Рівняння Ріккаті

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Ріккаті.

Рівняння Ріккаті — нелінійне звичайне диференціальне рівняння виду:

${\displaystyle y'=q_{0}(x)+q_{1}(x)\,y+q_{2}(x)\,y^{2},\quad x\in I,\quad (*)}$

де ${\displaystyle q_{0}(x),q_{1}(x),q_{2}(x)}$ — неперервні на деякому інтервалі ${\displaystyle I}$ функції. У випадку ${\displaystyle q_{2}(x)\equiv 0}$ рівняння Ріккаті є лінійним неоднорідним рівнянням першого порядку, а у випадку ${\displaystyle q_{1}(x)\equiv 0}$ — диференціальним рівнянням Бернуллі. В обох цих часткових випадках рівняння Ріккаті легко інтегрується. У загальному, рівняння Ріккаті не розв'язується у квадратурах.

Частковий випадок рівняння ${\displaystyle (*)}$ вигляду

${\displaystyle y'=ay^{2}+bx^{\alpha },\quad (**)}$

де ${\displaystyle a,b,\alpha \,}$ — сталі, досліджував Якопо Ріккаті^[1] і яке називають спеціальним рівнянням Ріккаті.

Рівняння ${\displaystyle (**)}$ ще цікаве насамперед з огляду на такий факт. Даніель Бернуллі близько 1725 року встановив, що спеціальне рівняння Ріккаті допускає відшукання загального розв'язку в елементарних функціях, якщо ${\displaystyle \alpha =-2\,}$ або ${\displaystyle \alpha ={\frac {-4n}{(2n-1)}}}$, де ${\displaystyle n}$ — ціле число. У 1841 році Жозеф Ліувілль з'ясував, що при всіх інших значеннях ${\displaystyle \alpha }$ це рівняння вже не можна зінтегрувати в елементарних функціях. Його загальний розв'язок виражається через циліндичні функції.

Рівняння та його узагальнення на випадок систем диференціальних рівнянь мають важливі застосування в багатьох математичних дисциплінах.

Мотивація

Розглянемо таку задачу: описати закон руху тіла маси ${\displaystyle m}$, яке вільно падає під дією сили тяжіння, враховуючи опір повітря.

Нехай в деякий початковий момент часу ${\displaystyle t_{0}}$ тіло знаходиться на висоті ${\displaystyle H}$.

Шлях, який пройде тіло падаючи ${\displaystyle \tau }$ секунд (від моменту часу ${\displaystyle t_{0}}$, якому відповідає ${\displaystyle \tau =0}$) позначимо ${\displaystyle S(\tau )}$. Відповідно, в момент часу ${\displaystyle t>t_{0}}$ тіло буде знаходитиметься на висоті ${\displaystyle H-S(t-t_{0})=H-S(\tau )}$, де ${\displaystyle \tau =t-t_{0}}$.

Швидкість та прискорення тіла в момент ${\displaystyle \tau }$ позначимо через ${\displaystyle V(\tau )}$ та ${\displaystyle a(\tau )}$ відповідно.

На тіло, яке вільно падає, діють дві сили: сила земного тяжіння ${\displaystyle F_{t}}$ та сила опору повітря ${\displaystyle F_{op}}$. Як відомо, ${\displaystyle F_{t}=mg}$, де ${\displaystyle m}$ — маса тіла, а ${\displaystyle g}$ — прискорення вільного падіння. Сила опору повітря ${\displaystyle F_{op}}$ прямопропорційна квадрату швидкості тіла, тобто ${\displaystyle F_{op}=k\cdot V^{2}(\tau )}$, де ${\displaystyle k}$ — коефіцієнт пропорційності, який залежить від форми тіла, площі поперечного перерізу тіла та густини повітря.

Згідно другого закону Ньютона отримуємо, що

${\displaystyle ma(\tau )=F_{t}-F_{op}.}$

Враховуючи, що ${\displaystyle a(\tau )=V^{\prime }(\tau )}$ та вирази для ${\displaystyle F_{t},F_{op}}$ одержуємо

${\displaystyle mV^{\prime }(\tau )=mg-kV^{2}(\tau ).}$

Отримане рівняння поділимо на ${\displaystyle m}$ та перепишемо так:

${\displaystyle V^{\prime }(\tau )=-{\frac {k}{m}}V^{2}(\tau )+g.}$

Це спеціальне рівняння Ріккаті ${\displaystyle (**)}$ у якому ${\displaystyle a=-{\frac {k}{m}}}$, ${\displaystyle \alpha =0}$, ${\displaystyle b=g}$. Розв'язавши отримане рівняння знаходимо ${\displaystyle V(\tau )}$. Тоді пройдений тілом шлях знаходимо за формулою ${\displaystyle S(\tau )=\int _{0}^{\tau }V(\tau )d\tau }$.

Властивості

Рівняння Ріккаті та його розв'язки володіють такими властивостями.

• Рівняння Ріккаті завжди можна зінтегрувати в квадратурах, якщо вдалося знайти хоча б один його частинний розв'язок.

Справді, якщо ${\displaystyle y_{1}}$ — частинний розв'язок рівняння, то заміна змінних ${\displaystyle y=y_{1}+u}$, де ${\displaystyle u}$ — нова невідома функція незалежної змінної ${\displaystyle x}$, зводить це рівняння до рівняння Бернуллі. Підставивши в ${\displaystyle (*)}$ ${\displaystyle y=y_{1}+u}$, дістанемо

${\displaystyle y_{1}'+u'=q_{0}+q_{1}\cdot (y_{1}+u)+q_{2}\cdot (y_{1}+u)^{2},}$

Розкривши дужки та врахувавши, що ${\displaystyle y_{1}'=q_{0}+q_{1}\,y_{1}+q_{2}\,y_{1}^{2}}$ одержимо таке рівняння для нової функції ${\displaystyle u}$ :

${\displaystyle u'-(q_{1}+2\,q_{2}\,y_{1})\,u=q_{2}\,u^{2},}$

яке є диференціальним рівнянням Бернуллі.

• Якщо ${\displaystyle y_{1}(x),y_{2}(x)}$ деякі часткові розв'язки рівняння Ріккаті, то загальний розв'язок визначається за формулою:

${\displaystyle y={\frac {Cy_{1}+U(x)y_{2}}{C+U(x)}},\quad U(x)=\exp \left[\int q_{2}(y_{1}-y_{2})dx\right].}$

• Загальний розв'язок рівняння Ріккаті ${\displaystyle (*)}$ є раціональною функцією від сталої інтегрування, і навпаки, будь-яке диференціальне рівняння першого порядку, що володіє цією властивістю, є рівнянням Ріккаті.
• Якщо ${\displaystyle y_{1}(x),\ldots ,y_{4}(x)}$ — часткові розв'язки рівняння Ріккаті, що відповідають значенням ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{4}}$ сталої інтегрування, то має місце така тотожність:

${\displaystyle {\frac {y_{3}(x)-y_{1}(x)}{y_{3}(x)-y_{2}(x)}}:{\frac {y_{4}(x)-y_{1}(x)}{y_{4}(x)-y_{2}(x)}}\equiv {\frac {c_{3}-c_{1}}{c_{3}-c_{2}}}:{\frac {c_{4}-c_{1}}{c_{4}-c_{2}}}.}$

З даної формули випливає, що можна побудувати загальний розв'язок рівняння Ріккаті, якщо відомо три його часткові розв'язки.

Зведення до лінійного рівняння другого порядку

Нелінійне рівняння Ріккаті завжди може бути зведене до лінійного диференціального рівняння другого порядку.

Розглянемо рівняння Ріккаті

${\displaystyle y'=q_{0}(x)+q_{1}(x)y+q_{2}(x)y^{2}\!}$

за умови ${\displaystyle q_{2}(x)\neq 0}$ (Якщо ${\displaystyle q_{2}(x)=0\,}$, то рівняння Ріккаті стає лінійним рівнянням першого порядку і може бути легко розв'язане). Функція, визначена формулою ${\displaystyle v=yq_{2}\,}$, де ${\displaystyle y}$ — розв'язок вихідного рівняння Ріккаті, задовольняє рівняння Ріккаті виду:

${\displaystyle v'=v^{2}+R(x)v+S(x),\!}$

де ${\displaystyle S=q_{2}q_{0}}$ і ${\displaystyle R=q_{1}+\left({\frac {q_{2}'}{q_{2}}}\right)}$. Справді

${\displaystyle v'=(yq_{2})'=y'q_{2}+yq_{2}'=(q_{0}+q_{1}y+q_{2}y^{2})q_{2}+v{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}=q_{0}q_{2}+\left(q_{1}+{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}\right)v+v^{2}.\!}$

Виконавши заміну ${\displaystyle v=-u'/u\,}$, одержуємо що функція ${\displaystyle u}$ задовольняє лінійне рівняння другого порядку

${\displaystyle u''-R(x)u'+S(x)u=0\!}$

оскільки

${\displaystyle v'=-(u'/u)'=-(u''/u)+(u'/u)^{2}=-(u''/u)+v^{2},}$

а тому

${\displaystyle u''/u=v^{2}-v'=-S-Rv=-S+Ru'/u\!}$

і остаточно

${\displaystyle u''-Ru'+Su=0.\!}$

Розв'язавши отримане рівняння другого порядку відносно ${\displaystyle u}$ за формулою ${\displaystyle y=-u'/(q_{2}u)\,}$ одержуємо розв'язок вихідного рівняння Ріккаті.

Приклади

Сім'я розв'язків рівняння Ріккаті ${\displaystyle y'=3e^{x}-y-e^{-x}y^{2}}$

Приклад 1. Розв'язати рівняння Ріккаті

${\displaystyle y'=3e^{x}-y-e^{-x}y^{2}}$

У даному рівнянні в нас ${\displaystyle q_{0}(x)=3e^{x}}$, ${\displaystyle q_{1}(x)=-1}$, ${\displaystyle q_{2}(x)=-e^{-x}}$.

Розв'язати рівняння Ріккаті можна спираючись на відомі властивості його розв'язку. Якщо нам вдасться підібрати один чи два часткові розв'язки, то зможемо потім записати і його загальний розв'язок, зокрема звівши до рівняння Бернуллі. З вигляду коефіцієнтів рівняння спробуємо це зробити шукаючи розв'язок у формі ${\displaystyle y=Ae^{mx}}$, де ${\displaystyle A,m}$ -- сталі, які потрібно знайти. Підставимо у рівняння:

${\displaystyle Ame^{mx}=3e^{x}-Ae^{mx}-e^{-x}A^{2}e^{2mx}\quad \Rightarrow }$

${\displaystyle e^{mx}(Am+A^{2}e^{(m-1)x}+A)=3e^{x}.}$

Прирівнявши показники експонент (поклавши ${\displaystyle m=1}$) та скоротивши дві частини рівності на ${\displaystyle e^{x}}$ отримуємо

${\displaystyle 2A+A^{2}=3.}$

Розв'язавши отримане квадратне рівняння щодо ${\displaystyle A}$ одержуємо два можливі значення числа ${\displaystyle A}$: ${\displaystyle A=1}$ та ${\displaystyle A=-3}$.

Отже, нам вдалося знайти два часткові розв'язки розглядуваного рівняння:

${\displaystyle y_{1}=-3e^{x},\quad y_{2}=e^{x}.}$

Маючи два розв'язки, можемо записати загальний. Спочатку знаходимо

${\displaystyle U(x)=\exp \left[\int q_{2}(y_{1}-y_{2})dx\right]=\exp \left[\int -e^{-x}(-4e^{x})dx\right]=\exp \left[\int 4dx\right]=e^{4x}}$

Тоді шуканий загальний розв'язок записується у вигляді

${\displaystyle y={\frac {Cy_{1}+U(x)y_{2}}{C+U(x)}}={\frac {-3Ce^{x}+e^{5x}}{C+e^{4x}}}.}$

Матричне рівняння Ріккаті

Матричним рівнянням Ріккаті називається диференціальне рівняння:

${\displaystyle {\frac {dX}{dt}}=XA(t)X+B(t)X+XC(t)+D(t).}$

де ${\displaystyle X}$ — невідома матриця розмірів ${\displaystyle n\times m}$, а розміри матриць ${\displaystyle A(t),B(t),C(t),D(t)}$ відповідно ${\displaystyle m\times n}$, ${\displaystyle n\times n}$, ${\displaystyle m\times m}$, ${\displaystyle n\times m}$.

Матричне рівняння Ріккаті відіграє важливу роль в теорії лінійних гамільтонових систем, варіаційному численні, задачах оптимального управління, фільтрації, стабілізації керованих лінійних систем. Наприклад, оптимальне управління ${\displaystyle u_{0}}$ в задачі мінімізації функціонала:

${\displaystyle x^{T}(t_{1})\Phi x(t_{1})=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[x^{T}(t)M(t)x(t)+u^{T}(t)N(t)x(t)\right]dt}$

на розв'язках системи:

${\displaystyle x'=A(t)x+B(t)u,\quad x(t_{0})=x_{0},}$

(${\displaystyle n\times n}$-матриці ${\displaystyle \Phi ,M(t)}$ симетричні і невід'ємноозначені, а ${\displaystyle m\times m}$ -матриця ${\displaystyle N(t)}$, додатноозначена при ${\displaystyle t\in [t_{0},t_{1}]}$), визначається формулою:

${\displaystyle u_{0}(t)=-N^{-1}(t)B^{T}(t)Z(t)x\,}$

де ${\displaystyle Z(t)}$— розв'язок матричного рівняння Ріккаті:

${\displaystyle Z'=-ZA(t)-A^{T}(t)Z+ZB(t)N^{-1}(t)B^{T}(t)Z-M(t)\,}$

з граничною умовою ${\displaystyle Z(t_{1})=\Phi .\,}$

У задачах управління на нескінченному інтервалі часу важливими є питання про існування у матричного рівняння Ріккаті невід'ємноозначеного обмеженого на ${\displaystyle [t_{0},\infty ]}$ розв'язку, про існування періодичного або майже періодичного розв'язку (у випадку періодичних або майже періодичних коефіцієнтів рівняння) і про способи наближеної побудови таких рішень.

Див. також

• Диференціальне рівняння Бернуллі
• Лінійне диференційне рівняння