Простір Серпінського

Простір Серпінського — один з класичних прикладів топологічного простору.

Означення

Простором Серпінського (зв'язним двоточковим простором або зв'язною двоточкою) називається топологічний простір з двоелементним носієм ${\displaystyle X=\{a,b\}}$ та топологією ${\displaystyle \tau =\{\varnothing ,X\,\{a\}\}}$.

Властивості

• Простір Серпінського не є ${\displaystyle T_{1}}$-простором, оскільки єдиним околом точки b є весь простір.
• Простір Серпінського є ${\displaystyle T_{0}}$-простором. Справді, точка ${\displaystyle a}$ має окіл ${\displaystyle \{a\}}$, який не містить точку ${\displaystyle b}$.
• Простір Серпінського є ${\displaystyle T_{4}}$ і ${\displaystyle T_{5}}$-простором.
• Простір Серпінського задовольняє першу та другу аксіоми зліченності, компактний, ліндельофів, сепарабельний, гіперзв'язний, ультразв'язний, лінійно зв'язний, але не дугово зв'язний топологічний простір.

Дивись також

• Гаусдорфів простір
• Аксіоми віддільності
• Псевдоколо

Література

1. Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (вид. Dover reprint of 1978), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446