Теорема Сколема — Нетер

В теорії кілець теорема Сколема — Нетер описує гомоморфізми між центральними простими алгебрами і простими алгебрами, зокрема автоморфізми центральних простих алгебр. Теорема зокрема має важливе значення у теорії тіл (які є центральними простими алгебрами над своїм центром) і іноді називається першою основною теоремою теорії тіл.

Теорему вперше довів норвезький математик Торальф Сколем у 1927 році^[1].

Твердження теореми

Якщо f і g — два гомоморфізми скінченновимірної простої алгебри В в скінченновимірну центральну просту алгебру А (обидві над полем k), то в А існує такий оборотний елемент а, що ${\displaystyle g(b)=af(b)a^{-1}}$ для всіх ${\displaystyle b\in B.}$

Доведення

Розглянемо алгебру ${\displaystyle A\otimes _{k}B^{\text{op}}}$, яка є простою оскільки A є центральною простою алгеброю, а B^op є простою. На A можна ввести структури модуля над ${\displaystyle A\otimes _{k}B^{\text{op}}}$ за допомогою операцій множення:

${\displaystyle \left(a\otimes _{k}b\right)x=f(b)xa}$ і ${\displaystyle \left(a\otimes _{k}b\right)x=g(b)xa}$.

Позначимо ці модулі ${\displaystyle A_{f}}$ і ${\displaystyle A_{g}}$ відповідно. Оскільки вони є модулями над простою алгеброю (а, згідно теореми Веддерберна — Артіна, фактично над алгеброю матриць над деяким тілом) і розмірності їх над k є однаковими (рівними розмірності A як k-векторного простору), то ${\displaystyle A_{f}}$ і ${\displaystyle A_{g}}$ є ізоморфними.

Нехай ${\displaystyle \phi }$ — ізоморфізм з ${\displaystyle A_{f}}$ у ${\displaystyle A_{g}}$. Тоді ${\displaystyle \phi }$ є автоморфізмом A як правого модуля над собою і тому має вигляд ${\displaystyle \phi (x)=ax}$ де a — фіксований оборотний елемент з A. Крім того ${\displaystyle \phi }$ є гомоморфізмом лівих B-модулів, тобто ${\displaystyle \phi (bx)=b\phi (x)}$ або, якщо означення ${\displaystyle A_{f}}$ і ${\displaystyle A_{g}}$ , то ${\displaystyle \phi (f(b)x)=g(b)\phi (x)}$. Зокрема для x = 1, одержується рівність ${\displaystyle af(b)=\phi (f(b))=g(b)\phi (1)=g(b)a}$ для будь-якого ${\displaystyle b\in B.}$ Звідси остаточно ${\displaystyle g(b)=af(b)a^{-1},}$ що завершує доведення.

Наслідки

• Ізоморфні прості підалгебри В і В' скінченновимірної центральної простої алгебри А є спряженими. До того ж будь-який ізоморфізм ${\displaystyle g:B\to B'}$ продовжується до внутрішнього автоморфізма алгебри А, тобто має вигляд ${\displaystyle g(b)=aba{-1},}$ де а — оборотний елемент алгебри А.

Доведення випливає з теореми Сколема — Нетер, якщо разом з g розглянути тотожне вкладення f алгебри В в алгебру А.

• Будь-який автоморфізм центральної простої алгебри є внутрішнім, тобто ${\displaystyle \phi (x)=axa{-1},}$ де а — оборотний елемент алгебри А. У цьому твердженні факт того, що А є центральною алгеброю є значимим. Наприклад комплексні числа є алгеброю над полем дійсних чисел і комплексне спряження є автоморфізмом цієї алгебри, що не є внутрішнім автоморфізмом.
• У доведенні теореми роль А і B є значною мірою симетричною, тому при незначній модифікації доведення одержується симетрична версія теореми: якщо f і g — два гомоморфізми скінченновимірної центральної простої алгебри В в скінченновимірну просту алгебру А (обидві над полем k), то в А існує такий оборотний елемент а, що ${\displaystyle g(b)=af(b)a^{-l}}$ для всіх ${\displaystyle b\in B.}$
• Також з попередньої версії теореми виводиться симетрична версія першого наслідку: ізоморфні центральні прості підалгебри В і В' скінченновимірної простої алгебри А є спряженими. До того ж будь-який ізоморфізм ${\displaystyle g:B\to B'}$ продовжується до внутрішнього автоморфізма алгебри А, тобто має вигляд ${\displaystyle g(b)=aba{-1},}$ де а — оборотний елемент алгебри А.

Узагальнення

Нехай R — просте кільце Артіна з центром F, і нехай A, B — прості підалгебри в R, які містять F і мають скінченну розмірність над F. Якщо ${\displaystyle \phi }$ — ізоморфізм А на В, як F-алгебр, то існує оборотний елемент ${\displaystyle x\in R,}$ такий, що ${\displaystyle \phi (a)=xax^{-1}}$ для всіх ${\displaystyle a\in A.}$