Топ питань
Часова шкала
Чат
Перспективи
Теорема Сколема — Нетер
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Remove ads
В теорії кілець теорема Сколема — Нетер описує гомоморфізми між центральними простими алгебрами і простими алгебрами, зокрема автоморфізми центральних простих алгебр. Теорема зокрема має важливе значення у теорії тіл (які є центральними простими алгебрами над своїм центром) і іноді називається першою основною теоремою теорії тіл.
Теорему вперше довів норвезький математик Торальф Сколем у 1927 році[1].
Remove ads
Твердження теореми
Якщо f і g — два гомоморфізми скінченновимірної простої алгебри В в скінченновимірну центральну просту алгебру А (обидві над полем k), то в А існує такий оборотний елемент а, що для всіх
Remove ads
Доведення
Розглянемо алгебру , яка є простою оскільки A є центральною простою алгеброю, а Bop є простою. На A можна ввести структури модуля над за допомогою операцій множення:
- і .
Позначимо ці модулі і відповідно. Оскільки вони є модулями над простою алгеброю (а, згідно теореми Веддерберна — Артіна, фактично над алгеброю матриць над деяким тілом) і розмірності їх над k є однаковими (рівними розмірності A як k-векторного простору), то і є ізоморфними.
Нехай — ізоморфізм з у . Тоді є автоморфізмом A як правого модуля над собою і тому має вигляд де a — фіксований оборотний елемент з A. Крім того є гомоморфізмом лівих B-модулів, тобто або, якщо означення і , то . Зокрема для x = 1, одержується рівність для будь-якого Звідси остаточно що завершує доведення.
Remove ads
Наслідки
- Ізоморфні прості підалгебри В і В' скінченновимірної центральної простої алгебри А є спряженими. До того ж будь-який ізоморфізм продовжується до внутрішнього автоморфізма алгебри А, тобто має вигляд де а — оборотний елемент алгебри А.
- Доведення випливає з теореми Сколема — Нетер, якщо разом з g розглянути тотожне вкладення f алгебри В в алгебру А.
- Будь-який автоморфізм центральної простої алгебри є внутрішнім, тобто де а — оборотний елемент алгебри А. У цьому твердженні факт того, що А є центральною алгеброю є значимим. Наприклад комплексні числа є алгеброю над полем дійсних чисел і комплексне спряження є автоморфізмом цієї алгебри, що не є внутрішнім автоморфізмом.
- У доведенні теореми роль А і B є значною мірою симетричною, тому при незначній модифікації доведення одержується симетрична версія теореми: якщо f і g — два гомоморфізми скінченновимірної центральної простої алгебри В в скінченновимірну просту алгебру А (обидві над полем k), то в А існує такий оборотний елемент а, що для всіх
- Також з попередньої версії теореми виводиться симетрична версія першого наслідку: ізоморфні центральні прості підалгебри В і В' скінченновимірної простої алгебри А є спряженими. До того ж будь-який ізоморфізм продовжується до внутрішнього автоморфізма алгебри А, тобто має вигляд де а — оборотний елемент алгебри А.
Remove ads
Узагальнення
Нехай R — просте кільце Артіна з центром F, і нехай A, B — прості підалгебри в R, які містять F і мають скінченну розмірність над F. Якщо — ізоморфізм А на В, як F-алгебр, то існує оборотний елемент такий, що для всіх
Remove ads
Примітки
Див. також
Література
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads