Диференціальне рівняння Бернуллі

Диференціальне рівняння Бернуллі — диференціальне рівняння вигляду:

${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n},\quad n\neq 1,\ 0}$.

назване на честь Якоба Бернуллі.

Метод розв'язку

1. Поділимо ліву та праву частини на ${\displaystyle y^{n}}$:

${\displaystyle {\frac {y'}{y^{n}}}+{\frac {P(x)}{y^{n-1}}}=Q(x),}$

2. Зробимо заміну

${\displaystyle w={\frac {1}{y^{n-1}}};\quad w'={\frac {(1-n)}{y^{n}}}y',}$

3. Розв'язуємо лінійне диференціальне рівняння першого порядку

${\displaystyle {\frac {w'}{1-n}}+P(x)w=Q(x).}$

Наприклад, його можна розв'язати використовуючи інтегрувальний множник

${\displaystyle M(x)=e^{(1-n)\int P(x)dx}.}$

Приклад

${\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}}$

Поділимо на ${\displaystyle y^{2}}$

${\displaystyle y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}}$

Заміна змінних

${\displaystyle w={\frac {1}{y}},\quad w'={\frac {-y'}{y^{2}}}.}$

${\displaystyle w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}}$

${\displaystyle M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}dx}=x^{2}.}$

Помножимо на ${\displaystyle M(x)}$,

${\displaystyle w'x^{2}+2xw=x^{4},\,}$

${\displaystyle \int (wx^{2})'dx=\int x^{4}dx}$

${\displaystyle wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C}$

${\displaystyle {\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C}$

Результат

${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}}$

Див. також

• Рівняння Ріккаті

Джерела

• Крижанівський С.Є. Диференціальні рівняння. — Х.: : ДНТВУ.НКТП, 1938. — 398 с.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2025. — 1600+ с.(укр.)
• Самойленко А. М.; Перестюк М. О.; Парасюк I.О. (2003). Диференціальні рівняння (PDF). Київ: Либідь. с. 600. ISBN 966-06-0249-9.(укр.)