Теорема Ліувілля (комплексний аналіз)

У комплексному аналізі теорема Ліувілля стверджує, що якщо ціла функція ${\displaystyle f(z)}$ комплексних змінних ${\displaystyle z=(z_{1},...,z_{n})}$ є обмеженою, тобто

${\displaystyle |f(z)|\leqslant M<\infty }$

то ${\displaystyle f(z)}$ — константа.

Доведення (для випадку C 1 {\displaystyle \mathbb {C} ^{1}} )

Нехай ${\displaystyle f(z)}$ обмежена на комплексній площині, тобто

${\displaystyle \exists M\;\forall z\;|f(z)|\leq M}$

Скористаємося інтегральною формулою Коші для похідної ${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle f^{\prime }(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{C_{R}}{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)^{2}}}d\xi }$ Де ${\displaystyle C_{R}}$ — коло радіуса ${\displaystyle R}$, що містить точку ${\displaystyle z}$.

Маємо

${\displaystyle |f^{\prime }(z)|\leq {\frac {1}{2\pi }}M{\frac {1}{R^{2}}}2\pi R={\frac {M}{R}}}$

Звідси, зважаючи що інтегральна формула Коші справедлива для довільного контуру, маємо ${\displaystyle \lim _{R\to \infty }{\frac {M}{R}}=0}$

Тоді ${\displaystyle f^{\prime }(z)=0}$ і, відповідно, ${\displaystyle f(z)}$ є константою. Теорема доведена.

Узагальнення

• Якщо ${\displaystyle f(z)}$ ― ціла функція в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ і для деякого ${\displaystyle r\in \mathbb {R} }$,

${\displaystyle |f(z)|\leqslant C|z|^{r}}$

для достатньо великих |z|, то ${\displaystyle f(z)}$ — многочлен від змінних ${\displaystyle (z_{1},\dots ,z_{n})}$ степеня не вище ${\displaystyle r}$.

Доведення для однієї змінної.Визначимо:

${\displaystyle g(z)={\begin{cases}{\frac {f(z)-f(0)}{z}}&z\neq 0\\f'(0)&z=0\end{cases}}}$

Оскільки f є цілою функцією, то g теж є цілою, і, зважаючи на обмеження на f, одержуємо

${\displaystyle |g(z)|<c_{1}+c_{2}\cdot |z|^{n-1}<c'\cdot |z|^{n-1}}$

для достатньо великих |z|.

Якщо припустити, що g є многочленом степеня не більше n-1, то f є многочленом степеня не більше n. Для завершення доведення достатньо використати звичайну теорему Ліувілля і метод математичної індукції.

• Якщо ${\displaystyle u(x)}$ ― дійсна гармонічна функція на всьому просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$,

${\displaystyle u(x)<C(1+|x|^{r})}$

то ${\displaystyle u(x)}$ — гармонічний многочлен від цих змінних.

Твердження для гармонічних функцій

Гармонічна функція ${\displaystyle u(x,y)\,}$ на всій площині не може бути обмеженою зверху або знизу, якщо вона не стала.

Оскільки дійсна і уявна частини цілої комплексної функції є гармонічними функціями, дане твердження є наслідком твердження теореми для цілих функцій. Можна також дати доведення за допомогою інтеграла Пуассона.

Доведення

Нехай гармонічна функція на всій площині ${\displaystyle u(x,y)\geq \;A=const}$. Тоді функція ${\displaystyle v(x,y)=u(x,y)-A\geq \;0}$ є також гармонічною на всій площині.
Позначимо через ${\displaystyle Q(x,y)\,}$ довільну точку площини, ${\displaystyle p={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ — відстань від точки ${\displaystyle Q(x,y)\,}$ до початку координат, і проведемо круг ${\displaystyle K\,}$ з центром у початку координат такого радіуса ${\displaystyle R\,}$, щоб точка ${\displaystyle Q\,}$ була внутрішньою для цього круга (тобто ${\displaystyle R>p\,}$). В силу гармонічності функції ${\displaystyle v(x,y)\,}$ зобразимо її в крузі за допомогою інтеграла Пуассона :

${\displaystyle v(Q)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }v(R,\psi ){\frac {R^{2}-p^{2}}{R^{2}+p^{2}-2Rpcos(\psi -\phi )}}\,d\psi \,}$

тоді отримаємо

${\displaystyle {\frac {R-p}{R+p}}v(0,0)\leq \;v(Q)\leq \;{\frac {R+p}{R-p}}v(0,0)\,}$

Перейшовши до границі, коли ${\displaystyle R\to \;\infty \,}$ , матимемо

${\displaystyle v(0,0)\leq \;v(Q)\leq \;v(0,0)\,}$ тобто ${\displaystyle v(Q)=v(0,0)\,}$.

В силу довільності точки ${\displaystyle Q\,}$ звідси випливає, що

${\displaystyle u(Q)=v(Q)+A=v(0,0)+A\,}$ стала на всій площині.

Див. також

• Нерівність Гарнака

Посилання

• Liouville's theorem на PlanetMath

Література

• М.О.Перестюк,В.В.Маринець (2001). Теорія рівнянь математичної фізики. Київ: Либідь.
• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. В 2 томах. — Москва : Наука, 1976. — 720 с.(рос.)
• Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0763714372
• E.T. Whittaker, G. N. Watson(інші мови). A Course of Modern Analysis. — 5th. — Cambridge, 1902,1927. — 668 с.(англ.)