Статистика Фермі — Дірака

Статистика Фермі — Дірака — особливий вид розподілу частинок за енергією, характерний для ферміонів.

Розподіл Фермі — Дірака за різних температур ${\displaystyle T}$. Пологіший за високих ${\displaystyle T}$. ${\displaystyle {\bar {n}}=0.5}$ коли ${\displaystyle \varepsilon =\mu }$. Не показано, що ${\displaystyle \mu }$ зменшується зі зростанням ${\displaystyle T}$.^[1]

У статистиці Фермі — Дірака середня кількість частинок ${\displaystyle n_{i}}$ з енергією ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ становить^[2]

${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{\exp \left({\dfrac {\varepsilon _{i}-\mu }{kT}}\right)+1}}}$,

де ${\displaystyle g_{i}}$ — кратність виродження (кількість станів частинки з енергією ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$), ${\displaystyle \mu }$ — хімічний потенціал, ${\displaystyle k}$ — стала Больцмана, ${\displaystyle T}$ — абсолютна температура.

Оскільки ферміони — це частинки, які не можуть перебувати в квантовомеханічному стані з однаковими квантовими числами, ця заборона накладає обмеження на їхній розподіл за енергією. Ймовірність знайти ферміон у певному стані ${\displaystyle |n\rangle }$ із енергією ${\displaystyle \varepsilon _{n}}$ задається формулою (функція Фермі)^{[3][nb 1]}

${\displaystyle f(\varepsilon _{n})={\frac {1}{e^{(\varepsilon _{n}-\mu )/k_{B}T}+1}}}$,

де ${\displaystyle \mu }$ — хімічний потенціал, ${\displaystyle k_{B}}$ — стала Больцмана, ${\displaystyle T}$ — температура.

Характерною особливістю цього розподілу є одиниця в знаменнику. Вона визначає особливий вигляд розподілу Фермі — Дірака.

Хімічний потенціал ${\displaystyle \mu }$ визначається із умови нормування розподілу й залежить від повного числа частинок у системі N.

${\displaystyle N=\sum _{n}{\frac {1}{e^{(\varepsilon _{n}-\mu )/k_{B}T}+1}}}$.

Зазначену статистику запропонували 1926 року італійський фізик Енріко Фермі і одночасно англійський фізик Поль Дірак, який з'ясував її квантово-механічний зміст. 1927 року Арнольд Зоммерфельд застосував статистику до електронів у металі.

Властивості

Функція Фермі — Дірака має такі властивості:

• безрозмірна;
• набуває дійсних значень у діапазоні від 0 до 1;
• зменшується з енергією, різко спадаючи поблизу енергії, яка дорівнює хімічному потенціалу;
• за абсолютного нуля має вигляд сходинки зі стрибком від 1 до 0 при ${\displaystyle \varepsilon =\mu }$, а при зростанні температури стрибок замінюється все плавнішим спадом;
• при ${\displaystyle \varepsilon =\mu }$ завжди ${\displaystyle F=1/2}$, незалежно від температури.

В основному стані ферміони займають якомога нижчі енергетичні рівні. Накладена принципом виключення Паулі заборона призводить до того, що за нульової температури, коли реалізується основний стан, усі найнижчі одноферміонні рівні зайняті. Найвищий зайнятий у такому стані рівень називається рівнем Фермі. Функція розподілу має вигляд сходинки (див. рисунок)

При збільшенні температури, існує певна ймовірність того, що ферміони системи матимуть енергію, вищу за енергію рівня Фермі. Завдяки цьому існує відмінна від нуля ймовірність того, що рівень із енергією нижчою за енергією рівня Фермі, стане вільним. Чим вища тепература, тим пологішою стає крива розподілу. При дуже високих температурах розподіл Фермі — Дірака переходить у класичний розподіл Максвелла — Больцмана.

Математичний та фізичний зміст

Функцією Фермі — Дірака ${\displaystyle F(\varepsilon ,T)}$ задаються числа заповнення (англ. occupancy factor) квантових станів. Хоча її нерідко називають «розподілом», з погляду апарату теорії ймовірностей вона не є ні функцією розподілу, ні густиною розподілу. Стосовно цієї функції, скажімо, не може порушуватися питання про нормування^[ru].

Даючи інформацію про відсоток заповненості станів, функція ${\displaystyle F(\varepsilon ,T)}$ нічого не каже про наявність цих станів. Для систем із дискретними енергіями набір їхніх можливих значень задається переліком ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$, ${\displaystyle \varepsilon _{2}}$ і т. д., а для систем із неперервним спектром енергій стани характеризуються густиною станів ${\displaystyle \rho (\varepsilon )}$ (Дж⁻¹ або Дж⁻¹м⁻³). Функція

${\displaystyle f(\varepsilon )=\left(\int \rho (\varepsilon )F(\varepsilon )d\varepsilon \right)^{-1}\rho (\varepsilon )F(\varepsilon )}$

є густиною розподілу (Дж⁻¹) частинок енергії і нормована. Для стислості аргумент ${\displaystyle T}$ опущено. В найтрадиційніших випадках ${\displaystyle \rho (\varepsilon )\sim {\sqrt {\varepsilon }}}$.

Класична (максвелівська) границя

За високих температур та/або низьких концентрацій частинок статистика Фермі — Дірака (так само як і статистика Бозе — Ейнштейна) переходять у статистику Максвелла — Больцмана. А саме, за таких умов

${\displaystyle F(\varepsilon )=\exp \left({\frac {E_{F}-\varepsilon }{kT}}\right)}$.

Після встановлення густини станів ${\displaystyle \rho (\varepsilon )}$ та інтегрування за ${\displaystyle \varepsilon }$ від 0 до ${\displaystyle +\infty }$ вираз для ${\displaystyle f}$ набуде вигляду

${\displaystyle f(\varepsilon )={\frac {2\pi {\sqrt {\varepsilon }}}{\sqrt {(\pi kT)^{3}}}}\exp \left(-{\frac {\varepsilon }{kT}}\right)}$.

Це і є густина розподілу Максвелла (за енергіями).

Розподілом Максвелла (який особливо добре працює стосовно газів) описують класичні «розрізні» частинки. Іншими словами, конфігурації «частинка ${\displaystyle A}$ в стані 1 і частинка ${\displaystyle B}$ у стані 2» та «частинка ${\displaystyle B}$ в стані 1 і частка ${\displaystyle A}$ у стані 2» вважаються різними.

Застосування статистики Фермі — Дірака

Галузі використання

Статистики Фермі — Дірака, а також Бозе — Ейнштейна застосовують тоді, коли необхідно враховувати квантові ефекти та «нерозрізнюваність» частинок. У парадигмі розрізнюваності виявилося, що розподіл частинок за енергетичними станами приводить до нефізичних результатів для ентропії^[ru], що відомо як парадокс Гіббса. Ця проблема зникла, коли став зрозумілим той факт, що всі частки нерозрізнювані.

Статистика Фермі — Дірака стосується ферміонів (частинки, на які діє принцип Паулі), а статистика Бозе — Ейнштейна — бозонів. Квантові ефекти виявляються тоді, коли концентрація частинок ${\displaystyle N/V\geqslant n_{q}}$ (де ${\displaystyle N}$ — кількість частинок, ${\displaystyle V}$ — об'єм, ${\displaystyle n_{q}}$ — квантова концентрація). Квантовою називається концентрація, за якої відстань між частинками співвимірна з довжиною хвилі де Бройля, тобто хвильові функції частинок дотикаються, але не перекриваються. Квантова концентрація залежить від температури.

Конкретні приклади

Статистику Фермі — Дірака часто використовують для опису поведінки ансамблю електронів у твердих тілах; на ній ґрунтуються багато положень теорії напівпровідників та електроніки в цілому. Наприклад, концентрацію електронів (дірок) у зоні провідності (валентній зоні) напівпровідника в рівновазі розраховують як

${\displaystyle n=\int \limits _{E_{c}}^{+\infty }\rho (\varepsilon )F(\varepsilon )\,d\varepsilon ,\quad p=\int \limits _{-\infty }^{E_{v}}\rho (\varepsilon )(1-F(\varepsilon ))\,d\varepsilon }$,

де ${\displaystyle E_{c}}$ (${\displaystyle E_{v}}$) — енергія дна зони провідності (стелі валентної зони). Формула для тунельного струму між двома ділянками, розділеними квантовим потенціальним бар'єром, має загальний вигляд.

${\displaystyle j={\mbox{const}}\cdot \int \Theta (\varepsilon )\left[F_{L}(\varepsilon )-F_{R}(\varepsilon )\right]\,d\varepsilon }$,

де ${\displaystyle \Theta }$ — коефіцієнт проходження бар'єру, а ${\displaystyle F_{L}}$, ${\displaystyle F_{R}}$ — функції Фермі — Дірака в ділянках ліворуч і праворуч від бар'єру.

Висновок розподілу Фермі — Дірака

Розглянемо термодинамічну систему, що складається з ферміонів, які перебувають на одному квантовому рівні. З урахуванням загальних властивостей ферміонів як типу частинок, можливі лише два варіанти: наявність рівно однієї частинки на обговорюваному рівні або незайнятість рівня.

Варіанти відрізняються кількістю частинок — і тому для опису ймовірностей ${\displaystyle P_{yes}}$, ${\displaystyle P_{no}}$ їх реалізації необхідно залучити розподіл Гіббса зі змінною кількістю частинок:

${\displaystyle P_{yes|no}=A\cdot \exp \left(-{\frac {E_{yes|no}-\mu N_{yes|no}}{kT}}\right)}$,

де ${\displaystyle N}$ — кількість частинок, що дорівнює 1 у стані yes і 0 у стані no, а енергія стану ${\displaystyle E}$ дорівнює енергії рівня ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ за наявності (yes) та 0 за відсутності (no) ферміона; ${\displaystyle A}$ — нормувальний множник, який підбирають так, щоб виявилося ${\displaystyle P_{yes}+P_{no}=1}$.

Отже,

${\displaystyle P_{yes}={\frac {P_{yes}}{P_{yes}+P_{no}}}=\left(1+\exp {\frac {\varepsilon _{i}-\mu }{kT}}\right)^{-1}}$.

Сенс цього результату якраз і полягає в тому, що рівень, який розглядаємо, заповнений з імовірністю (тобто «на частку») ${\displaystyle P_{yes}}$. Вираз ${\displaystyle P_{yes}}$ перепозначається як ${\displaystyle n_{i}}$, що відповідає статистиці Фермі — Дірака. За наявності виродження воно домножується на фактор виродження ${\displaystyle g_{i}}$, як констатувалося в преамбулі.

Уточнення впливу температури

Для систем, що мають температуру ${\displaystyle T}$ нижчу від температури Фермі ${\displaystyle T_{F}=E_{F}/k}$, а іноді (не цілком правомірно) і для вищих температур, використовують апроксимацію ${\displaystyle \mu \approx E_{F}}$. Але, загалом, хімічний потенціал залежить від температури — і в низці задач цю залежність доцільно враховувати. Функція ${\displaystyle \mu }$ подається з будь-якою точністю степеневим рядом за парними степенями відношення ${\displaystyle T/T_{F}<1}$:

${\displaystyle \mu =E_{F}\sum _{n=0,1,2\dots }{\left[(-1)^{n}{\frac {\pi ^{2n}}{2^{2n}(2n+1)}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{2n}\right]}=E_{F}\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{2}+{\frac {\pi ^{4}}{80}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{4}+\ldots \right]}$.

Відхилення в разі порушення рівноваги

Числа заповнення станів, які диктує формула Фермі — Дірака, змінюються при відхиленні системи від рівноваги. Подібне відхилення виникає, зокрема, при накладенні електричного поля. Тим не менш, деякі з наведених вище виразів, наприклад для концентрацій електронів і дірок ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle p}$ або для тунельного струму, при цьому зберігають свою структуру, лише функція ${\displaystyle F(\varepsilon )}$ стає іншою.

Спотворення ${\displaystyle F(\varepsilon )}$ у значній частині випадків такі, ніби температура дорівнює не ${\displaystyle T}$, а деякому ефективному вищому значенню ${\displaystyle T_{eff}}$, через що кажуть про гарячі носії заряду. За радикальних відхилень від рівноваги (наприклад, у дуже сильних полях, ${\displaystyle \sim 10^{6}}$ В/см і вище) аналітичний вигляд ${\displaystyle F(\varepsilon )}$ модифікується радикальніше, при цьому різко зростають числа заповнення (населеність) високоенергетичних станів, а крива ${\displaystyle F(\varepsilon )}$ деформується. Такі ситуації виникають у напівпровідникових приладах у режимах близьких до пробійних.

Див. також

• Рівень Фермі
• Статистика Максвелла — Больцмана
• Статистика Бозе — Ейнштейна