Централізатор

В абстрактній алгебрі централізатором підмножини ${\displaystyle U}$ групи ${\displaystyle G}$ називається множина елементів ${\displaystyle G}$, які комутують з кожним елементом ${\displaystyle U}$. Дане означення також може бути застосоване для інших алгебричних структур, зокрема моноїдів, напівгруп, кілець, алгебр Лі і т. д.

Означення

Групи і напівгрупи

Централізатором елемента ${\displaystyle x}$ групи (або напівгрупи) ${\displaystyle G}$ називається множина^[1]

${\displaystyle Z_{G}(x):=\{g\in G\mid gx=xg\}}$.

Для деякої підмножини ${\displaystyle U}$ групи (або напівгрупи) ${\displaystyle G}$ подібним чином можна ввести означення централізатора множини

${\displaystyle Z_{G}(U):=\{g\in G\mid gu=ug\ \;\;\forall u\in U\}=\bigcap _{u\in U}Z_{G}(u)}$.

Кільця, алгебри, кільця і алгебри Лі

Якщо ${\displaystyle R}$ — кільце або алгебра, а ${\displaystyle U}$ — підмножина кільця, то централізатором ${\displaystyle U}$ називається множина, що є централізатором мультиплікативної напівгрупи кільця.

Якщо ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ — алгебра Лі (або кільце Лі) з добутком Лі [x, y], то централізатор підмножини ${\displaystyle U}$ алгебри ${\displaystyle {\mathfrak {L}}}$ рівний ^[2]

${\displaystyle \mathrm {Z} _{\mathfrak {L}}(U)=\{x\in {\mathfrak {L}}\mid [x,u]=0}$ для всіх ${\displaystyle u\in U\}}$

Означення централізаторів для кілець Лі пов'язане з означенням для кілець наступним чином. Якщо ${\displaystyle R}$ — асоціативне кільце, то для ${\displaystyle R}$ можна задати добуток [x, y] = xy — yx. Природно, xy = yx тоді і тільки тоді, коли [x, y] = 0. Якщо ми позначимо множину ${\displaystyle R}$ із цим добутком як ${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{R}}$, то централізатор кільця ${\displaystyle U}$ у ${\displaystyle R}$ збігається з централізатором кільця Лі множини ${\displaystyle U}$ в ${\displaystyle {\mathfrak {L}}_{R}}$.

Властивості

Напівгрупи

Нехай ${\displaystyle U'}$ позначає централізатор множини ${\displaystyle U}$ у деякій напівгрупі. Тоді :

• ${\displaystyle U'}$ утворює піднапівгрупуу. Якщо напівгрупа є моноїдом, то централізатор є підмоноїдом.
• ${\displaystyle U'=U'''=U'''''}$.

Групи ^[3]

• Централізатор довільної підмножини є підгрупою ${\displaystyle G}$.

Із рівності ${\displaystyle 1x=x=x1}$ для всіх елементів групи ${\displaystyle G}$ випливає, що одиниця є елементом централізатора для довільної підмножини. Нехай ${\displaystyle g,h\in Z_{G}(U)}$, тоді ${\displaystyle ghx=gxh=xgh,\;\forall x\in U}$, тому ${\displaystyle gh\in Z_{G}(U)}$. Нарешті домноживши рівність ${\displaystyle gx=xg}$ де ${\displaystyle x\in U}$ зліва і справа на ${\displaystyle g^{-1}}$ отримаємо рівність ${\displaystyle xg^{-1}=g^{-1}x}$ і тому ${\displaystyle g^{-1}\in Z_{G}(U)}$.

• Централізатор ${\displaystyle Z_{G}(U)}$ завжди є нормальною підгрупою нормалізатора ${\displaystyle N_{G}(U)}$.

Централізатор очевидно є підгрупою нормалізатора. Нехай тепер ${\displaystyle x\in U,\;f\in Z_{G}(U)\;g\in N_{G}(U)}$. Тоді ${\displaystyle gfg^{-1}x=gfyg^{-1}=gyfg^{-1}=xgfg^{-1}}$, де ${\displaystyle y\in U}$ — такий елемент, що ${\displaystyle xg=yg}$ і відповідно ${\displaystyle g^{-1}x=yg^{-1}}$ (існування такого елемента випливає з означення нормалізатора). З одержаної рівності отримуємо ${\displaystyle gfg^{-1}\in Z_{G}(U)}$, що завершує доведення.

• ${\displaystyle Z_{G}(Z_{G}(U))}$ завжди містить множину ${\displaystyle U}$, проте ${\displaystyle Z_{G}(U)}$ не обов'язково містить ${\displaystyle U}$. Ця властивість має місце лише якщо st = ts для будь-яких ${\displaystyle U}$ і t з множини ${\displaystyle U}$, зокрема якщо ${\displaystyle U}$ є абелевою підгрупою у ${\displaystyle G}$.
• Централізатор ${\displaystyle Z_{G}(U)}$ підмножини ${\displaystyle U}$ є рівним централізатору підгрупи, породженої цією множиною.
• Для довільного елемента групи ${\displaystyle Z_{G}(x^{-1})=Z_{G}(x)}$
• Для довільного елемента групи ${\displaystyle Z_{G}(x)=N_{G}(x)}$.
• З принципу симетрії, якщо ${\displaystyle U}$ і ${\displaystyle V}$ є двома підмножинами у ${\displaystyle G}$, тоді ${\displaystyle V\subseteq Z_{G}(U)}$ в тому і тільки в тому випадку, коли ${\displaystyle U\subseteq Z_{G}(V)}$.
• Для підгрупи ${\displaystyle H}$ групи ${\displaystyle G}$ фактор-група ${\displaystyle N_{G}(H)/Z_{G}(H)}$ є ізоморфною підгрупі ${\displaystyle \operatorname {Aut} (H)}$, групі автоморфізмів групи ${\displaystyle H}$.
• Якщо задати гомоморфізм груп ${\displaystyle T:G\to \operatorname {Inn} (G)}$, як ${\displaystyle T(x)(G)=T_{x}(G)=xgx^{-1}}$, то можна описати ${\displaystyle Z_{G}(U)}$ в термінах дії групи ${\displaystyle \operatorname {Inn} (G)}$ на ${\displaystyle G}$: підгрупа ${\displaystyle \operatorname {Inn} (G)}$, яка фіксує усі елементи ${\displaystyle U}$ є рівною ${\displaystyle T(Z_{G}(U))}$.
• Нехай ${\displaystyle G_{1}}$ і ${\displaystyle G_{2}}$ є групами, ${\displaystyle H}$ — підгрупа ${\displaystyle G_{1}}$ і ${\displaystyle f}$ — гомоморфізм з ${\displaystyle G_{1}}$ у ${\displaystyle G_{2}}$. Тоді ${\displaystyle \ f(Z_{G_{1}}(H))\subseteq Z_{G_{2}}(f(H))}$.
• Якщо також ${\displaystyle f}$ є ізоморфізмом то ${\displaystyle \ f(Z_{G_{1}}(H))=Z_{G_{2}}(f(H))}$.
• Якщо ${\displaystyle H}$ є характеристичною підгрупою групи ${\displaystyle G}$ то і ${\displaystyle Z_{G}(H)}$ є характеристичною підгрупою.
• Якщо ${\displaystyle H}$ є нормальною підгрупою групи ${\displaystyle G}$ то і ${\displaystyle Z_{G}(H)}$ є нормальною підгрупою.

Кільця і алгебри Лі ^[2]

• Централізатори в кільцях і алгебрах є підкільцями і підалгебри, відповідно. Централізатори в кільцях Лі і алгебрах Лі є підкільцями Лі і підалгебрами Лі, відповідно.
• Нормалізатор ${\displaystyle U}$ в кільці Лі містить централізатор ${\displaystyle U}$.
• ${\displaystyle Z_{R}(Z_{R}(U))}$ містить множину ${\displaystyle U}$, але не обов'язково збігається з нею.