Рівняння Вольтерри

Інтегральні рівняння Вольтерри — інтегральні рівняння спеціального виду. Названо на честь італійського математика Віто Вольтерра.

Класифікація

Розрізняють рівняння Вольтерри двох типів:

• лінійне першого роду

${\displaystyle f(t)=\int _{a}^{t}K(t,s)\,x(s)\,ds}$

• лінійне другого роду

${\displaystyle x(t)=f(t)+\lambda \int _{a}^{t}K(t,s)x(s)\,ds,}$

де ${\displaystyle f(t),\,K(t,s)}$ — відомі функції, ${\displaystyle x(t)}$ — функція, яку потрібно знайти, ${\displaystyle \lambda }$ — комплексний параметр.

${\displaystyle K(t,s)}$ називають ядром інтегрального рівняння, ${\displaystyle f(t)}$ — вільним членом. Рівняння Вольтерри можна розглядати як окремий випадок рівняння Фредгольма, але через низку специфічних властивостей такі рівняння вивчають окремо^[1].

Розв'язання

Всяке рівняння Вольтерри з неперервним ядром при довільному комплексному параметрі ( ${\displaystyle \lambda \neq \infty }$ ) має єдиний розв'язок, що представляється у вигляді рівномірно збіжного ряду Неймана

${\displaystyle x(t)=x_{0}(t)+\lambda x_{1}(t)+\lambda ^{2}x_{2}(t)+...,}$

де

${\displaystyle x_{0}(t)=f(t),\qquad x_{i}(t)=\int _{a}^{t}K(t,s)\,x_{i-1}(s)\,ds.}$

Див. також

• Інтегральне рівняння Абеля
• Рівняння Лотки — Вольтерри