \theta }\right)\right]\;.}$

Використовуючи формулу кратного аргументу і формулу доповнення, a також зв'язок ${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{8}}\right)}$ з функцією Клаузена^[3][4], маємо:

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{6}}\right)=2\pi ^{2}+15{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{6}}\right)=2\pi ^{2}-15{\sqrt {3}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {2}{3}}\pi \right)\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {1}{8}}\right)=(2+{\sqrt {2}})\pi ^{2}+4(4-{\sqrt {2}})G+16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{8}}\right)=(2-{\sqrt {2}})\pi ^{2}-4(4+{\sqrt {2}})G+16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{8}}\right)=(2-{\sqrt {2}})\pi ^{2}+4(4+{\sqrt {2}})G-16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {7}{8}}\right)=(2+{\sqrt {2}})\pi ^{2}-4(4-{\sqrt {2}})G-16{\sqrt {2}}\;\mathrm {Cl} _{2}\!\left({\tfrac {\pi }{4}}\right)\;.}$

Для значень за межами інтервалу ${\displaystyle 0<z\leq 1}$ можна використати рекурентне співвідношення, наведене вище. Наприклад,

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {5}{4}}\right)=\pi ^{2}+8G-16\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}\!\left({\tfrac {3}{2}}\right)={\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}-4\;,}$

${\displaystyle \psi _{1}(2)\;={\tfrac {1}{6}}\pi ^{2}-1\;.}$

Див. також

• Гамма-функція
• Дигамма-функція
• Полігамма-функція
• Стала Каталана
• Дзета-функція Гурвіца