Теорема Фубіні

У теорії міри Теоремою Фубіні, Теоремою Тонеллі, Теоремою Тонеллі — Фубіні називається ряд пов'язаних тверджень, що зводять обчислення подвійного інтеграла на добутку мір до обчислення повторних інтегралів. Також термін теорема Фубіні використовуються для різних теорем математичного аналізу про рівність подвійних і повторних інтегралів, які по-суті є частковими випадками загальних тверджень.

Теореми названі на честь італійських математиків Гвідо Фубіні і Леоніда Тонеллі.

Формулювання

Теорема Фубіні

Нехай ${\displaystyle (X,\;{\mathcal {F}}_{1},\;\mu _{1}),\;(Y,\;{\mathcal {F}}_{2},\;\mu _{2})}$ — два простори з сигма-скінченною мірою, а ${\displaystyle (X\times Y,\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mu _{1}\otimes \mu _{2})}$ — їх добуток мір. Нехай функція ${\displaystyle f\colon X\times Y\to \mathbb {R} }$ інтегровна щодо міри ${\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}}$, тобто вимірна і також ${\displaystyle \int _{X\times Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}(x,y)<\infty }$. Тоді

• функція ${\displaystyle x\to \int \limits _{Y}f(x,\;y)\,{\text{d}}y}$ визначена майже скрізь і інтегровна щодо ${\displaystyle \mu _{1}}$;
• функція ${\displaystyle y\to \int \limits _{X}f(x,\;y)\,{\text{d}}x}$ визначена майже скрізь і інтегровна щодо ${\displaystyle \mu _{2}}$;
• і також виконуються рівності

${\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).}$

Теорема Тонеллі

Нехай у тих же припущеннях щодо просторів з мірою, що і вище функція ${\displaystyle f:X\times Y\rightarrow [0,+\infty ]}$ є вимірною і невід'ємною. Тоді

• функція ${\displaystyle x\to \int \limits _{X_{2}}f(x,\;y)\,{\text{d}}y}$ визначена і інтегровна щодо ${\displaystyle \mu _{1}}$;
• функція ${\displaystyle x\to \int \limits _{X_{1}}f(x,\;y)\,{\text{d}}x}$ визначена і інтегровна щодо ${\displaystyle \mu _{2}}$;
• і також виконуються рівності

${\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).}$

Теорема Тонеллі — Фубіні

Об'єднуючи результати двох попередніх теорем можна також отримати ще один пов'язаний результат.

Нехай у тих же припущеннях щодо просторів з мірою, що і вище функція ${\displaystyle f:X\times Y\to \mathbb {R} }$ є вимірною і якийсь з інтегралів

${\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x}$

${\displaystyle \int _{Y}\left(\int _{X}|f(x,y)|\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y}$

${\displaystyle \int _{X\times Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}(x,y)}$

є скінченним. Тоді

${\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y).}$

Формулювання в теорії ймовірностей

В термінах теорії ймовірностей твердження теореми Фубіні можна подати так. Нехай ${\displaystyle (\Omega _{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mathbb {P} _{i}),\;i=1,\;2}$ — ймовірнісні простори, і ${\displaystyle X\colon \Omega _{1}\times \Omega _{2}\to \mathbb {R} }$ — випадкова величина на ${\displaystyle (\Omega _{1}\times \Omega _{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mathbb {P} _{1}\otimes \mathbb {P} _{2})}$. Тоді

${\displaystyle \mathbb {E} _{\mathbb {P} _{1}\otimes \mathbb {P} _{2}}[X]=\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{1}}\left[\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{2}}[X]\right]=\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{2}}\left[\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{1}}[X]\right],}$

де індекс позначає ймовірнісну міру, щодо якої береться математичне очікування.

Доведення теореми Фубіні

Нижче наведено доведення рівності ${\displaystyle \int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y)}$ та існування першого інтегралу. Рівність для іншого повторного інтеграла і відповідно рівність між самими повторними інтегралами доводиться аналогічно.

Розглянемо спочатку випадок невід'ємної вимірної функції f визначеної на ${\displaystyle (X\times Y,\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mu _{1}\otimes \mu _{2})}$. Для множини ${\displaystyle E\subset X\times Y}$ проста функція ${\displaystyle \mathbf {1} _{E}}$ задовольняє рівність:

${\displaystyle (\mathbf {1} _{E})_{x}=\mathbf {1} _{E_{x}},\;\forall x\in X,}$

де ${\displaystyle E_{x}=\{y\in Y\mid (x,\;y)\in E)\}}$ — перетин ${\displaystyle E}$ вздовж ${\displaystyle x\in Y}$, а для довільної функції g визначеної на ${\displaystyle X\times Y}$ позначення ${\displaystyle (g)_{x},x\in X}$ позначає функцію-переріз визначену на Y, як ${\displaystyle (g)_{x}(y)=g(x,y),\;\forall y\in Y.}$

З означень інтегралів, характеристичних функцій, добутків мір, а також попередньої рівності отримуємо:

${\displaystyle \int _{X\times Y}\mathbf {1} _{E}\,{\text{d}}(x,y)=\mu _{1}\otimes \mu _{2}(E)=\int \limits _{X}\mu _{2}(E_{x})\,{\text{d}}x=\int _{X}\left(\int _{Y}\mathbf {1} _{E_{x}}\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x.}$

Це разом із лінійністю інтегралів доводить твердження для простих невід'ємних вимірних функцій.

Для довільної невід'ємної вимірної функції f існує послідовність ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ неспадних простих вимірних функцій, що поточково збігаються до f. Для довільного ${\displaystyle x\in X}$

послідовність ${\displaystyle (f_{x})_{n}}$ є неспадною послідовністю простих вимірних функцій, що поточково сходяться до функції ${\displaystyle f_{x}.}$ Згідно теореми Леві про монотонну збіжність:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X\times Y}f_{n}(x,y)\,{\text{d}}(x,y)=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y)<\infty ,}$

Також зважаючи, що функції ${\displaystyle (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ — прості, то з попереднього

${\displaystyle \int _{X\times Y}f_{n}(x,y)\,{\text{d}}(x,y)=\int _{X}\left(\int _{Y}(f_{x})_{n}(y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x.}$

Послідовність функцій ${\displaystyle x\to \int _{Y}(f_{x})_{n}(y)\,{\text{d}}y}$ є неспадною послідовністю невід'ємних ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$- вимірних функцій і згідно теореми Леві про монотонну збіжність їх поточкова границя рівна ${\displaystyle \int _{Y}f_{x}(y)\,{\text{d}}y}$ і теж є ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$- вимірною функцією. Зважаючи на ці властивості за допомогою повторного застосування теореми Леві про монотонну збіжність отримуємо рівність:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{X}\left(\int _{Y}(f_{x})_{n}(y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x=\int _{X}\left(\int _{Y}f_{x}(y)\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x,}$

яка завершує доведення для випадку невід'ємної вимірної функції f. Внутрішній інтеграл є скінченним майже скрізь оскільки в іншому випадку загальний вираз не міг би бути скінченним.

Для довільної вимірної функції f, що задовольняє умови теореми її можна записати як ${\displaystyle f=f_{+}-f_{-},}$ де ${\displaystyle f_{+},f_{-}}$ — невід'ємні вимірні функції для яких також ${\displaystyle \int _{X\times Y}f_{+}\,{\text{d}}(x,y)<\infty }$ і ${\displaystyle \int _{X\times Y}f_{-}\,{\text{d}}(x,y)<\infty .}$

Справедливість теореми Фубіні для загального випадку є таким чином наслідком теореми для випадку невід'ємних функцій і лінійності інтегралів.

Математичний аналіз

Теормін теорема Фубіні часто використовується в математичному аналізі для тверджень про рівність між двовимірними і повторними інтегралами, хоча ці результати були відомі задовго до Фубіні і Тонеллі.

У найпростішому випадку твердження можна подати так. Нехай ${\displaystyle f\colon D=[a,\;b]\times [c,\;d]\to \mathbb {R} }$ — функція двох дійсних змінних, інтегровна за Ріманом на прямокутнику ${\displaystyle [a,\;b]\times [c,\;d]}$, тобто ${\displaystyle f\in \mathbb {R} (D)}$. Тоді

${\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,\;y)\,dx\,dy=\int \limits _{a}^{b}\left[\int \limits _{c}^{d}f(x,\;y)\,dy\right]\,dx=\int \limits _{c}^{d}\left[\int \limits _{a}^{b}f(x,\;y)\,dx\right]\,dy,}$

де інтеграл у лівій стороні двовимірний, а інші повторні одновимірні.

Доведення

Будь-яке розбиття ${\displaystyle \lambda }$ множини ${\displaystyle [a,\;b]\times [c,\;d]}$ отримується деякими розбиттями ${\displaystyle \lambda _{x}}$ відрізка ${\displaystyle X=[a,\;b]}$ і ${\displaystyle \lambda _{y}}$ відрізка ${\displaystyle [c,\;d]}$, при цьому площа кожного прямокутника ${\displaystyle X_{i}\times Y_{j}}$ визначається як ${\displaystyle V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)=\left|X_{i}\right|\cdot \left|Y_{j}\right|}$, де ${\displaystyle X_{i},Y_{j}}$ ? деякі відрізки розбиттів.

Тоді можна дати оцінку для інтеграла

${\displaystyle \int \limits _{X}dx\left[\int \limits _{Y}f\left(x,y\right)\,dy\right]\quad (*)}$

і нижніх і верхніх інтегральних сум функції ${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(f,\lambda \right)}$ и ${\displaystyle {\mathcal {U}}\left(f,\lambda \right)}$:
${\displaystyle {\mathcal {L}}\left(f,\lambda \right)=\sum \limits _{i,j}\inf \limits _{x\in X_{i},y\in Y_{j}}f\left(x,y\right)V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)\leq \sum \limits _{i}\inf \limits _{x\in X_{i}}\left(\sum \limits _{i}\inf \limits _{y\in Y_{j}}f\left(x,y\right)\left|Y_{j}\right|\right)\left|X_{i}\right|}$
${\displaystyle \sum \limits _{i}\inf \left(\int \limits _{Y}f\left(x,y\right)\,dy\right)\left|X_{i}\right|\leq \int \limits _{X}\,dx\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\leq \sum \limits _{i}\sup \left(\int \limits _{Y}f\left(x,y\right)\,dy\right)\left|X_{i}\right|}$
${\displaystyle {\mathcal {U}}\left(f,\lambda \right)=\sum \limits _{i,j}\sup \limits _{x\in X_{i},y\in Y_{j}}f\left(x,y\right)V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)\geq \sum \limits _{i}\sup \limits _{x\in X_{i}}\left(\sum \limits _{i}\sup \limits _{y\in Y_{j}}f\left(x,y\right)\left|Y_{j}\right|\right)\left|X_{i}\right|}$
При інтегровності ${\displaystyle f}$ на ${\displaystyle X\times Y}$, тобто рівності ${\displaystyle \sup \limits _{\lambda }\,{\mathcal {L}}\left(f,\lambda \right)=\inf \limits _{\lambda }\,{\mathcal {U}}\left(f,\lambda \right)}$ інтеграл ${\displaystyle (*)}$ також існує і має таке ж значення, як і ${\displaystyle \iint \limits _{X\times Y}f(x,\;y)\,dx\,dy.}$

Приклади необхідності умов теореми

Функції з нескінченним інтегралом

Розглянемо функцію $${\displaystyle \int _{[0,1]^{2}}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}~\mathrm {d} (x,y).}$$ Для неї не виконується вимога скінченності інтегралу:

${\displaystyle \int _{[0,1]^{2}}\left|{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\right|\mathrm {d} (x,y)=+\infty .}$

Твердження теореми Фубіні для цієї функції не буде справедливим оскільки:

${\displaystyle \int _{0}^{1}\left[\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}~\mathrm {d} y\right]\mathrm {d} x={\frac {\pi }{4}}}$

але

${\displaystyle \int _{0}^{1}\left[\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}~\mathrm {d} x\right]\mathrm {d} y=-{\frac {\pi }{4}}.}$

Добуток не сигма-скінченних мір

Розглянемо добуток двох множин ${\displaystyle I=[0,1]}$.На першій задамо звичайну міру Лебега ${\displaystyle \lambda ,}$ а на іншій — лічильну міру ${\displaystyle m}$ на алгебрі всіх підмножин інтервалу. Лічильна міра не є сигма-скінченною.

Якщо позначити ${\displaystyle \scriptstyle \Delta =\{(x,x)\mid x\in [0,1]\}\subset I^{2}}$ — діагональ, то характеристична функція 1_Δ є вимірною.

Для повторних інтегралів маємо : ${\displaystyle \int _{I}\left[\int _{I}{\mathbf {1} }_{\Delta }(x,y)~\mathrm {d} y\right]~\mathrm {d} x=\int _{I}\left[\int _{I}{\mathbf {1} }_{\{x\}}(y)~\mathrm {d} y\right]~\mathrm {d} x=\int _{I}m(\{x\})~\mathrm {d} x=\lambda (I)=1}$ і :${\displaystyle \int _{I}\left[\int _{I}{\mathbf {1} }_{\Delta }(x,y)~\mathrm {d} x\right]~\mathrm {d} y=\int _{I}\left[\int _{I}{\mathbf {1} }_{\{y\}}(x)~\mathrm {d} x\right]~\mathrm {d} y=\int _{I}\lambda (\{y\})~\mathrm {d} y=\int _{I}0~\mathrm {d} y=0.}$

Дані інтеграли відрізняються оскільки один з вимірних просторів не є сигма-скінченним.

Див. також

• Добуток мір

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 2. — К. : Вища школа, 1993. — 375 с. — ISBN 5-11-003758-2.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2025. — 1200+ с.(укр.)
• М.І.Жалдак, Г.О.Михалін, С.Я.Деканов. Математичний аналіз. Функції багатьох змінних: Навчальний посібник. — К. : НПУ імені М. П. Драгоманова, 2007. — 430 с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 2. — К. : Либідь, 1994. — 304 с. — ISBN 5-325-00351-X.(укр.)
• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Cohn, Donald L. (1997) [1980], Measure theory (вид. reprint), Boston–Basel–Stuttgart: Birkhäuser Verlag, с. IX+373, ISBN 3-7643-3003-1