Трансфінітне число

Трансфінітне число — це числа, які є «нескінченними» в тому сенсі, що вони більші, ніж усі скінченні числа, але не обов'язково абсолютно нескінченні. Термін трансфінітне число був придуманий Георгом Кантором, який хотів уникнути деяких наслідків використання терміна нескінченний у зв'язку з тими об'єктами, які не є скінченними. Зараз прийнято називати трансфінітні кардинали та ординали «нескінченними» числами.

Визначення

Як і скінченні числа, трансфінітні числа можуть використовуватись: як порядкові та кількісні числа. На відміну від кінцевих, трансфінітні ординали і кардинали є різними класами чисел.

• ω (Омега) визначається як найменше трансфінітне порядкове число, це також тип порядку натуральних чисел.

• ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (Алеф-нуль), визначається як перше трансфінітне кардинальне число і являє собою потужність множини натуральних чисел. Якщо аксіома вибору виконується, наступним кардинальним числом є алеф-один ${\displaystyle \aleph _{1}}$. Якщо ні, то можуть бути й інші кардинали, які незрівнянні з алеф-один і більші за алеф-нуль. Але в будь-якому випадку, немає кардиналів між алеф-нуль і алеф-один.

Континуум-гіпотеза стверджує, що не існує ніяких проміжних кардиналів між алеф-нуль і потужностю континуума (множини дійсних чисел): тобто, алеф-один це потужність множини дійсних чисел. (Якщо теорія Цермело-Френкеля (ZFC) несуперечлива, то ні континуум-гіпотези, ні його заперечення не може бути доведено з ZFC .)

Деякі автори як П. Суппес і Дж. Рубін, використовують термін трансфінітні кардинали для потужності Дедекінд-нескінченних множин, в умовах, коли це може бути не еквівалентно «нескінченному кардиналу», тобто, коли Аксіома зліченного вибору не передбачається, або не виконується. Виходячи з цього визначення, є наступні еквівалентні:

• м це трансфінітний кардинал. Тобто, існує Дедекінд-нескінченна множина А така, що потужність A рівна м.
• м + 1 = м.
• ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ≤ м.
• Існує кардинал п, що ${\displaystyle \aleph _{0}}$ + п = м.

Трансфінітні числа є розширенням натуральних чисел.

Розширенням дійсних чисел є сюрреальні числа і гіпердійсні числа.

Див. також

• Абстракція актуальної нескінченності
• Нескінченно мала величина
• Трансфінітна індукція

Посилання

• Леві, Азріель, 2002 (1978) Основні теорії множин. Dover Publications. ISBN 0-486-42079-5
• O'Коннор, J. J. and E. F. Robertson (1998) «Георг Фердинанд Людвіг Філіп Кантор, [Архівовано 16 вересня 2006 у Wayback Machine.]» MacTutor історія математики архів.
• Рубін, Жан E., 1967. «Теорія множин для математики». Сан-Франциско: Holden-Day. Заснована в Морса-Келлі теорії множин.
• Руді Рукер, 2005 (1982) Нескінченність і розуму. Princeton Univ. Натисніть. В першу чергу вивчення філософської наслідки рай Кантора. ISBN 978-0-691-00172-2.
• Патрік Суппес, 1972 (1960) «Аксіоматична теорія множин». Dover. ISBN 0-486-61630-4. Заснована в ЦФС.