Тригонометричний ряд

У математиці тригонометричний ряд — це ряд вигляду:

${\displaystyle {\frac {A_{0}}{2}}+\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(A_{n}\cos {nx}+B_{n}\sin {nx}).}$

Його називають рядом Фур'є, якщо доданки ${\displaystyle A_{n}}$ і ${\displaystyle B_{n}}$ мають вигляд:

${\displaystyle A_{n}={\frac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!f(x)\cos {nx}\,dx\qquad (n=0,1,2,3\dots )}$

${\displaystyle B_{n}={\frac {1}{\pi }}\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!f(x)\sin {nx}\,dx\qquad (n=1,2,3,\dots )}$

де ${\displaystyle f}$ є інтегровною функцією .

Нулі тригонометричного ряду

Унікальність і нулі тригонометричних рядів активно досліджували в Європі XIX століття. По-перше, Георг Кантор довів, що якщо тригонометричний ряд збіжний до функції ${\displaystyle f(x)}$ на інтервалі ${\displaystyle [0,2\pi ]}$, яка тотожно дорівнює нулю або, загальніше, відмінна від нуля не більше ніж у скінченній кількості точок, то всі коефіцієнти ряду дорівнюють нулю.

Пізніше Кантор довів, що навіть якщо множина S, на якій ${\displaystyle f}$ відмінна від нуля, є нескінченною, але похідна множина S' від S скінченна, то всі коефіцієнти дорівнюють нулю. Насправді він довів загальніший результат. Нехай S₀ = S і S_k+1 — похідна множина від S_k. Якщо існує скінченне число n, для якого S_n скінченна, то всі коефіцієнти дорівнюють нулю. Пізніше Лебег довів, що якщо існує зліченно нескінченний ординал α такий, що S_α скінченна, то всі коефіцієнти ряду дорівнюють нулю. Робота Кантора над проблемою унікальності, як відомо, привела його до винаходу трансфінітних порядкових чисел, які з'явилися як індекси α в S_α^[1].

Див. також

• Теорема Данжуа — Лузіна

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Банах С. Диференціальне та інтегральне числення = Rachunek różniczkowy i całkowy. — 2-е. — М. : Наука, 1966. — 436 с.(рос.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 2. — К. : Вища школа, 1993. — 375 с. — ISBN 5-11-003758-2.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2025. — 1000+ с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)
• E.T. Whittaker, G. N. Watson(інші мови). A Course of Modern Analysis. — 5th. — Cambridge, 1902,1927. — 668 с.(англ.)