Список моделей многогранників Веннінґера

Стаття є індексованим списком рівномірних ззірчених многогранників з книги Маґнуса Веннінґера Моделі многогранників.

Книга була написана як методичка для побудови фізичних моделей многогранників. Вона включає шаблони та корисні поради для виготовлення, а також короткий опис теорії, що лежить в основі цих форм. Вона містить 75 непризматичних рівномірних многогранників, а також 44 ззірчення опуклих, правильних та майже правильних многогранників.

Цей список був створений для вшанування однієї з найперших робіт Веннінґера про многогранники і зробити детальний опис 119 нумерованих моделей з його книги.

Згадані тут моделі можна називати «N-ми моделлями Веннінґера», або коротко W_N.

Многогранники згруповані в 5 таблиць: звичайні (1-5), майже правильні (6-18), правильні зірчасті многогранники (20-22,41), ззірчення і їх сполуки (19-66) і рівномірні зірчасті многогранники (67-119). Чотири правильні зірчасті многогранники перераховані двічі, позаяк вони належать до кожної з груп: правильних многогранників і ззірчень.

Платонові тіла (правильні) W1 до W5

Номер	Назва	Зображення	Альтернативна назва	Альтернативне зображення	Символ Вітгофа[en]	Зображення вершин і символ Шлефлі	Група симетрії	U#	K#	V	E	F	Грані за типом
1	Чотиригранник		Чотиригранник		2 3	{3,3}	Td	U01	K06	4	6	4	4{3}
2	Октаедр		Hexahedron		2 3	{3,4}	Oh	U05	K10	6	12	8	8{3}
3	Hexahedron (Куб)		Октаедр		2 4	{4,3}	Oh	U06	K11	8	12	6	6{4}
4	Ікосаедр		Додекаедр		2 3	{3,5}	Ih	U22	K27	12	30	20	20{3}
5	Додекаедр		Ікосаедр		2 5	{5,3}	Ih	U23	K28	20	30	12	12{5}

Архімедові тіла (майже правильні) W6 в W18

Номер	Назва	Зображення	Альтернативна назва	Альтернативне зображення	Символ Вітгофа	Зображення вершин і символ Шлефлі	Група симетрії	U#	K#	V	E	F	Грані за типом
6	Зрізаний тетраедр		Тритетраедер		3	3.6.6	Td	U02	K07	12	18	8	4{3} + 4{6}
7	Зрізаний октаедр		Тетрагексаедер або пірамідний куб		3	4.6.6	Oh	U08	K13	24	36	24	6{4} + 8{6}
8	Зрізаний куб		Триоктаедер		4	3.8.8	Oh	U09	K14	24	36	14	8{3} + 6{8}
9	Зрізаний ікосаедр		Пентадодекаедер		3	5.6.6	Ih	U25	K30	60	90	32	12{5} + 20{6}
10	Зрізаний додекаедр		Триікосаедер		5	3.10.10	Ih	U26	K31	60	90	32	20{3} + 12{10}
11	Кубооктаедр		ромбічний дванадцятигранник		3 4	3.4.3.4	Oh	U07	K12	12	24	14	8{3} + 6{4}
12	Ікосододекаедр		Ромбічний тріаконтагедер		3 5	3.5.3.5	Ih	U24	K29	30	60	32	20{3} + 12{5}
13	Малий ромбо-кубічний октаедр		Дельтоподібний ікосотетраедр		2	3.4.4.4	Oh	U10	K15	24	48	26	8{3}+(6+12){4}
14	Малий ромбічний ікосододекаедр		deltoidal hexecontahedron		2	3.4.5.4	Ih	U27	K32	60	120	62	20{3} + 30{4} + 12{5}
15	Зрізаний кубічний октаедр (Великий ромбічно-кубічний октаедр)		disdyakis dodecahedron			4.6.8	Oh	U11	K16	48	72	26	12{4} + 8{6} + 6{8}
16	Зрізаний ікосододекаедр (Great rhombicosidodecahedron)		disdyakis triacontahedron			4.6.10	Ih	U28	K33	120	180	62	30{4} + 20{6} + 12{10}
17	Snub cube		pentagonal icositetrahedron		2 3 4	3.3.3.3.4	O	U12	K17	24	60	38	(8 + 24){3} + 6{4}
18	Snub dodecahedron		pentagonal hexecontahedron		2 3 5	3.3.3.3.5	I	U29	K34	60	150	92	(20 + 60){3} + 12{5}

Многогранники Кеплера–Пуансо (правильні зірчасті многогранники) W20, W21, W22, і W41

Номер	Назва	Зображення	Альтернативна назва	Альтернативне зображення	Символ Вітгофа	Зображення вершин і символ Шлефлі	Група симетрії	U#	K#	V	E	F	Грані за типом
20	Малий ззірчений додекаедр		Великий додекаедр		25/2	{5/2,5}	Ih	U34	K39	12	30	12	12{5/2}
21	Великий додекаедр		Малий ззірчений додекаедр		2 5	{5,5/2}	Ih	U35	K40	12	30	12	12{5}
22	Великий ззірчений додекаедр		Великий ікосаедр		25/2	{5/2,3}	Ih	U52	K57	20	30	12	12{5/2}
41	Великий ікосаедр (16те ззірчення ікосаедра)		Великий ззірчений додекаедр		2 3	{3,5/2}	Ih	U53	K58	12	30	20	20{3}

Ззірчення: моделі від W19 до W66

Ззірчення октаедра

Номер	Назва	Група симетрії	Зображення	Грані
2	Октаедр (правильний)	Oh
19	Ззірчений восьмигранник (Сполука двох тетраедрів)	Oh

Ззірчення додекаедра

Індекс	Назва	Групи симетрії	Зображення	Грані
5	Додекаедр (правильний)	Ih
20	Малий ззірчений додекаедр (правильний) (Перше ззірчення додекаедра)	Ih
21	Великий додекаедр (правильний) (Друге ззірчення додекаедра)	Ih
22	Великий ззірчений додекаедр (правильний) (Третє ззірчення додекаедра)	Ih

Ззірчення ікосаедра

Індекс	Назва	Групи симетрії	Зображення	Грані
4	Ікосаедр (правильний)	Ih
23	Сполука п'яти октаедрів (Перше сполучне ззірчення ікосаедра)	Ih
24	Сполука п'яти тетраедрів (Друге сполучне ззірчення ікосаедра)	I
25	Сполука десяти тетраедрів (Третє сполучне ззірчення ікосаедра)	Ih
26	Малий триамбічний ікосаедр (Перше ззірчення ікосаедра) (Триікосаедр)	Ih
27	Друге ззірчення ікосаедра	Ih
28	Похідний додекаедр (Третє ззірчення ікосаедра)	Ih
29	Четверте ззірчення ікосаедра	Ih
30	П'яте ззірчення ікосаедра	Ih
31	Шосте ззірчення ікосаедра	Ih
32	Сьоме ззірчення ікосаедра	Ih
33	Восьме ззірчення ікосаедра	Ih
34	Дев'яте ззірчення ікосаедра Великий триамбічний ікосаедр	Ih
35	Десяте ззірчення ікосаедра	I
36	Одинадцяте ззірчення ікосаедра	I
37	Дванадцяте ззірчення ікосаедра	Ih
38	Тринадцяте ззірчення ікосаедра	I
39	Чотирнадцяте ззірчення ікосаедра	I
40	П'ятнадцяте ззірчення ікосаедра	I
41	Великий ікосаедр (правильний) (Шістнадцяте ззірчення ікосаедра)	Ih
42	Єхиднаедр (останнє, сімнадцяте ззірчення форма ікосаедра)	Ih

Ззірчення кубооктагедрона

Індекс	Назва	Групи симетрії	Зображення	Грані (октаедричні площини)	Грані (кубічні площини)
11	Кубооктаедр (правильний)	Oh
43	Сполука куба і октаедра (Перше ззірчення кубооктаедра)	Oh
44	Друге ззірчення кубооктаедра	Oh
45	Третє ззірчення кубооктаедра	Oh
46	Четверте ззірчення кубооктаедра	Oh

Ззірчення ікосододекаедра

Індекс	Назва	Групи симетрії	Зображення	Грані (ікосаедричні площини)	Грані (додекаедричні площини)
12	Ікосододекаедр (правильний)	Ih
47	(Перше ззірчення ікосододекаедра) Сполука додекаедра і ікосаедра	Ih
48	Друге ззірчення ікосододекаедра	Ih
49	Третє ззірчення ікосододекаедра	Ih
50	Четверте ззірчення ікосододекаедра (Compound of small stellated dodecahedron and triakis icosahedron)	Ih
51	П'яте ззірчення ікосододекаедра (Compound of small stellated dodecahedron and five octahedra)	Ih
52	Шосте ззірчення ікосододекаедра	Ih
53	Сьоме ззірчення ікосододекаедра	Ih
54	Восьме ззірчення ікосододекаедра (Compound of five tetrahedra and great dodecahedron)	I
55	Дев'яте ззірчення ікосододекаедра	Ih
56	Десяте ззірчення ікосододекаедра	Ih
57	Одинадцяте ззірчення ікосододекаедра	Ih
58	Дванадцяте ззірчення ікосододекаедра	Ih
59	Тринадцяте ззірчення ікосододекаедра	Ih
60	Чотирнадцяте ззірчення ікосододекаедра	Ih
61	Сполука великого ззірченого додекаедра і великого ікосаедра	Ih
62	П'ятнадцяте ззірчення ікосододекаедра	Ih
63	Шістнадцяте ззірчення ікосододекаедра	Ih
64	Сімнадцяте ззірчення ікосододекаедра	Ih
65	Вісімнадцяте ззірчення ікосододекаедра	Ih
66	Дев'ятнадцяте ззірчення ікосододекаедра	Ih

Рівномірні неопуклі тіла від W67 до W119

Номер	Назва	Зображення	Альтернативна назва	Альтернативне зображення	Символ Вітгофа	Зображення вершин і символ Шлефлі	Група симетрії	U#	K#	V	E	F	Грані за типом
67	Tetrahemihexahedron		Tetrahemihexacron		2	4.3/2.4.3	Td	U04	K09	6	12	7	4{3}+3{4}
68	Octahemioctahedron		Octahemioctacron		3	6.3/2.6.3	Oh	U03	K08	12	24	12	8{3}+4{6}
69	Small cubicuboctahedron		Small hexacronic icositetrahedron		4	8.3/2.8.4	Oh	U13	K18	24	48	20	8{3}+6{4}+6{8}
70	Small ditrigonal icosidodecahedron		Small triambic icosahedron		5/23	(5/2.3)3	Ih	U30	K35	20	60	32	20{3}+12{5/2}
71	Small icosicosidodecahedron		Small icosacronic hexecontahedron		3	6.5/2.6.3	Ih	U31	K36	60	120	52	20{3}+12{5/2}+20{6}
72	Small dodecicosidodecahedron		Small dodecacronic hexecontahedron		5	10.3/2.10.5	Ih	U33	K38	60	120	44	20{3}+12{5}+12{10}
73	Dodecadodecahedron		Medial rhombic triacontahedron		5/25	(5/2.5)2	Ih	U36	K41	30	60	24	12{5}+12{5/2}
74	Small rhombidodecahedron		Small rhombidodecacron			10.4.10/9.4/3	Ih	U39	K44	60	120	42	30{4}+12{10}
75	Truncated great dodecahedron		Small stellapentakis dodecahedron		5	10.10.5/2	Ih	U37	K42	60	90	24	12{5/2}+12{10}
76	Rhombidodecadodecahedron		Medial deltoidal hexecontahedron		2	4.5/2.4.5	Ih	U38	K43	60	120	54	30{4}+12{5}+12{5/2}
77	Great cubicuboctahedron		Great hexacronic icositetrahedron		4/3	8/3.3.8/3.4	Oh	U14	K19	24	48	20	8{3}+6{4}+6{8/3}
78	Cubohemioctahedron		Hexahemioctacron		3	6.4/3.6.4	Oh	U15	K20	12	24	10	6{4}+4{6}
79	Cubitruncated cuboctahedron (Cuboctatruncated cuboctahedron)		Tetradyakis hexahedron			8/3.6.8	Oh	U16	K21	48	72	20	8{6}+6{8}+6{8/3}
80	Ditrigonal dodecadodecahedron		Medial triambic icosahedron		5/35	(5/3.5)3	Ih	U41	K46	20	60	24	12{5}+12{5/2
81	Great ditrigonal dodecicosidodecahedron		Great ditrigonal dodecacronic hexecontahedron		5/3	10/3.3.10/3.5	Ih	U42	K47	60	120	44	20{3}+12{5}+12{10/3}
82	Small ditrigonal dodecicosidodecahedron		Small ditrigonal dodecacronic hexecontahedron		5	10.5/3.10.3	Ih	U43	K48	60	120	44	20{3}+12{5/2}+12{10}
83	Icosidodecadodecahedron		Medial icosacronic hexecontahedron		3	6.5/3.6.5	Ih	U44	K49	60	120	44	12{5}+12{5/2}+20{6}
84	Icositruncated dodecadodecahedron (Icosidodecatruncated icosidodecahedron)		Tridyakis icosahedron			10/3.6.10	Ih	U45	K50	120	180	44	20{6}+12{10}+12{10/3}
85	Nonconvex great rhombicuboctahedron (Quasirhombicuboctahedron)		Great deltoidal icositetrahedron		2	4.3/2.4.4	Oh	U17	K22	24	48	26	8{3}+(6+12){4}
86	Small rhombihexahedron		Small rhombihexacron			4.8.4/3.8	Oh	U18	K23	24	48	18	12{4}+6{8}
87	Great ditrigonal icosidodecahedron		Great triambic icosahedron		3 5	(5.3.5.3.5.3)/2	Ih	U47	K52	20	60	32	20{3}+12{5}
88	Great icosicosidodecahedron		Great icosacronic hexecontahedron		3	6.3/2.6.5	Ih	U48	K53	60	120	52	20{3}+12{5}+20{6}
89	Small icosihemidodecahedron		Small icosihemidodecacron		5	10.3/2.10.3	Ih	U49	K54	30	60	26	20{3}+6{10}
90	Small dodecicosahedron		Small dodecicosacron			10.6.10/9.6/5	Ih	U50	K55	60	120	32	20{6}+12{10}
91	Small dodecahemidodecahedron		Small dodecahemidodecacron		5	10.5/4.10.5	Ih	U51	K56	30	60	18	12{5}+6{10}
92	Stellated truncated hexahedron (Quasitruncated hexahedron)		Great triakis octahedron		4/3	8/3.8/3.3	Oh	U19	K24	24	36	14	8{3}+6{8/3}
93	Great truncated cuboctahedron (Quasitruncated cuboctahedron)		Great disdyakis dodecahedron			8/3.4.6	Oh	U20	K25	48	72	26	12{4}+8{6}+6{8/3}
94	Great icosidodecahedron		Great rhombic triacontahedron		5/23	(5/2.3)2	Ih	U54	K59	30	60	32	20{3}+12{5/2}
95	Truncated great icosahedron		Great stellapentakis dodecahedron		3	6.6.5/2	Ih	U55	K60	60	90	32	12{5/2}+20{6}
96	Rhombicosahedron		Rhombicosacron			6.4.6/5.4/3	Ih	U56	K61	60	120	50	30{4}+20{6}
97	Small stellated truncated dodecahedron (Quasitruncated small stellated dodecahedron)		Great pentakis dodecahedron		5/3	10/3.10/3.5	Ih	U58	K63	60	90	24	12{5}+12{10/3}
98	Truncated dodecadodecahedron (Quasitruncated dodecahedron)		Medial disdyakis triacontahedron			10/3.4.10	Ih	U59	K64	120	180	54	30{4}+12{10}+12{10/3}
99	Great dodecicosidodecahedron		Great dodecacronic hexecontahedron		5/3	10/3.5/2.10/3.3	Ih	U61	K66	60	120	44	20{3}+12{5/2}+12{10/3 }
100	Small dodecahemicosahedron		Small dodecahemicosacron		3	6.5/3.6.5/2	Ih	U62	K67	30	60	22	12{5/2}+10{6}
101	Great dodecicosahedron		Great dodecicosacron			6.10/3.6/5.10/7	Ih	U63	K68	60	120	32	20{6}+12{10/3}
102	Great dodecahemicosahedron		Great dodecahemicosacron		3	6.5/4.6.5	Ih	U65	K70	30	60	22	12{5}+10{6}
103	Great rhombihexahedron		Great rhombihexacron			4.8/3.4/3.8/5	Oh	U21	K26	24	48	18	12{4}+6{8/3}
104	Great stellated truncated dodecahedron (Quasitruncated great stellated dodecahedron)		Great triakis icosahedron		5/3	10/3.10/3.3	Ih	U66	K71	60	90	32	20{3}+12{10/3}
105	Nonconvex great rhombicosidodecahedron (Quasirhombicosidodecahedron)		Great deltoidal hexecontahedron		2	4.5/3.4.3	Ih	U67	K72	60	120	62	20{3}+30{4}+12{5/2}
106	Great icosihemidodecahedron		Great icosihemidodecacron		5/3	10/3.3/2.10/3.3	Ih	U71	K76	30	60	26	20{3}+6{10/3}
107	Great dodecahemidodecahedron		Great dodecahemidodecacron		5/3	10/3.5/3.10/3.5/2	Ih	U70	K75	30	60	18	12{5/2}+6{10/3}
108	Great truncated icosidodecahedron (Great quasitruncated icosidodecahedron)		Great disdyakis triacontahedron			10/3.4.6	Ih	U68	K73	120	180	62	30{4}+20{6}+12{10/3}
109	Great rhombidodecahedron		Great rhombidodecacron			4.10/3.4/3.10/7	Ih	U73	K78	60	120	42	30{4}+12{10/3}
110	Small snub icosicosidodecahedron		Small hexagonal hexecontahedron		5/23 3	3.3.3.3.3.5/2	Ih	U32	K37	60	180	112	(40+60){3}+12{5/2}
111	Snub dodecadodecahedron		Medial pentagonal hexecontahedron		25/25	3.3.5/2.3.5	I	U40	K45	60	150	84	60{3}+12{5}+12{5/2}
112	Snub icosidodecadodecahedron		Medial hexagonal hexecontahedron		5/33 5	3.3.3.3.5.5/3	I	U46	K51	60	180	104	(20+6){3}+12{5}+12{5/2}
113	Great inverted snub icosidodecahedron		Great inverted pentagonal hexecontahedron		5/32 3	3.3.3.3.5/3	I	U69	K74	60	150	92	(20+60){3}+12{5/2}
114	Inverted snub dodecadodecahedron		Medial inverted pentagonal hexecontahedron		5/32 5	3.5/3.3.3.5	I	U60	K65	60	150	84	60{3}+12{5}+12{5/2}
115	Great snub dodecicosidodecahedron		Great hexagonal hexecontahedron		5/35/23	3.5/3.3.5/2.3.3	I	U64	K69	60	180	104	(20+60){3}+(12+12){5/2}
116	Great snub icosidodecahedron		Great pentagonal hexecontahedron		25/25/2	3.3.3.3.5/2	I	U57	K62	60	150	92	(20+60){3}+12{5/2}
117	Великий вивернутий оберненокирпатий ікосододекаедр		Great pentagrammic hexecontahedron		3/25/32	(3.3.3.3.5/2)/2	I	U74	K79	60	150	92	(20+60){3}+12{5/2}
118	Small retrosnub icosicosidodecahedron		Small hexagrammic hexecontahedron		3/23/25/2	(3.3.3.3.3.5/2)/2	Ih	U72	K77	180	60	112	(40+60){3}+12{5/2}
119	Great dirhombicosidodecahedron		Great dirhombicosidodecacron		3/25/335/2	(4.5/3.4.3.4.5/2.4.3/2)/2	Ih	U75	K80	60	240	124	40{3}+60{4}+24{5/2}

Джерела

• Wenninger, Magnus (1974). Polyhedron Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-09859-9.
  • Уточнення
    
    • У Веннінґера, зображення вершин для W90 наведене не правильно, ніби у форми є паралельні ребра.
• Wenninger, Magnus (1979). Spherical Models. Cambridge University Press. ISBN 0-521-29432-0.

Ланки

• Magnus J. Wenninger
• Software used to generate images in this article:
  • Stella: Polyhedron Navigator Stella (software) — Can create and print nets for all of Wenninger's polyhedron models.
  • Vladimir Bulatov's Polyhedra Stellations Applet
  • Vladimir Bulatov's Polyhedra Stellations Applet packaged as an OS X application
• M. Wenninger, Polyhedron Models, Errata: known errors in the various editions.