Центральна проста алгебра

В теорії кілець центральною простою алгеброю над полем K називається асоціативна алгебра A, яка є простою, і для якої центр є рівним K. Особливо важливим є випадок скінченновимірних центральних простих алгебр і скінченна розмірність іноді є частиною означення.

Приклади

• Комплексні числа C є центральною простою алгеброю над собою але не над полем дійсних чисел R (центром C є усе поле C, а не лише R).
• Кватерніони H утворюють 4-вимірну центральну просту алгебру над R.
• Для будь-якого простого кільця його центр є полем і це кільце є центральною простою алгеброю над своїм центром.
• Кільце квадратних матриць M(n,F) розмірності n над полем F є центральною простою алгеброю над полем F (центром M(n,F) є множина скалярних матриць, яка є ізоморфною полю F). Більш загально кільце квадратних матриць M(n,D) над тілом D є центральною простою алгеброю над центром тіла D.
• Оскільки кожне тіло є (як просте кільце) є центральною простою алгеброю над своїм центром і кільце квадратних матриць над полем є центральною простою алгеброю над цим полем, то кожна кватерніонна алгебра є центральною простою, оскільки кожна така алгебра є ізоморфною або алгебрі із діленням або кільцю квадратних матриць порядку 2 над полем. Навпаки кожна центральна проста алгебра розмірності 4 є ізоморфною кватерніонній алгебрі.

Класи і група Брауера

Докладніше: Група Брауера

Згідно теореми Веддерберна скінченновимірна проста алгебра A є ізоморфною матричній алгебрі M(n,S) для деякого тіла S. Дві скінченновимірні центральні прості алгебри A ~ M(n,S) і B ~ M(m,T) над полем F називаються подібними (еквівалентними за Брауером), якщо тіла S і T є ізоморфними.

Еквівалентність Брауера можна задати також і в інший спосіб: скінченновимірні центральні прості алгебри A і B над полем F є еквівалентними якщо для деяких натуральних чисел n і m алгебра ${\displaystyle A\otimes _{F}M(n,F)}$ є ізоморфною алгебрі ${\displaystyle B\otimes _{F}M(m,F).}$

З означень очевидно, що у кожному класі Брауера міститься рівно одна алгебра з діленням.

На множині класів Брауера можна ввести групову операцію. Для цього використовується така властивість центральних простих алгебр: якщо А — центральна проста алгебра над полем F, а В — проста алгебра, яка містить F у своєму центрі, то тензорний добуток ${\displaystyle A\otimes _{F}B}$ є простою алгеброю. Якщо також В є центральною простою алгеброю, то і ${\displaystyle A\otimes _{F}B}$ є центральною простою алгеброю.

Для класів Брауера [A] і [B] тепер можна ввести ${\displaystyle [A][B]=\left[A\otimes _{F}B\right]}$. Дана операція є коректно визначена і множина красів Брауера із цією операцією утворює групу. Одержана група називається групою Брауера Br(F) поля F.^[1] Вона є завжди комутативною і періодичною..^[2]

Властивості

• Якщо А є центральною простою алгеброю над полем F, то довільний ідеал алгебри ${\displaystyle A\otimes _{F}B}$ має вид ${\displaystyle A\otimes _{F}I,}$ де I — ідеал алгебри B. Зокрема F-алгебра ${\displaystyle A\otimes _{F}B}$ буде простою тоді і тільки тоді, коли простою є F-алгебра B.
• Нехай для скінченновимірної алгебри А над полем F, алгебра А^op побудована на тому самому векторному просторі із тією ж адитивною структурою і множенням на скаляр але із множенням заданим як ${\displaystyle (ab)_{A^{op}}=(ba)_{A}.}$ Тоді алгебра А є центральною простою тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle A\otimes _{F}A^{op}\cong M(n,F),}$ де n — розмірність А над полем F.
• Кожен автоморфізм центральної простої алгебри є внутрішнім автоморфізмом (наслідок теореми Сколема — Нетер).
• Якщо А є скінченновимірною центральною простою алгеброю над полем F і B її простою підалгеброю, то централізатор ${\displaystyle B'=C_{A}(B)}$ алгебри B є теж простою підалгеброю. Окрім того також ${\displaystyle B=C_{A}(B')}$ і для розмірностей виконується рівність dim_F A = dim_F B dim_F B'.
• Розмірність центральної простої алгебри як векторного простору над своїм центром є завжди квадратом: квадратний корінь із цієї розмірності називається степенем.^[3] Степінь еквівалентної алгебри з діленням називається індексом алгебри ^[4] Індекс центральної простої алгебри залежить лише від її класу Брауера.^[5]
• Порядком центральної простої алгебри називається порядок її класу у групі Брауера. Порядок алгебри є дільником її індексу,^[6] і прості дільники в обох числах є однаковими.^[7][8][9]
• Якщо D є центральною алгеброю з діленням над K і її індекс має розклад у добуток простих чисел

${\displaystyle \mathrm {ind} (D)=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{m_{i}}\ }$

тоді D має розклад у тензорний добуток

${\displaystyle D=\bigotimes _{i=1}^{r}D_{i}\ }$

де кожна компонента D_i є центральною алгеброю з діленням індексу ${\displaystyle p_{i}^{m_{i}}}$, і компоненти є визначені з точністю до ізоморфізму.^[10]

Поле розщеплення

Поле E називається полем розщеплення для центральної простої алгебри A над K якщо A⊗E є ізоморфною кільцю матриць над E. Для кожної скінченновимірної центральної простої алгебри існує поле розщеплення. У випадку якщо A є алгеброю з діленням, її максимальне підполе є полем розщеплення. У загальному випадку існує поле розщеплення, яке є сепарабельним розширення поля K степеня рівного індексу A і це поле розщеплення є ізоморфним підполю A.^[11][12] Наприклад, поле C розщеплює алгебру кватерніонів H над R:

${\displaystyle t+x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} \leftrightarrow \left({\begin{array}{*{20}c}t+xi&y+zi\\-y+zi&t-xi\end{array}}\right).}$

За допомогою поля розщеплення можна ввести поняття редукованої норми і редукованого сліду центральної простої алгебри A.^[13] Розглянувши вкладення A у кільце матриць над полем розщеплення, редуковані норма і слід є рівними визначнику і сліду відповідних елементів. Наприклад для алгебри кватерніонів H, при розщепленні вище для елемента t + x i + y j + z k редукована норма є рівною t² + x² + y² + z², а редукований слід 2t.

Редукована норма є мультиплікативною, а редукований слід адитивним. Елемент a A є оборотним якщо і тільки якщо його редукована норма є ненульовою і тому центральна проста алгебра є алгеброю з діленням якщо і тільки якщо редукована норма є ненульовою для всіх ненульовим елементів.^[14]