Loading AI tools
З Вікіпедії, вільної енциклопедії
Теоре́ма Шарко́вського — теорема з теорії динамічних систем, доведена в 1964 році Олександром Миколайовичем Шарковським. Теорема була першим загальним результатом теорії динамічних систем, при ітеруванні відображень відрізка в себе.
Розглянемо порядок на множині натуральних чисел, який часто називають порядком Шарковського:
▶ ▶ ▶ ▶ ▶ ▶ ▶[1]
▶ · ▶ · ▶ · ▶ ▶ · ▶ ▶
▶ · ▶ · ▶ · ▶ ▶ · ▶ ▶
▶ · ▶ · ▶ · ▶ ▶ · ▶
▶ ▶ ▶ ▶ ▶ ▶ .
Нехай у неперервної функції на відрізку → є цикл періоду (тобто існує такий, що , але ≠ , , де — композиція функції ), тоді у цієї функції є цикли усіх періодів, які менші ніж в сенсі порядку Шарковського. Найбільшими елементами в порядку Шарковського є непарні числа. Тобто наявність у такого відображення циклу періоду 3 гарантує існування циклу будь-якого іншого періоду. А існування циклу періоду 4 може гарантувати лише існування циклу періоду 2.
Будемо казати, що відрізок покриває відрізок при неперервному відображенні якщо . Будемо позначати це як .[2]
Лема 1. Якщо , то існує . Дане твердження елементарно випливає з теореми про проміжне значення функції. розглянемо функцію
З того, що відрізок покриває себе випливає, що існує значення і таке значення , тоді
а отже існує значення , що .
Лема 2. Якщо , то існує відрізок : .
Справедливість цієї леми очевидна з рисунку. Нехай тут , . В силу властивостей функцій, неперервних на компакті, завжди можна обрати пару точок і , як показано на малюнку. Відрізок і буде шуканим відрізком
Лема 3. Нехай для множини відрізків виконується тоді існує такий відрізок .
Доведення. З того, що випливає, що існує .
Далі , а значить існує , отже , а тоді згідно леми 2 існує . Таким чином ця лема доведена для трьох відрізків. Для довільної більшої кількості доведення продовжується за індукцією.
Доведемо, що існування циклу періоду 3 забезпечує існування циклу будь-якого іншого періоду. Розглянемо траєкторію циклу періоду 3, утворену точками , , , як зображено на рисунку. Ця траєкторія утворює два відрізки , . Зауважимо, що це єдиний можливий спосіб утворення циклу періоду 3, з точністю до симетрії.
Неважко бачити, що для даної траєкторії виконується наступне: , оскільки початок переходить в початок , а кінець в кінець . З аналогічних міркувань видно, що і . Цю ситуацію зручно зобразити за допомогою графу.
Отже можна розглянути ланцюжок відрізків, що накривають один одного:
, де відрізок входить раз. Тоді з леми 3 випливає, що існує відрізок . А це означає, що , а значить, це відображення має нерухому точку: (лема 1). А отже знайдено точку, яка має період при відображенні . Те, що цей період є найменшим періодом даної точки легко зрозуміти з вигляду ланцюжка накриттів. Ця траєкторія починається у відрізку і після цього жодного разу не повертається в цей відрізок.
Цей частинний випадок теореми Шарковського нерідко називають теоремою Лі-Йорка. Американські вчені Лі та Йорк в 1975 році опублікували статтю Period three implies chaos (період три означає хаос)[3]. В якій довели, що існування циклу періоду 3 в такій динамічній системі гарантує існування циклу будь-якого періоду. А також, що відрізняє їхню роботу від роботи Шарковського, довели, що в такому випадку динамічна система має ще і хаотичні траєкторії, тобто існує континуум точок, які при ітеруванні відображення відрізку не переходять в себе ні за яку кількість ітерацій. Повне доведення цієї теореми є досить громіздким, із різними способами її доведення можна ознайомитись, наприклад, в цій статті [4].
Другою не менш важливою частиною цієї теоерми є так звана теорема Шарковського про реалізацію. Перша частина теореми Шарковського говорить про те, що якщо в системі є цикл одного періоду, то це гарантує існування цикла й інших періодів. Але вона нічого не каже про те, чи бувають функції з такими періодами, які припускаються в теоремі.
Теорема Шарковського про реалізацію стверджує, що для кожного натурального числа знайдеться така функція , що вона має точку періоду , але не має жодної точки періоду ▶ .
Розглянемо приклад[3] функції , яка має період 5, а значить і всі інші періоди, які менші за 5 в сенсі порядку Шарковського, але не має періоду 3. Покладемо
Проміжні значення доповнемо за лінійністю. Тоді
Отже, на проміжку немає нерухомої точки відображення . Аналогічно два інші відрізка теж не містять нерухомих точок і . Але бачимо, що , тобто на цьому відрізку може бути точка періоду 3. Нехай нерухома точка відображення . Тоді . Якщо тоді , що неможливо, адже точка періоду 3. Отже . Аналогічно . Якщо то , що теж неможливо. Отже . Таким чином, вся траєкторія циклу періоду 3 лежить на відрізку . Зазначимо тепер, що на даному проміжку функція є лінійною . А така функція може мати лише одну нерухому точку — це точка і це нерухома точка відображення , а значить не точка періоду 3.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.