Сюрреальні числа

У математиці система сюрреальних чисел (англ. surreal numbers) — лінійно впорядкований клас, що містить дійсні числа, а також нескінченні та нескінченно малі числа, відповідно, більші або менші за модулем, ніж будь-яке додатне дійсне число. Узагальнення дійсних чисел і нескінченних порядкових чисел. Вперше використав Джон Конвей для опису низки аспектів теорії ігор.^[1]

Сюрреальні числа поділяють багато властивостей з дійсними, серед них звичайні арифметичні операції (додавання, віднімання, множення і ділення); як наслідок, вони утворюють упорядковане поле. Як сформульовано в теорії множин фон Неймана —Бернайса —Геделя, сюрреальні числа є найбільшим можливим упорядкованим полем; усі інші впорядковані поля, такі як поля раціональних, дійсних чисел, поле раціональних функцій, поле Леві — Чивіти^[en], супердійсні та гіпердійсні числа, можуть бути втілені як підполя сюрреальної прямої.^[2] Крім того, показано (в теорії множин фон Неймана — Бернайса — Геделя), що максимальний клас поля гіпердійсних чисел ізоморфний максимальному класу поля сюрреальних чисел; у теоріях без аксіоми глобального вибору^[en], і в даних теоріях не обов'язково є істинним, що сюрреальні числа є найбільшим упорядкованим полем. Сюрреальні числа також містять усі трансфінітні порядкові числа; арифметика включає природні операції^[en].

Історія

1907 року австрійський математик Ганс Ган представив ряд Гана^[en] як узагальнення формальних степеневих рядів, а німецький математик Фелікс Гаусдорф увів деякі впорядковані множини, звані η_α-множинами^[en] для ординалів α, і поставив питання, чи можливо знайти сумісну впорядковану групу або структуру поля. 1962 року Норман Аллінг використав модифіковану форму рядів Гана для побудови таких упорядкованих полів, пов'язаних із певними ординалами α, а взяття α як класу всіх ординалів у його побудові дає клас, який є впорядкованим полем, ізоморфним сюрреальним числам.^[3]

Дослідження йосе в грі ґо привело Конвея до ще одного означення й побудови сюрреальних чисел.^[4] Побудову Конвея використано в книзі Дональда Кнута 1974 року «Сюрреальні числа». В своїй книзі, яка має форму діалогу, Кнут придумав термін «сюрреальні числа» для того, що Конвей назвав просто числами.^[5] Пізніше Конвей прийняв термін Кнута і використав для аналізу ігор у своїй книзі 1976 року «Про числа та ігри^[en]».

Окрім Конвея і Кнута, значну роль у теорії сюрреальних чисел зіграв математик Мартін Девід Крускал. На той час сюрреальні числа вже мали всі основні властивості та операції дійсних чисел, і включали всі дійсні числа, поряд із багатьма типами нескінченностей і нескінченно малих величин. Крускал зробив внесок в основу теорії, означення сюрреальних функцій та аналіз їх структур. Він також виявив зв'язок між сюрреальними числами, асимптотикою та експоненціальною асимптотикою. Головне питання, яке поставили Конвей, Крускал і Нортон у кінці 1970-х років, і яке завзято досліджував Крускал, полягає в тому, чи володіють всіма сюрреальними функціями визначені інтеграли. 2015 року на це питання відповіли заперечно Костін, Фрідман та Ерліх. Однак аналіз Костіна та ін. показує, що існують певні інтеграли для досить широкої категорії сюрреальних функцій, для яких простежується широке поняття асимптотичного аналізу Крускала. До своєї смерті 2006 року Крускал збирався разом із Костіним написати книгу про сюрреальний аналіз.

Огляд

У побудові Конвея^[6] сюрреальні числа будуються поетапно. Вони будуються одночасно з бінарним відношенням ${\displaystyle \leqslant }$. При цьому для будь-яких двох сюрреальних чисел ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ або ${\displaystyle a\leqslant {}b}$, або ${\displaystyle b\leqslant {}a}$. (Обидві нерівності можуть виконуватися одночасно, в цьому випадку ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ еквівалентні і позначають одне й те саме число). Числа формуються побудовою пари підмножин уже побудованих чисел: пара підмножин сюрреальних чисел ${\displaystyle L}$ і ${\displaystyle R}$ таких, що всі елементи ${\displaystyle L}$ строго менші від усіх елементів ${\displaystyle R}$, задают нове число, позначуване ${\displaystyle \{L\mid {}R\}}$, при цьому це число є проміжним між усіма елементами ${\displaystyle L}$ і всіма елементами ${\displaystyle R}$.

Різні підмножини можуть визначати однакові числа: ${\displaystyle \{L\mid {}R\}}$ і ${\displaystyle \{L'\mid {}R'\}}$ можуть визначати те саме число, навіть якщо ${\displaystyle L\neq {}L'}$ і ${\displaystyle R\neq {}R'}$ (аналогічно тому, як те саме раціональне число, визначене як відношення двох цілих чисел, можна подати різними відношеннями: ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ і ${\displaystyle {\frac {2}{4}}}$ — різні подання одного й того ж раціонального числа). Тож, строго кажучи, сюрреальні числа є класами еквівалентності подань виду ${\displaystyle \{L\mid {}R\}}$ відносно відношення еквівалентності.

На першому етапі побудови ще не існує чисел, тому можна використовувати тільки порожню множину: ${\displaystyle \{\mid \}}$. Це подання, де ${\displaystyle L}$ і ${\displaystyle R}$ порожні, називається 0. Наступні етапи дають такі форми, як:

${\displaystyle \{0\mid \}=1}$,

${\displaystyle \{1\mid \}=2}$,

${\displaystyle \{2\mid \}=3}$,

а також

${\displaystyle \{\mid 0\}=-1}$,

${\displaystyle \{\mid -1\}=-2}$,

${\displaystyle \{\mid -2\}=-3}$.

Таким чином, цілі числа є підмножиною сюрреальних чисел. (Наведені вище тотожності є визначеннями в тому сенсі, що права частина є назвою для лівої частини). Аналогічно можна побудувати такі числа:

${\displaystyle \{0\mid 1\}={\frac {1}{2}}}$,

${\displaystyle \left\{0\left|{\frac {1}{2}}\right.\right\}={\frac {1}{4}}}$,

${\displaystyle \left\{\left.{\frac {1}{2}}\right|1\right\}={\frac {3}{4}}}$

і так далі. Отже, всі двійково-раціональні числа (раціональні числа, знаменники яких дорівнюють степеня 2) містяться всередині сюрреальних чисел.

Після нескінченного числа етапів стають доступними нескінченні підмножини (для строгішого визначення потрібне поняття трансфінітної індукції), так що будь-яке дійсне число ${\displaystyle a}$ можна подати як ${\displaystyle \{L_{a}\mid {}R_{a}\}}$, де ${\displaystyle L_{a}}$ — множина всіх двійково-раціональних чисел, менших від ${\displaystyle a}$, а ${\displaystyle R_{a}}$ — множина всіх двійково-раціональних раціональних чисел, більших від ${\displaystyle a}$ (подібно до дедекіндового перерізу). Отже, дійсні числа також можна побудувати в класі сюрреальних чисел.

Є також такі подання, як

${\displaystyle \{0,1,2,3,\ldots \mid \}=\omega }$,

${\displaystyle \left\{0\left|1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},\ldots \right.\right\}=\varepsilon }$,

де ${\displaystyle \omega }$ — трансфінітне число, більше від усіх цілих чисел, а ${\displaystyle \varepsilon }$ — нескінченно мале більше від 0, але менше від будь-якого додатного дійсного числа (гіпердійсне число). Більш того, стандартні арифметичні операції (додавання, віднімання, множення та ділення) можна розширити до цих недійсних чисел у спосіб, який перетворює набір сюрреальних чисел на впорядковане поле, так що можна говорити про ${\displaystyle 2\omega }$ або ${\displaystyle \omega -1}$ тощо.

Побудова

Сюрреальні числа будуються індуктивно як класи еквівалентності пар множин сюрреальних чисел, обмежені тією умовою, що кожен елемент першої множини повинен бути меншим за будь-який елемент другої множини. Побудова складається з трьох взаємозалежних частин: правила побудови, правила порівняння та правила еквівалентності.

Форми

Форма сюрреального числа це пара множин сюрреальних чисел, званих його лівою і правою множинами. Форма з лівою множиною ${\displaystyle L}$ і правою множиною ${\displaystyle R}$ записується ${\displaystyle \{L\mid R\}}$. Коли ${\displaystyle L}$ і ${\displaystyle R}$ задано як списки елементів, дужки навколо них можна опустити. Одна або обидві з множин форми можуть бути порожніми. Форма ${\displaystyle {\bigl \{}\{\}\mid \{\}{\bigr \}}}$ з лівою і правою порожніми множинами записується ${\displaystyle \{\mid \}}$.

Числові форми

Правило побудови: Форма ${\displaystyle \{L\mid {}R\}}$ є числовою, якщо переріз множин ${\displaystyle L}$ і ${\displaystyle R}$ є порожньою множиною, і будь-який елемент ${\displaystyle R}$ більший за будь-який елемент ${\displaystyle L}$, згідно з відношенням порядку ⩽, заданим правилом нижче.

Класи еквівалентності числових форм

Числові форми розміщуються в класах еквівалентності; кожен клас еквівалентності є сюрреальним числом. Елементи лівої та правої множин форми взято саме зі всесвіту^[7] сюрреальних чисел (не форм, а класів еквівалентності).

Правило еквівалентності: Дві числові форми x і y є формами одного й того ж числа (перебувають в одному класі еквівалентності) тоді й лише тоді, коли x ⩽ y та y ⩽ x.

Визначення відношення ⩽ буде наведено далі.

Іншими словами, відношення порядку є антисиметричним, тобто вираз x = y (тобто x ⩽ y і y ⩽ x обидва істинні) має бути істинним тільки коли x і y є одним і тим самим об'єктом. Це не стосується форм сюрреальних чисел, але це істинне для сюрреальних чисел (класів еквівалентності).

Клас еквівалентності, що включає ${\displaystyle \{\mid \}}$ називається 0; також ${\displaystyle \{\mid \}}$ це форма сюрреального числа 0.

Порядок

Рекурсивне визначення порядку для сюрреальних форм задається так:

Нехай дано числові форми ${\displaystyle x=\{X_{L}\mid {}X_{R}\}}$ та ${\displaystyle y=\{Y_{L}\mid {}Y_{R}\}}$, тоді x ⩽ y тоді й лише тоді, коли:

• не існує x_L ∈ X_L такого, щоб y ⩽ x_L (кожен у лівій множині x менший, ніж y), і
• не існує y_R ∈ Y_R такого, щоб y_R ⩽ x (кожен елемент у правій множині y більший, ніж x).

Порівняння y ⩽ c для форми y і сюрреального числа c визначається вибором будь-якої форми z із класу еквівалентності c і перевірки y ⩽ z; аналогічно для c ⩽ x і для порівняння b ⩽ c двох сюрреальних чисел.

Індукція

Ця група визначень рекурсивна і вимагає деякої математичної індукції для визначення всесвіту об'єктів (форм і чисел), які зустрічаються в них. Єдиними сюрреальними числами, що досягаються через «скінченну індукцію», є двійково-раціональні числа. Ширший всесвіт досяжний за використання трансфінітної індукції.

Індукційне правило

• Існує ${\displaystyle S_{0}=\{0\}}$, в якій 0 — клас еквівалентності, що складається з єдиної форми ${\displaystyle \{\mid \}}$.
• Для будь-якого порядкового числа ${\displaystyle n}$ маємо ${\displaystyle S_{n}}$ — множину всіх сюрреальних чисел, які можна отримати, застосовуючи правило побудови до всіх підмножин ${\displaystyle \cup _{i<n}S_{i}}$.

Базовий випадок насправді є окремим випадком правила індукції, причому 0 — мітка «найменшого порядкового числа». Оскільки не існує ${\displaystyle S_{i}}$ з i < 0, вираз ${\displaystyle \cup _{i<0}S_{i}}$ є порожньою множиною; єдиною підмножиною порожньої множини є порожня множина, і тому ${\displaystyle S_{0}}$ складається з єдиної сюрреальної форми ${\displaystyle \{\mid \}}$ із класу еквівалентності 0.

Для кожного скінченного порядкового числа ${\displaystyle n}$ множина ${\displaystyle S_{n}}$ цілком упорядкована відносно порівняння сюрреальних чисел.

Перше застосування правила індукції дає три числові форми ${\displaystyle \{\mid 0\}<\{\mid \}<\{0\mid \}}$ (Форма ${\displaystyle \{0\mid 0\}}$ не числова, тому що 0 ⩽ 0). Клас еквівалентності, що містить ${\displaystyle \{0\mid \}}$, позначається 1, а клас еквівалентності, що містить ${\displaystyle \{\mid 0\}}$, позначається −1. Ці три позначення мають особливе значення в аксіомах, які визначають кільце — це нейтральний елемент за додаванням (0), нейтральний елемент за множенням (1) і протилежний до до 1 (-1). Арифметичні операції, визначені нижче, відповідають цим назвам.

Для кожного i < n усі числа, що містяться в ${\displaystyle S_{i}}$, також містяться в ${\displaystyle S_{n}}$ (у вигляді надмножин їх подання в ${\displaystyle S_{i}}$) (Умовний вираз об'єднання всіх попередніх використовується в нашому правилі побудови, замість простішої форми ${\displaystyle S_{n-1}}$, отже визначення і ця властивість також мають сенс, коли n є граничним ординалом^[en]). Кажуть, що Числа в ${\displaystyle S_{n}}$, які є надмножиною деякого числа в ${\displaystyle S_{i}}$, «успадковані з покоління i». Найменше значення α, для якого дане сюрреальне число з'являється в ${\displaystyle S_{\alpha }}$, називається його «днем народження». Наприклад, день народження 0 дорівнює 0, а день народження -1 дорівнює 1.

Друга ітерація правила побудови дає такий порядок класів еквівалентності:

${\displaystyle \{\mid -1\}=\{\mid -1,0\}=\{\mid -1,1\}=\{\mid -1,0,1\}}$

${\displaystyle <\{\mid 0\}=\{\mid 0,1\}}$

${\displaystyle <\{-1\mid 0\}=\{-1\mid 0,1\}}$

${\displaystyle <\{\mid \}=\{-1\mid \}=\{\mid 1\}=\{-1\mid 1\}}$

${\displaystyle <\{0\mid 1\}=\{-1,0\mid 1\}}$

${\displaystyle <\{0\mid \}=\{-1,0\mid \}}$

${\displaystyle <\{1\mid \}=\{0,1\mid \}=\{-1,1\mid \}=\{-1,0,1\mid \}}$.

Порівняння цих класів еквівалентності узгоджується незалежно від вибору форми. Можна помітити, що:

1. В ${\displaystyle S_{2}}$ з'являється чотири нові сюрреальні числа. Два з них містять «екстремальні» форми: ${\displaystyle \{\mid -1,0,1\}}$ що включає всі числа з попередніх поколінь у своїй правому множині, і ${\displaystyle \{-1,0,1\mid \}}$ — у лівій множині. Інші мають форму, яка розбиває всі числа з попередніх поколінь на дві непорожні множини.
2. Кожне сюрреальне число x, що існувало в попередньому «поколінні», існує також у цьому поколінні і отримує принаймні одну нову форму: поділ усіх чисел, відмінних від x від попередніх поколінь у ліву множину (всі числа, менші від x) і в праву множину (всі числа, більші від x).
3. Клас еквівалентності числа залежить тільки від найбільшого елемента його лівої множини та найменшого елемента правої множини.

Неформальні інтерпретації ${\displaystyle \{1\mid \}}$ та ${\displaystyle \{\mid 1\}}$ — «число зразу після 1» та «число перед −1» відповідно; їхні класи еквівалентності позначено 2 та −2. Неформальні інтерпретації ${\displaystyle \{0\mid 1\}}$ та ${\displaystyle \{-1\mid 0\}}$ це «число на півдорозі між 0 і 1» і «число на півдорозі між −1 і 0» відповідно; їхні класи еквівалентності позначено ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$ та ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$. Ці позначення також будуть обґрунтовані правилами сюрреального додавання та множення нижче.

Клас еквівалентності на кожному кроці n можна схарактеризувати його n-повною формою (яка містить так багато елементів, скільки можливо, у своїх лівій і правій множинах). Або ця повна форма містить кожне число з попередніх поколінь, і в цьому випадку це перше покоління, в якому це число зустрічається, або вона містить усі числа з попередніх поколінь, крім одного, і в цьому випадку це нова форма цього самого числа. Ми зберігаємо позначення попереднього покоління для цих «старих» чисел і записуємо порядок далі, використовуючи старі та нові позначення:

${\displaystyle -2<-1<-{\frac {1}{2}}<0<{\frac {1}{2}}<1<2}$.

Третє спостереження поширюється на всі сюрреальні числа зі скінченними лівою і правою множинами. (Для нескінченних лівої або правої множин це справедливо у зміненій формі, оскільки нескінченні множини можуть не містити найбільшого чи найменшого елемента.) Отже, число ${\displaystyle \{1,2\mid 5,8\}}$ еквівалентно ${\displaystyle \{2\mid 5\}}$; можна встановити, що вони є формами 3, використовуючи описану далі властивість день народження, яка є наслідком наведених вище правил.

Властивість «день народження»

Форма ${\displaystyle x=\{L\mid R\}}$, що зустрічається в поколінні n представляє число, успадковане від ранішого покоління, тоді й лише тоді, коли в ${\displaystyle S_{i}}$ для i < n є деяке число, яке більше від усіх елементів L і менше від усіх елементів R. (Іншими словами, якщо L і R розділені числом, створеним на ранішому етапі, то x не є новим числом, а вже побудоване.) Якщо x представляє число з будь-якого покоління ранішого від n, то існує найменше таке покоління i і хоча б одне число y із днем народження i, що лежить між L і R. x є формою цього числа y, іншими словами, лежить у класі еквівалентності ${\displaystyle S_{n}}$, який є надмножиною подання y у поколінні i.

Арифметика

Додавання, протилежне число (обернене за додаванням), множення та обернене число (обернене за множенням) сюрреальних чисел із формами ${\displaystyle x=\{X_{L}\mid X_{R}\}}$ та ${\displaystyle y=\{Y_{L}\mid Y_{R}\}}$ визначаються чотирма рекурсивними формулами

Протилежне число

Число, протилежне числу ${\displaystyle x=\{X_{L}\mid X_{R}\}}$ визначається як:

${\displaystyle -x=-\{X_{L}|X_{R}\}=\{-X_{R}|-X_{L}\}}$

де множина, протилежна множині ${\displaystyle S}$ чисел визначається як множина протилежних до елементів ${\displaystyle S}$:

${\displaystyle -S=\{-s:s\in S\}}$

Аналогічно попередньому, тут відбувається взяття протилежного не форм, а чисел, і доведення того, що протилежне число не залежить від вибору його форми проводиться індуктивно з базою:

${\displaystyle -0=-\{\mid \}=\{\mid \}=0}$.

Далі ми знову згадуватимемо тонкощі, пов'язані з необхідністю вибирати представника класу еквівалентності числа.

Додавання

Визначення додавання задається рекурсивною формулою: ${\displaystyle x+y=\{X_{L}|X_{R}\}+\{Y_{L}|Y_{R}\}=\{X_{L}+y,x+Y_{L}|X_{R}+y,x+Y_{R}\}}$, де

${\displaystyle X+y=\{x+y:x\in X\},x+Y=\{x+y:y\in Y\}}$

Ця формула оперує дією додавання однієї з форм із числами взятими з однієї з множин другої форми. Це слід розуміти як результат такої дії з будь-якою формою взятою з класу еквівалентності числа. Це, очевидно, має сенс лише, якщо результат такої дії залежить від вибору конкретного представника класу еквівалентності числа. Це можна довести індуктивно з базою трьох тверджень:

${\displaystyle 0+0=\{\mid \}+\{\mid \}=\{\mid \}=0}$

${\displaystyle x+0=x+\{\mid \}=\{X_{L}+0\mid X_{R}+0\}=\{X_{L}\mid X_{R}\}=x}$

${\displaystyle 0+y=\{\mid \}+y=\{0+Y_{L}\mid 0+Y_{R}\}=\{Y_{L}\mid Y_{R}\}=y}$

(Останні два твердження самі доводяться індуктивно через перше, тому фактично база індукції зводиться до одного першого твердження)

Віднімання

Віднімання визначається за допомогою додавання та взяття протилежного: $${\displaystyle x-y=\{X_{L}\mid X_{R}\}+\{-Y_{R}\mid -Y_{L}\}=\{X_{L}-y,x-Y_{R}\mid X_{R}-y,x-Y_{L}\}\,.}$$

Множення

У цій формулі зустрічаються вирази, що включають операцію і множину, такі як ${\displaystyle X_{R}y+xY_{R}-X_{R}Y_{R}}$. Це слід розуміти, як множину, що складається з усіх можливих результатів обчислення результатів цих операцій при взятті одного елемента з кожної з множин у виразі, причому, якщо взято елемент із множини в одній частині виразу, то в іншій частині цього ж виразу з тієї ж множини слід взяти цей самий елемент. ${\displaystyle {\begin{aligned}xy&=\{X_{L}|X_{R}\}\{Y_{L}|Y_{R}\}=\\&=\left\{X_{L}y+xY_{L}-X_{L}Y_{L},X_{R}y+xY_{R}-X_{R}Y_{R}|X_{L}y+xY_{R}-X_{L}Y_{R},xY_{L}+X_{R}y-X_{R}Y_{L}\right\}\\\end{aligned}}}$

Обернення

Взяття оберненого за множенням до числа ${\displaystyle y}$ визначається як:

${\displaystyle {\frac {1}{y}}={\Bigg \{}0,{\frac {1+(y_{R}-y)({\frac {1}{y}})_{L}}{y_{R}}},{\frac {1+(y_{L}-y)({\frac {1}{y}})_{R}}{y_{L}}}{\Bigg |}{\frac {1+(y_{L}-y)({\frac {1}{y}})_{L}}{y_{L}}},{\frac {1+(y_{R}-y)({\frac {1}{y}})_{R}}{y_{R}}}{\Bigg \}}}$ для додатного ${\displaystyle y}$, причому в цій формулі використовуються тільки додатні члени ${\displaystyle y_{L}}$ (решта нехтуються), а ${\displaystyle y_{R}}$ завжди додатні.

Зауважимо, що у цьому виразі, який визначає ${\displaystyle {\frac {1}{y}}}$, використовуються елементи ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{y}}\right)_{L}}$ і ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{y}}\right)_{R}}$ лівої та правої множин цього ж числа ${\displaystyle {\frac {1}{y}}}$. Насправді визначення є індуктивним: на кожному новому кроці до лівої та правої множин додаються нові елементи, засновані на вже доданих.^[6]:21 Це цілком природно, якщо згадати, що скінченними множинами можна вичерпати тільки двійково-раціональні числа.

Для від'ємного ${\displaystyle y}$ обернене визначається як ${\displaystyle {\frac {1}{y}}=-\left({\frac {1}{-y}}\right)}$.

Якщо ${\displaystyle y=0}$, то для нього не визначене обернене за множенням.

Ділення

Ділення визначається через обернену величину та множення:

$${\displaystyle {\frac {x}{y}}=x\cdot {\frac {1}{y}}}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{y}}=\left\{\left.0,{\frac {1+(y_{R}-y)\left({\frac {1}{y}}\right)_{L}}{y_{R}}},{\frac {1+\left(y_{L}-y\right)\left({\frac {1}{y}}\right)_{R}}{y_{L}}}\,\,\right|\,\,{\frac {1+(y_{L}-y)\left({\frac {1}{y}}\right)_{L}}{y_{L}}},{\frac {1+(y_{R}-y)\left({\frac {1}{y}}\right)_{R}}{y_{R}}}\right\}}$$

для додатних y. У формулі дозволені лише додатні y_L, при цьому будь-які недодатні члени нехтуються (y_R завжди додатні). Ця формула включає не тільки рекурсію в сенсі можливості ділення на числа з лівої та правої множин y, але й рекурсію в тому сенсі, що члени лівої та правої множин ${\displaystyle {\frac {1}{y}}}$ самі по собі^{[уточнити]}. 0 завжди є членом лівої множини ⁠${\displaystyle {\frac {1}{y}}}$⁠, і це можна використовувати для знаходження інших членів рекурсивним способом. Наприклад, якщо ${\displaystyle y=3=\{2\mid \}}$, то ми знаємо, що лівий член ⁠${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$⁠ буде дорівнювати 0. Це, в свою чергу, означає, що ${\displaystyle {\frac {1+(2-3)0}{2}}={\frac {1}{2}}}$⁠⁠ є правильним членом. Це означає, що

$${\displaystyle {\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{2}}\right)}{2}}={\frac {1}{4}}}$$є лівим членом. Це означає, що

$${\displaystyle {\frac {1+(2-3)\left({\frac {1}{4}}\right)}{2}}={\frac {3}{8}}}$$буде правим членом. Продовжуючи, маємо

$${\displaystyle {\frac {1}{3}}=\left\{\left.0,{\frac {1}{4}},{\frac {5}{16}},\ldots \,\right|\,{\frac {1}{2}},{\frac {3}{8}},\ldots \right\}}$$

Для від'ємного ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle {\frac {1}{y}}}$ визначається як

$${\displaystyle {\frac {1}{y}}=-\left({\frac {1}{-y}}\right)}$$

Якщо y = 0, то ${\displaystyle {\frac {1}{y}}}$ не визначене.

Узгодженість

Можна показати, що визначення додавання, віднімання та множення узгоджені в тому сенсі, що:

• додавання та віднімання визначено рекурсивно в термінах «простіших» додавань і віднімань, так що операції над числами з днем народження ${\displaystyle n}$ можна повністю виразити в термінах сум і різниць чисел із днем народження меншим, ніж ${\displaystyle n}$;
• множення визначено рекурсивно в термінах додавань, віднімань і «простіших» множень, отже добутки чисел із днем народження ${\displaystyle n}$ можна повністю виразити в термінах сум і добутків добутків чисел із днем народження меншим, ніж ${\displaystyle n}$;
• якщо операнди є коректними формами сюрреальних чисел (кожен елемент лівої множини менший за будь-який елемент правої), то результат теж буде коректною формою сюрреального числа;
• всі операції можна розширити до чисел (класів еквівалентності форм): результат додавання, віднімання або множення чисел ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ представлятиме одне і те ж число, незалежно від вибору форм ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$;
• ці операції задовольняють аксіоми поля: аксіомам асоціативності, комутативності, протилежного елемента та дистрибутивності, з нейтральним елементом за додаванням ${\displaystyle 0=\{\mid \}}$ та нейтральним елементом за множенням ${\displaystyle 1=\{0\mid \}}$.

Зважаючи на сказане вище, можна переконатися, що числа, знайдені в перших кількох поколіннях, позначено правильно. Щоб отримати більше поколінь сюрреальних чисел, можна продовжити використовувати індукційне правило:

S₀ = { 0 }

S₁ = { −1 < 0 < 1 }

S₂ = { −2 < −1 < −1/2 < 0 < 1/2 < 1 < 2 }

S₃ = { −3 < −2 < −3/2 < −1 < −3/4 < −1/2 < −1/4 < 0 < 1/4 < 1/2 < 3/4 < 1 < 3/2 < 2 < 3 }

S₄ = { −4 < −3 < ... < −1/8 < 0 < 1/8 < 1/4 < 3/8 < 1/2 < 5/8 < 3/4 < 7/8 < 1 < 5/4 < 3/2 < 7/4 < 2 < 5/2 < 3 < 4 }

Арифметична замкнутість

Для будь-якого натурального числа (скінченного ординала), всі числа в ${\displaystyle S_{n}}$ є двійково-раціональними, тобто можуть бути записані у вигляді нескоротного дробу виду ${\displaystyle {\frac {a}{2^{b}}}}$, де ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ — цілі числа та ${\displaystyle 0\leqslant b<n}$.

Множину всіх сюрреальних чисел, що з'являються в якійсь ${\displaystyle S_{n}}$ зі скінченним ${\displaystyle n}$ можна позначити як ${\displaystyle S_{*}=\cup _{n\in N}S_{n}}$. Можна сформувати три множини ${\displaystyle S_{0}=\{0\}}$, ${\displaystyle S_{+}={x\in S_{*}:x>0}}$, і ${\displaystyle S_{-}={x\in S_{*}:x<0}}$, об'єднанням яких буде ${\displaystyle S_{*}}$. Ніяка ${\displaystyle S_{n}}$ сама по собі не є замкнутою відносно додавання і множення (крім ${\displaystyle S_{0}}$), проте ${\displaystyle S_{*}}$ є; це підкільце раціональних чисел, яке містить усі двійково-раціональні числа.

Існує безліч ординалів β таких, що множина сюрреальних чисел із днем народження меншим, ніж β замкнута відносно арифметичних операцій.^[8] Для будь-якого ординала α, множина сюрреальних чисел із днем народження β = ω^α замкнута відносно додавання і утворює групу; з днем народження меншим, ніж ω^ωα замкнута відносно множення і утворює кільце^[9]; і з днем народження меншим, ніж число епсилон^[en] ε_α замкнута відносно взяття оберненого та утворює поле. Останні також замкнуті відносно експоненційної функції, яку ввели Крускал та Гоншор.^{[8][10]:ch. 10}

Однак, завжди можливо побудувати сюрреальне число, більше від будь-якого елемента множини (додавши множину в ліву частину конструктора) тому набір усіх сюрреальних чисел є власним класом. Разом із порядком та алгебричними операціями вони утворюють упорядковане поле з тим застереженням, що вони не утворюють множини. Насправді це дуже особливе впорядковане поле: найбільше. Будь-яке інше впорядковане поле можна вкласти в сюрреальні числа. Клас усіх сюрреальних чисел позначають ${\displaystyle \mathbf {No} }$.

Нескінченність

Визначимо ${\displaystyle S_{\omega }}$ як множину всіх сюрреальних чисел, які отримуються за допомогою правила побудови з використанням підмножин ${\displaystyle S_{*}}$. (Це той самий індукційний крок, що й раніше, а ординал ω це найменший ординал, більший від усіх натуральних чисел; об'єднання множин, що з'являються в індукційному кроці, тепер є нескінченним об'єднанням скінченних множин, і такий крок можна виконати тільки в теорії множин, яка дозволяє це). Унікальне, порівняно з усім, що було раніше, нескінченно велике додатне число виявляється в ${\displaystyle S_{\omega }}$:

${\displaystyle \omega =\{S_{*}|\}=\{1,2,3,4,...|\}.}$

${\displaystyle S_{\omega }}$ також містить об'єкти, які є раціональними числами. Наприклад, ω-повна форма дробу ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ — це:

${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}=\{y\in S_{*}:3y<1\mid y\in S_{*}:3y>1\}}$.

Добуток цієї форми ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$ з будь-якою формою 3 — це форма, ліва множина якої містить лише числа менші, ніж 1, і права множина якої містить тільки числа більші, ніж 1; і з властивості дня народження випливає, що цей добуток є формою числа 1.

Не тільки всі інші раціональні числа з'являються в ${\displaystyle S_{\omega }}$; всі відсутні дійсні числа теж. Наприклад,

${\displaystyle \pi =\{3,{\frac {25}{8}},{\frac {201}{64}},...|4,{\frac {7}{2}},{\frac {13}{4}},{\frac {51}{16}},...\}}$.

Існує певний зв'язок цих побудов із дедекіндовими перерізами, Конвей у принципі визначає всі побудови сюрреальних чисел як узагальнення ідеї дедекіндових перерізів.^[11]

Єдиними нескінченностями в ${\displaystyle S_{\omega }}$ є ω і −ω; але є й інші недійсні числа ${\displaystyle S_{\omega }}$, які містяться «між» дійсними. Розглянемо найменше додатне число в ${\displaystyle S_{\omega }}$:

${\displaystyle \varepsilon =\{S_{-}\cup S_{0}|S_{+}\}=\{0|1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{8}},...\}=\{0|y\in S_{*}:y>0\}}$.

Це число більше від нуля, але менше від усіх двійково-раціональних чисел. Це означає, що це нескінченно мале число, яке часто позначають ε. ω-повна форма ε (відповідно −ε) така ж, як ω-повна форма 0, за винятком того, що 0 включено в ліву (відповідно, праву) множину. Єдиними «справжніми» нескінченно малими в ${\displaystyle S_{\omega }}$ є ε і його протилежне за додаванням −ε; сума їх із будь-яким двійково-раціональним числом ${\displaystyle y}$ утворює числа y±ε, які також містяться в ${\displaystyle S_{\omega }}$.

Можна виявити зв'язок між ω і ε, помноживши певні форми та отримавши:

ω · ε = {ε · S₊ | ω · S₊ + S_* + ε · S_* }.

Цей вираз визначений лише в теорії множин, яка допускає трансфінітну індукцію аж до ${\displaystyle S_{\omega ^{2}}}$. У такій системі можна показати, що всі елементи лівої множини ω · ε це додатні нескінченно малі числа, а всі елементи правої множини це додатні нескінченно великі числа, і тоді ω · ε має бути найстарішим додатним числом, тобто 1. Отже,

¹/_ε = ω.

Деякі автори замість символу ε систематично використовують ω⁻¹.

Вміст S_ω

Для будь-якого ${\displaystyle x=\{L\mid R\}}$ в ${\displaystyle S_{\omega }}$, рівно один із таких варіантів є істинним:

• L і R обидві порожні, в цьому випадку x = 0;
• R порожня і деяке ціле число n≥0 більше від будь-якого числа в L, у цьому випадку x дорівнює найменшому такому числу n;
• R порожня і не існує такого цілого числа n, яке більше від будь-якого числа в L, у цьому випадку x дорівнює +ω;
• L порожня і деяке ціле число n≤0 менше будь-якого числа в R, у цьому випадку x дорівнює найбільшому такому числу n;
• L порожня і не існує такого цілого числа n, яке менше будь-якого числа в R, у цьому випадку x дорівнює −ω;
• L і R обидві непорожні і:
  • деякі двійково-раціональні числа y містяться строго між L і R (більші від усіх елементів L і менші від усіх елементів R), у цьому випадку x дорівнює найстарішому такому двійково-раціональному числу y;
  • не існує двійково-раціональних чисел y, що лежать строго між L і R, але деяке двійково-раціональне ${\displaystyle y\in L}$ більше або дорівнює від усіх елементів L і менше від усіх елементів R, у такому випадку x дорівнює y+ε;
  • не існує двійково-раціональних чисел y, що лежать строго між L і R, але деяке двійково-раціональне ${\displaystyle y\in R}$ більше від усіх елементів L і менше або дорівнює від усіх елементів R, у такому випадку x дорівнює y−ε;
  • кожне двійково-раціональне число або більше від якогось елемента R, або менше від якогось елемента L, у цьому випадку x це якесь дійсне число, не подаване у вигляді двійково-раціонального числа.

${\displaystyle S_{\omega }}$ не є алгебричним полем, тому що не є замкнутим відносно арифметичних операцій; наприклад ω+1, форма якого ${\displaystyle \{1,2,3,4,...|\}+\{0|\}=\{1,2,3,4,...,\omega |\}}$ не представляє ніякого числа в ${\displaystyle S_{\omega }}$. Найбільша підмножина ${\displaystyle S_{\omega }}$, замкнена відносно (скінченних застосувань) арифметичних операцій, — це поле дійсних чисел, одержуване викиданням ±ω, нескінченно малих ±ε, і нескінченно малих «сусідів» y±ε ненульових двійково-раціональних y.

Ця побудова дійсних чисел відрізняється від дедекіндових перерізів у класичному аналізі тим, що починається з двійково-раціональних чисел, а не з усіх раціональних чисел, а також природно ототожнює двійково-раціональні числа в ${\displaystyle S_{\omega }}$ з їх формами в попередніх поколіннях. (ω-повні форми дійсних елементів ${\displaystyle S_{\omega }}$ однозначно відповідають дійсним числам, отриманим за допомогою дедекіндових перерізів, за умови, що дедекіндові дійсні, відповідні раціональним числам, подаються формою, в якій це число не включено ні до лівої, ні до правої множини). Раціональні числа не є якоюсь особливою, впізнаваною стадією побудови сюрреальних чисел; вони просто є підмножиною Q множини ${\displaystyle S_{\omega }}$, яка містить усі такі x, що xb = a для деякого a і деякого ненульового b, обох взятих із ${\displaystyle S_{*}}$. Показавши, що Q замкнута відносно сюрреальних арифметичних операцій, тим самим показуємо, що це поле; і показуючи, що кожен елемент Q досяжний із ${\displaystyle S_{*}}$ скінченним ланцюжком (не більше двох, насправді) арифметичних операцій, включно зі взяттям оберненого елемента, тим самим показуємо, що Q строго менша від підмножини ${\displaystyle S_{\omega }}$, ототожнюваної з дійсними числами.

Множина ${\displaystyle S_{\omega }}$ має таку ж потужність, як множина дійсних чисел ℝ. Це можна показати, побудувавши сюр'єктивні відображення з ${\displaystyle S_{\omega }}$ в замкнутий одиничний інтервал I в ℝ і назад. Відображення з ${\displaystyle S_{\omega }}$ в I тривіальне; відображаємо числа менші або рівні ε (включно з −ω) в 0, числа, більші або рівні 1−ε (включно з ω) в 1, і числа між ε і 1-ε в їх еквіваленти в I (відображаючи нескінченно близьких сусідів y±ε кожного двійково-раціонального числа y разом із самим y в y. Щоб відобразити I в ${\displaystyle S_{\omega }}$, відобразимо центральну (відкриту) третину (1/3, 2/3) множини I в ${\displaystyle \{\mid \}=0}$; центральну третину (7/9, 8/9) правої третини, що залишилася, в ${\displaystyle \{0\mid \}=1}$; і так далі. Це відображає всі такі інтервали у всі елементи ${\displaystyle S_{*}}$, причому монотонно. Те, що залишиться в I, буде множина Кантора 2^ω, кожна точка якої однозначно визначається розбиттям центральних третин на ліві і праві, що точно відповідає формі ${\displaystyle \{L\mid R\}}$ в ${\displaystyle S_{\omega }}$. Це ставить множину Кантора у взаємно-однозначну відповідність до множини сюрреальних чисел із днем народження ω.

Трансфінітна індукція

Продовжуючи трансфінітну індукцію за ${\displaystyle S_{\omega }}$ ми отримуємо нові ординали α, кожен з яких представлено найбільшим сюрреальним числом із днем народження α. (По суті, це визначення порядкових чисел, як результатів трансфінітної індукції.) Перший такий ординал це ω+1 = { ω | }. Є ще одне нове додатне нескінченне число в поколінні ω+1:

ω−1 = { 1, 2, 3, 4, … | ω}.

Сюрреальне число ω−1 не є ординалом; ординал ω не слідує ні за яким ординалом. Це сюрреальне число з днем народження ω+1, його названо ω−1 оскільки, воно збігається зі сумою чисел ω = { 1, 2, 3, 4, … | } та −1 = { | 0}. Подібно, в поколінні ω+1 є два нових нескінченно малих числа:

2ε = ε + ε = { ε | 1+ε, ¹/₂+ε, ¹/₄+ε, ¹/₈+ε, … } і

ε/2 = ε · ¹/₂ = { 0 | ε }.

На пізнішій стадії трансфінітної індукції з'являється число більше, ніж ω+k для будь-якого натурального числа k:

2ω = ω + ω = { ω+1, ω+2, ω+3, ω+4, … | }

Разом з тим, це число названо ω + ω тому, що його день народження ω + ω (перше ординальне число, яке не отримується з ω багаторазовим взяттям наступного числа) і тому, що воно збігається зі сюрреальною сумою ω і ω; його можна назвати 2ω, тому що воно збігається з добутком чисел ω = { 1, 2, 3, 4, … | } і 2 = {1 | }. Це другий граничний ординал; отримання його з використанням правила побудови вимагає трансфінітної індукції за ${\displaystyle \bigcup _{k<\omega }S_{\omega +k}}$. Для цього потрібне нескінченне об'єднання нескінченних множин, яке є «сильнішою» теоретико-множинною операцією, ніж усе, що до цього було потрібне для трансфінітної індукції.

Зауважимо, що результати звичайних додавання та множення ординалів не завжди збігаються з результатом виконання цих операцій з їх сюрреальними поданнями. Сума ординалів 1 + ω дорівнює ω, а сюрреальна сума коммутативна, і для неї правильно 1 + ω = ω + 1 > ω. Додавання та множення сюрреальних чисел, відповідних ординалам, збігається з природною сумою та природним добутком ординалів.

Так само як 2ω більше, ніж ω + n для будь-якого натурального числа n, існує сюрреальне число ω/2, яке нескінченно велике, але менше, ніж ω − n для будь-якого натурального числа n. ω/2 визначено як

${\displaystyle \omega /2=\{S_{*}\mid \omega -S_{*}\}}$,

де в правій частині позначення ${\displaystyle x-Y}$ використовується в сенсі ${\displaystyle \{x-y:y\in Y\}}$. Це збігається з добутком ω і форми ${\displaystyle \{0\mid 1\}}$ числа ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$. День народження числа ${\displaystyle {\frac {\omega }{2}}}$ — це граничний ординал ω2 (або, що те саме, ω+ω).

Степені ω та нормальна форма Конвея

Щоб класифікувати «порядки» нескінченних та нескінченно малих сюрреальних чисел, також відомих як архімедові класи, Конвей зіставив кожному сюрреальному числу x сюрреальне число

• ω^x = { 0, r ω^x_L | s ω^x_R },

де r та s змінюються в межах додатних дійсних чисел. Якщо x < y то ω^y «нескінченно більше» за ω^x, тобто більше за r ω^x для всіх дійсних чисел r. Степені ω також задовольняють умови

• ω^x ω^y = ω^x+y,
• ω^−x = 1/ω^x,

тож вони поводяться так, як і слід було очікувати від степенів.

Кожен степінь ω також має перевагу бути найпростішим сюрреальним числом у своєму архімедовому класі; навпаки, кожен архімедів клас у межах сюрреальних чисел містить унікального найпростішого члена. Таким чином, для кожного додатного сюрреального числа x завжди існує деяке додатне дійсне число r та деяке сюрреальне число y, так що x − rω^y «нескінченно менше» від x. Показник степеня y — це «логарифм за основою ω» від x, визначений на додатних сюрреальних числах; можна показати, що log_ω відображає додатні сюрреальні числа на сюрреальні числа, і що

log_ω(xy) = log_ω(x) + log_ω(y).

Це розширюється трансфінітною індукцією так, що кожне сюрреальне число має «нормальну форму», аналогічну нормальній формі Кантора для порядкових чисел. Це нормальна форма Конвея: кожне сюрреальне число x можна однозначно записати як

x = r₀ω^y₀ + r₁ω^y₁ + ...,

де кожне r_α — ненульове дійсне число, y_α утворюють строго спадну послідовність сюрреальних чисел. Однак ця «сума» може мати нескінченну кількість членів і загалом має довжину довільного порядкового числа. (Нуль, звичайно, відповідає випадку порожньої послідовності і є єдиним сюрреальним числом без старшого показника.)

З такого погляду, сюрреальні числа нагадують поле степеневого ряду, за винятком того, що спадні послідовності експонент повинні бути обмежені за довжиною порядковим числом і не можуть бути такими ж довгими, як клас порядкових чисел. Це є основою для формулювання сюрреальних чисел як ряду Гана.

Розриви та неперервність

На відміну від дійсних чисел, (власна) підмножина сюрреальних чисел не має найменшої верхньої (або нижньої) межі, якщо вона не має найбільшого (найменшого) елемента. Конвей визначає^[12] розрив як { L | R } такий, що кожен елемент L менший за кожен елемент R, та ${\textstyle L\cup R=\mathbb {No} }$; це не число, оскільки принаймні одна зі сторін є власним класом. Попри подібність, розриви не зовсім те саме, що перерізи Дедекінда,^[a] але все ж можна говорити про доповнення ${\textstyle \mathbb {No} _{\mathfrak {D}}}$ сюрреальних чисел із природним порядком, який є лінійним континуумом^[en] (відповідного розміру класу).^[13]

Наприклад, не існує найменшого додатного нескінченного сюрреального числа, але розрив

$${\displaystyle \{x:\exists n\in \mathbb {N} :x<n\mid x:\forall n\in \mathbb {N} :x>n\}}$$

більший за всі дійсні числа та менший за всі додатні нескінченні сюрреальні числа, і отже, є найменшою верхньою межею дійсних чисел у ${\textstyle \mathbb {No} _{\mathfrak {D}}}$. Аналогічно, розрив ${\textstyle \mathbb {On} =\{\mathbb {No} \mid {}\}}$ більший за всі сюрреальні числа. (Це езотеричний каламбур: у загальній побудові порядкових чисел α «є» множиною порядкових чисел, менших за α, і ми можемо використовувати цю еквівалентність, щоб записати α = { α | } у сюрреальних числах; ${\textstyle \mathbb {On} }$ позначає клас порядкових чисел, і, оскільки ${\textstyle \mathbb {On} }$ є кофіналом^[en] у ${\textstyle \mathbb {No} }$, маємо ${\textstyle \{\mathbb {No} \mid {}\}=\{\mathbb {On} \mid {}\}=\mathbb {On} }$ за розширенням.)

З певною обережністю з погляду теорії множин,^[b] ${\textstyle \mathbb {No} }$ можна забезпечити топологією, де відкриті множини є об'єднаннями відкритих інтервалів (індексованих власними множинами), а також можна визначити неперервні функції.^[13] Також можна визначити еквівалент послідовностей Коші, хоча вони повинні бути індексовані класом порядкових чисел; вони завжди збіжаться, але границею може бути або число, або проміжок, який можна виразити як $${\displaystyle \sum _{\alpha \in \mathbb {No} }r_{\alpha }\omega ^{a_{\alpha }}}$$ з a_α що спадає і не має нижньої межі в ${\textstyle \mathbb {No} }$. (Усі такі прогалини можна розуміти як послідовності Коші, але існують інші типи прогалин, які не є граничними, такі як ∞ та ${\textstyle \mathbb {On} }$).^[13]

Показникова функція

На основі неопублікованої роботи Крускала Гоншор здійснив побудову (за допомогою трансфінітної індукції), яка поширює дійсну показникову функцію exp(x) (з основою e) на сюрреальні величини.^{[10]: :}

Інші експоненти

Функція з основою ω також є показниковою функцією, але не має властивостей, необхідних для розширення функції на дійсні числа. Однак вона буде потрібна при розробці експоненти з основою e, і саме ця функція мається на увазі щоразу, коли надалі використовується позначення ω^x.

Якщо y — діадичний дріб, степеневу функцію ${\textstyle x\in \mathbb {No} }$, x ↦ x^y можна скласти з множення, оберненого множника^{[уточнити]} та квадратного кореня, всі з яких можна визначити індуктивно. Її значення повністю визначаються основним співвідношенням x^y+z = x^y · x^z, і там, де воно визначене, воно обов'язково узгоджується з будь-яким іншим можливим піднесенням до степеня.

Базова індукція

Кроки індукції для сюрреальної експоненти базуються на розкладі в ряд для дійсної експоненти, $${\displaystyle \exp x=\sum _{n\geq 0}{\frac {x^{n}}{n!}}}$$точніше, на тих часткових сумах, які за допомогою базової алгебри можна показати як додатні, але менші за всі наступні. Для додатних x вони позначаються [x]_n і включають усі часткові суми; для x від'ємних, але скінченних, [x]_2n+1 позначає непарні кроки в ряду, починаючи з першого з додатною дійсною частиною (який завжди існує). Для x, рівного мінус нескінченності, непарні часткові суми строго спадають, а позначення [x]_2n+1 означає порожню множину, але виявляється, що відповідні елементи не потрібні в індукції.

Тоді співвідношення, що виконуються для дійсних x < y, мають вигляд

exp x · [y – x]_n < exp y

і

exp y · [x – y]_{2n + 1} < exp x,

і це можна поширити на сюрреальні числа за допомогою визначення

$${\displaystyle \exp z=\{0,\exp z_{L}\cdot [z-z_{L}]_{n},\exp z_{R}\cdot [z-z_{R}]_{2n+1}\mid \exp z_{R}/[z_{R}-z]_{n},\exp z_{L}/[z_{L}-z]_{2n+1}\}.}$$

Це добре визначено для всіх сюрреальних аргументів (значення існує і не залежить від вибору z_L та z_R).

Результати

На підставі цього визначення, виконується таке:^[c]

• exp є строго зростаючою додатною функцією, x < y ⇒ 0 < exp x < exp y
• exp задовольняє exp(x + y) = exp x · exp y
• exp сюр'єктивна (на ${\textstyle \mathbb {No} _{+}}$) і має чітко визначену обернену функцію, log = exp^–1
• на дійсних числах exp збігається зі звичайною експоненційною функцією (отже, exp 0 = 1, exp 1 = e)
• Для нескінченно малого x значення формального степеневого ряду (розклад Тейлора) exp чітко визначена і збігається з індуктивним визначенням
  • Коли x задано в нормальній формі Конвея, множина експонент у результаті є добре впорядкованою, а коефіцієнти є скінченними сумами, що безпосередньо дає нормальну форму результату (яка починається з 1).
  • Аналогічно, для x, нескінченно близького до 1, log x визначається розкладом x – 1 у степеневий ряд.
• Для x рівного плюс нескінченності, exp x також є нескінченним.
  • Якщо x має форму ω^α (α > 0), то exp x має форму ω^ωβ, де β — строго зростаюча функція від α. Фактично існує індуктивно визначена бієкція ${\textstyle g:\mathbb {No} _{+}\to \mathbb {No}$ :\alpha \mapsto \beta } чиє обернене також можна визначити індуктивно
  • Якщо x є «чистою нескінченністю» з нормальною формою x = Σ_α<βr_αω^a_α, де всі a_α > 0, то exp x = ω^{Σ_α<βr_αωg(a_α)}
  • Аналогічно, для x = ω^{Σ_α<βr_αωb_α}, обернена величина визначається як log x = Σ_α<βr_αω^g–1(b_α)
• Будь-яке сюрреальне число можна записати як суму чистої нескінченності, дійсної та нескінченно малої частин, а експонента є добутком часткових результатів, наведених вище.
  • Нормальну форму можна записати, помноживши нескінченну частину (один степінь ω) і дійсну експоненту на степеневий ряд, що випливає з нескінченно малої
  • І навпаки, якщо розділити провідний член нормальної форми, будь-яке сюрреальне число набуде вигляду (ω^{Σ_γ<δt_γωb_γ})·r·(1 + Σ_α<βs_αω^a_α), для a_α < 0, де кожен множник має вигляд, для якого вище наведено спосіб обчислення логарифму; сума тоді є загальним логарифмом
    • Хоча загального індуктивного визначення логарифму (на відміну від експоненти) не існує, часткові результати подаються у вигляді таких визначень. Таким чином, логарифм можна обчислити явно, не посилаючись на те, що він є оберненим до експоненти.
• Експоненційна функція набагато більша за будь-який скінченний степінь
  • Для будь-якого додатного нескінченного x і будь-якого скінченного n, exp(x)/xⁿ нескінченне
  • Для будь-якого цілого n і сюрреального x > n², exp(x) > xⁿ. Це строгіше обмеження є однією з аксіом Рессера для дійсного експоненційного поля^[en].^[8]
• exp задовольняє всі аксіоми Рессера для дійсного експоненційного поля^[8]
  • Сюрреальні числа з експонентою є елементарним розширенням дійсного експоненційого поля.
  • Для порядкового епсилон-числа ε_β, множина сюрреальних чисел із днем народження менше ніж ε_β утворює поле, замкнуте під експонентами, і є також елементарним розширенням дійсного експоненційного поля.

Приклади

Сюрреальна експонента по суті задається її поведінкою на додатних степенях ω, тобто функцією ${\displaystyle g(a)}$, у поєднанні з добре відомою поведінкою на скінченних числах. Далі наведено лише приклади першого випадку. Крім того, ${\displaystyle g(a)=a}$ виконується для значної частини області визначення, наприклад, для будь-якого скінченного числа з додатною дійсною частиною та будь-якого нескінченного числа, яке менше від деякого ітерованого степеня ω (ω^ω··ω для деякої кількості рівнів).

• exp ω = ω^ω
• exp ω^1/ω = ω and log ω = ω^1/ω
• exp (ω · log ω) = exp (ω · ω^1/ω) = ω^{ω1 + 1/ω}
  • Це показує, що функція «степінь ω» несумісна з exp, оскільки сумісність вимагала б тут значення ω^ω
• exp ε₀ = ω^{ωε₀ + 1}
• log ε₀ = ε₀ / ω

Піднесення до степеня

Загальне піднесення до степеня можна визначити як x^y = exp(y · log x), що дає змогу інтерпретувати вирази на зразок 2^ω = exp(ω · log 2). Знову ж таки, важливо відрізнити це визначення від функції «степінь ω», особливо якщо ω може бути основою.

Сюрреальні комплексні числа

Сюрреальне комплексне число^{[уточнити]} — це число виду a + bi, де a та b — сюрреальні числа, а i — квадратний корінь з −1.^[14] Сюрреальні комплексні числа утворюють алгебрично замкнуте поле (за винятком того, що вони є власним класом), ізоморфне алгебричному замиканню^[en] поля, породженого розширенням раціональних чисел власним класом алгебрично незалежних трансцендентних елементів. З точністю до ізоморфізму поля цей факт характеризує поле сюрреальних комплексних чисел у межах будь-якої теорії фіксованих множин.^[12]:Th.27

Ігри

Визначення сюрреальних чисел містило одне обмеження: кожен елемент L має бути строго меншим від кожного елемента R. Якщо це обмеження зняти, можна створити загальніший клас, відомий як ігри (англ. games). Усі ігри побудовані відповідно до цього правила:

Правило побудови

Якщо L та R — дві множини ігор, то { L | R } — це гра.

Додавання, взяття протилежного та порівняння для сюрреальних чисел і для ігор визначаються однаково. Кожне сюрреальне число є грою, але не всі ігри є сюрреальними числами, наприклад, гра { 0 | 0 } не є сюрреальним числом. Клас ігор загальніший, ніж сюрреальні числа, і має простіше визначення, але йому бракує деяких цікавих властивостей сюрреальних чисел. Клас сюрреальних чисел утворює поле, а клас ігор — ні. Сюрреальні числа мають повний порядок: для будь-яких двох сюрреальних чисел вони або рівні, або одне більше від іншого. Ігри мають лише частковий порядок: існують пари ігор, які не є ні рівними, ні більшими, ні меншими одна від одної. Кожне сюрреальне число є додатним, або від'ємним, або нулем. Кожна гра є додатною, або від'ємною, або нульовою^[en], або нечіткою^[en] (непорівнюваною з нулем, наприклад, {1 | −1}).

Хід у грі полягає в тому, що гравець, чий хід, вибирає гру з доступних у L (для лівого гравця) або в R (для правого гравця), а потім передає цю вибрану гру іншому гравцеві. Гравець, який не може походити, оскільки залишилася порожня множина, програв. Додатна гра означає перемогу лівого гравця, від'ємна — правого гравця, нульова гра — хід другого гравця та нечітка гра — хід першого гравця.^{[уточнити]}

Якщо x, y та z є сюрреальними, а x = y, то x z = y z. Однак, якщо x, y та z — ігри, і x = y, то не завжди істинне, що x z = y z Зауважте, що «=» тут означає рівність, а не тотожність.

Застосування в комбінаторній теорії ігор

До сюрреальних чисел спочатку привели дослідження гри ґо,^[4] і є багато зв'язків між популярними іграми та сюрреальними числами. У цьому розділі словом «Гра» з великої букви позначено математичний об'єкт { L | R }, а словом «гра» з малої букви — розважальні ігри, як от шахи чи ґо.

Ми розглядаємо ігри з такими властивостями:

• Два гравці (назвемо їх Лівий та Правий)
• Детермінованість (гра на кожному кроці повністю залежить від вибору, який роблять гравці, а не від випадкового фактора)
• Немає прихованої інформації (наприклад, карт або плиток, які гравець приховує)
• Гравці ходять по черзі (гра може дозволяти або не дозволяти кілька ходів за раз)
• Кожна гра закінчується за скінченну кількість ходів
• Якщо у гравця не залишається жодного дозволеного ходу, гра закінчується, і цей гравець програє.

У більшості ігор початкова позиція на дошці не дає значної переваги жодному з гравців. У міру того, як гра триває і один гравець починає вигравати, з'являються позиції на дошці, в яких цей гравець має явну перевагу. Для аналізу ігор корисно пов'язати з кожною позицією на дошці Гру. Значенням заданої позиції буде Гра { L | R }, де L — множина значень усіх позицій, яких може досягти одним ходом Лівий. Аналогічно, R — множина значень усіх позицій, яких може досягти одним ходом Правий.

Нульова Гра (називана 0) — це Гра, де L та R обидві порожні, тому гравець, який ходить наступним (L або R), негайно програє. Сума двох Ігор G = { L1 | R1 } та H = { L2 | R2 } визначається як Гра G + H = { L1 + H, G + L2 | R1 + H, G + R2 }, де гравець, який ходить, вибирає, на якій з Ігор грати на кожному етапі, а програє так само той, хто не має дозволеного ходу. Це можна уявити, як дві шахові дошки між двома гравцями, які ходять почергово, але вільно вибирають, на якій дошці грати. Якщо G — Гра {L | R}, то −G — Гра {−R | −L}, тобто з оберненими ролями двох гравців. Легко показати, що G − G = 0 для всіх Ігор G (де G − H визначено, як G + (−H)).

Цей простий спосіб пов'язати Ігри з іграми дає цікавий результат. Припустимо, що два ідеальних гравці грають у гру, починаючи з заданої позиції, відповідна Гра якої — x. Можна поділити всі Ігри на чотири класи:

• Якщо x > 0 то Лівий виграє, незалежно від того, хто ходить першим.
• Якщо x < 0 то виграє Правий, незалежно від того, хто ходить першим.
• Якщо x = 0 то виграє гравець, який ходить другим.
• Якщо x || 0 то виграє гравець, який ходить першим.

У загальнішому випадку можна визначити G > H, як G − H > 0, і аналогічно для <, = та ||.

Позначення G || H означає, що G та H непорівнянні. G || H еквівалентно G − H || 0, тобто G > H, G < H та G = H є хибними. Непорівнянні ігри іноді називають сплутаними одна з одною, оскільки гравець може надавати перевагу одній або іншій залежно від того, що до неї додається. Гру, сплутану з нулем, називають нечіткою^[en], на відміну від додатного, від'ємного чи нульового значення. Прикладом нечіткої гри є зірка (*)^[en].

Іноді, коли гра наближається до кінця, вона розпадається на кілька менших ігор, які не взаємодіють між собою, за винятком того, що кожен гравець щоразу може ходити лише в одній із них. Наприклад, у грі ґо дошка повільно заповнюється фішками, доки не залишиться лише кілька маленьких острівців порожнього простору, де гравець може ходити. Кожен острівець подібний до окремої гри в ґо, в яку грають на дуже маленькій дошці. Було б корисно, якби кожну підгру можна було проаналізувати окремо, а потім об'єднати результати, щоб дати аналіз усієї гри. Схоже, це нелегко зробити. Наприклад, може бути дві підгри, де виграє той, хто ходить першим, але коли вони об'єднуються в одну велику гру, виграє вже не перший гравець. Проте, є спосіб провести цей аналіз. Можна застосувати таку теорему:

Якщо велика гра розкладається на дві менші гри, і ці менші ігри мають пов'язані Ігри x і y, тоді велика гра буде пов'язана з Грою x + y.

Гра, що складається з менших ігор, називається диз'юнктивною сумою^[en] цих менших ігор, і теорема стверджує, що визначений нами метод додавання еквівалентний отриманню диз'юнктивної суми доданків.

Історично Конвей розробив теорію сюрреалістичних чисел у порядку, зворотному тому, в якому її наведено тут. Він аналізував йосе в ґо і зрозумів, що було б корисно якось об'єднати аналіз невзаємодіючих підігор в аналіз їх диз'юнктивної суми. Виходячи з цього, він винайшов концепцію Гри і оператор додавання для неї. Потім він перейшов до розробки визначення взяття протилежного та порівняння. Потім він помітив, що певний клас Ігор має цікаві властивості; цим класом стали сюрреальні числа. Нарешті, він розробив оператор множення і довів, що сюрреальні числа насправді є полем і що воно включає як дійсні, так і порядкові числа.

В теорії рішень

Алан Гаєк запропонував використовувати сюрреальні числа як одну з альтернатив дійсним числам у теорії рішень, зокрема, під час аналізу парі Паскаля.^[15]

Коментарі

1. Визначення розриву не враховує умов розрізу Дедекінда, згідно з якими “'L”' та “'R”' є непорожніми, і “'L”' не має найбільшого елемента, а також ідентифікацію розрізу з найменшим елементом у “'R”', якщо такий існує.
2. Важливо, що не існує твердження, що сукупність послідовностей Коші становить клас у теорії множин НБГ.
3. Навіть найтривіальніші з цих рівностей можуть містити трансфінітну індукцію і становити окрему теорему.