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三维点群
三維空間中,固定一點的等距變換群 来自维基百科,自由的百科全书
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几何学中,三维点群是三维空间中,任何一个固定原点的对称群。等价的说法是,其为球面的对称群。此类群皆为正交群的子群,即固定原点的全体等距同构组成的群,亦可视为全体正交矩阵的乘法群。本身则是全体等距同构的欧氏群的子群。
立体的对称群必由等距同构组成,反之,要分析等距对称构成的群,就是分析所有可能的对称。有界三维立体的全体等距同构,必存在共同的不动点,不妨设其中之一为原点。
立体的对称群,有时称为全体对称群作强调,用以突显与旋转群(或真对称群)的分别。立体的旋转群是其全体对称群与三维空间本身的旋转群之交。立体的旋转群等于全体对称群,当且仅当立体具手性。
三维点群在化学广泛用于描述分子的对称,及组成共价键的分子轨域的对称。此背景下,也称分子对称群。
有限考克斯特群是一族特殊的点群,仅由过原点的若干个镜射生成。阶考克斯特群是由个镜射生成,可以考克斯特-丹金图表示。考克斯特符号则改为用方括号和数字描述,并设有其他标记,用以表示旋转群或其他子群。
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群结构
是直接欧氏群的子群,其元素皆是直接等距同构,即保持定向的等距变换。仅含保持原点不变的直接等距同构。
则是与点反演生成的群的直积:(此处点反演以其矩阵表示,即单位矩阵乘上。)
所以,三维空间中,藉点反演,可以得到直接与间接等距变换之间的一一对应,此外,中仅由直接等距变换组成的子群(必包含在中,亦与中含有点反演的子群一一对应。对应关系如下:
例如,若为,则为;若为,则为。(定义载于下文。)
若直接等距同构群有指数为的子群,则除以上含点反演的子群外,还有另一个对应的子群
含有间接等距变换,但不含点反演。式中与视为等同。举例为,而为。
换言之,是将中的变换,乘上得到。此群作为抽象群与同构。反之,任意对称群,若有间接等距变换,但无点反演,则可以将所有间接变换反演,而变成旋转群。等距群的分类(见下文)中,可以用此性质化简问题。
二维情况下,重旋转的循环群皆是和的正规子群。在三维中,固定旋转轴,则相应有绕该轴的重循环群,是绕该轴的全体旋转群的正规子群。此外,由于指数为的子群必正规,在中正规,也在中正规。此处是向添加过旋转轴的反射面生成,而则是向添加与轴垂直的反射面生成。
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固定原点的三维等距变换
的等距变换中,固定原点的变换,组成正交群,简记为。其元素分类如下:
- 子群中:
- 单位(恒等变换);
- 绕过原点某轴的旋转,且角度不为;
- 绕过原点某轴的旋转,且角度为;
- 及以上变换但额外乘上点反演(将向量映去),即:
- 点反演;
- 绕过原点的某轴,作角度不为的旋转,后再作一次镜射,镜射面过原点,且与旋转轴垂直;
- 关于过原点某平面的镜射。
后三种元素又称瑕旋转。(视乎定义,末一种未必算。)
连同平移变换的简介,见欧几里得群。
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共轭
比较两件立体的对称类时,原点可以分别选取,即两件立体的中心不必相同。更甚者,两件立体具有相同对称类,意思是其对称群在中为共轭子群,即存在,使。
举例:
- 两件立体各仅有镜射对称,即使并非关于同一镜面,仍属同样的对称类;
- 同样,若各仅有三重旋转对称,即使轴向不同,仍属同样的对称类。
若立体的对称群有多条旋转轴或多个镜面,或两者皆有,则两个对称群同属一类,当且仅当有另一个旋转,将前一个对称群的整个结构,变换成后一个对称群。(此种旋转会多于一个,但不会是无穷多个。仅有一条旋转轴或一个镜面时,此种旋转方会有无穷多个。)按定义,上文的不必为旋转,也可以为镜射,然而,由于对称群的结构不具手性,祇需取为旋转。(但空间群则不然,有对空间群具有手性,因为有螺旋变换。)
无穷等距变换群
有许多无穷等距变换群,如绕任意轴转任意无理角度(即圈数或度数为无理数,或弧度数为的无理数倍)的旋转,所生成的无穷循环群;若加入绕同一轴的其他旋转,还可以组成许多非循环的交换群。取不共轴的旋转,则生成非交换群。一般而言,此等非交换群皆为自由群。仅有特别选取的旋转,方能得到有限群,否则一般皆是无穷群。
作为拓扑群的子群,上述无穷子群皆非闭子群。以下讨论的拓扑闭子群:

- 整个是球对称群、
- 相应的旋转群是、
- 其他无穷等距变换群有五个,皆含有过原点的某轴,绕该轴的所有旋转,另外可以:
- 添加或不添加过轴的各镜面反射,
- 另添加或不添加过原点与轴垂直的镜面反射。(共四个)
- 最后,若以上两种反射都无添加,则可以只添加两者的复合,相当于添加与原旋转轴垂直的轴上的旋转。(一个)
添加过轴的各镜面反射的群,不论有否添加过原点与轴垂射的镜面反射,称为两种圆柱对称性。注意若物理实体有无穷旋转对称,则亦必关于过轴的镜面对称。
此七个连续群,称为极限点群或居里极限群,得名自最早研究此种群的皮埃尔·居里。[1][2]轴向群可以分成七列无穷序列,其极限给出五个轴向极限群(有两个重复),而、则不是轴向群的极限。国际记号中,此七个群记为,次序在下文明确给出。[3]
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有限等距变换群
三维空间的对称中,保持原点不动,等价于保持以原点为球心的球面。关于有限的三维点群,亦可参见球面有限对称群列表。
不别共轭之异,三维有限点群只有:
- 个无穷列,此七类群中,每个群至多一条旋转轴有多于两重旋转。该些群皆是圆柱面的对称群(的有限子群),其中圆柱面有限长或无限长是等价的,有时称为轴向点群(英语:axial point groups)或棱柱点群(英语:prismatic point groups)。
- 个其他点群,每个有至少两条至少三重的旋转轴;也可以等价写成有至少两条三重旋转轴,因为全部七个都有多条三重旋转轴。若数出其三重以上的旋转轴,所有可能组合有:
- 条三重轴、
- 条三重轴及条四重轴、
- 条三重轴及条五重轴。
根据晶体学限制定理,仅得很少点群与离散平移对称相容:七列轴向点群中,有个;七个其他点群中,有个,合共个,称为晶体学点群。
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七类轴向点群
有七列轴向点群。每列有无穷多个群,各可用正整数标示。每列第个群,含绕某轴的重旋转,即旋转,故对应转一整圈,即不旋转。七列轴向点群中,四列无其他旋转轴(称循环对称),另三列有其他二重旋转轴(称二面对称)。该些群可以视为二维点群添加轴向坐标和关于轴的反射而成,也与带群相关。[4] 可以将轴向点群理解为带群的图案在绕柱面恰好重复次。
下表列出点群的几种记号:晶体学的赫尔曼–莫甘记号、分子对称性的熊夫利记号、轨形记号、考克斯特记号。后三者不仅方便读出群的性质,还与群的阶数密切相关。轨形记号同时通用于墙纸群与带群。晶体群的仅能取(晶体学限制定理),而若移除该限制,则可取任意正整数。七列轴向点群为:
对奇数,有抽象群同构及。
群(包括平凡群)及有手性,其他则无手性。
术语水平(horizontal, h)与竖直(vertical, v)描述反射面的方向,以旋转轴为竖直,故反射面水平即垂直于与旋转轴,反射面竖直即包含为旋转轴。相应下标用字母h和v。
最简单的非平凡轴向群皆同构于抽象群,但是的不同子群(即不共轭):

第一组单轴循环群中,的阶为(二维情况同样适用),是由单一个角度为的旋转生成。若向此群加入一个与轴垂直的镜面(的反射),则生成,阶为。若不加入与轴垂直的镜面,但加入块通过轴的镜面,则得到,阶亦为。后者是正棱锥的对称群。具或的典型物体是螺旋桨。
若上述两种镜面皆加入,则水平镜面与竖直镜面相交得到条轴,而镜射的复合生成绕该些轴的旋转,故群不再单轴。新群的阶为,记为。其旋转子群为个元素的二面体群,仍有与主(重)旋转轴垂直的二重旋转轴,但不再有镜面。
注意,在二维,包括镜射,但镜射也可以视为将不辨前后之别的扁平物体翻转得到。但在三维,镜射与翻转不再相同:群有翻转但无镜射。
余下一类是(或),其有包含主旋转轴的竖直镜面,但没有水平镜面,取而代之的操作是先水平镜射,再旋转。是正棱柱和双棱锥的对称群。则是正角反棱柱的对称群,亦是正方偏方面体的对称群。最后,是稍稍扭过的正棱柱的对称群。
及较特殊,因为并无特别的主旋转轴:三条互相垂直的旋转轴皆为二重轴。是下节所有多面体对称群的子群,而则是多面体群与的子群。可以作为下列化学品的对称群:
的元素,与利普希茨四元数的可逆元表示的旋转,有一对二的关系。
群由“先关于水平面作镜射,再旋转”生成。对于奇数,是等于前述两个操作分开执行,生成的群,阶为,故不必用到记号。然而,对偶数,两个群有差异,且仅有个元素。与类似,其包含若干瑕旋转,但不包含对应的旋转。
七列轴向群的元素仅有下列四对重复:
- 及:阶数为,由独一个镜射生成。又称。
- 与:阶数为,由独一个旋转生成。
- 与:阶数为,由一个镜射与镜面上一条轴的旋转生成。
- 与:阶数为,由一个镜射与一条垂直于镜面的轴的旋转生成。
是由独一个点反演生成的阶群,又记为。
此处“重复”是指作为的子群共轭,是强于作为抽象群代数同构的条件。例如,前一种意义下,有三个不同的阶群,但只有一个阶抽象群。类似,也有与抽象同构。
群的构造亦可描述如下:
- 是由独一个元素生成,生成元亦称为,是绕轴转。群的元素是:(单位元),,对应旋转角。该轴视为竖直轴。
- 由独一个元素生成,其中是水平面的镜射。群的元素是的元素,另加。
- 由与反射生成。群的元素是的元素,另加。
- 由与竖直镜面的反射生成。群的元素是的元素,另加。
- 是由与绕水平面上某轴的旋转,其元素是的元素,另加。
- 由元素与生成。元素是的元素,加上与的额外元素,再加上。
- 由元素生成。其元素为的元素,再加上的所有额外元素。
取趋向的极限,则得到连续轴向群(或无穷阶轴向群):
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七个其他点群
余下七个点群又称为高度对称或多面体对称,因为有多于一条旋转轴的重数大于二。下表中,表示一条重轴,即旋转角为,则表示同样旋转角的瑕旋转轴。所用记号,首先是字母表示的熊夫利记号,然后括号内为轨形记号,然后为考克斯特记号及图,最后是赫尔曼–莫甘记号及倘有的简写。
( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 阶为 |
手性四面体对称 | 有四条轴,是立方体的四条体对角线,也可以看成正四面体四个顶点分别到对面中心的连线。另有三条轴,是立方体三组对面的中心连线,也是正四面体三组对边的中点连线。同构交错群,即四个元素的偶排列的群。本群为正四面体的旋转群,也是及以下两种八面体对称群的正规子群。本群的个元素,与赫维兹四元数的个可逆元,有一对二的关系,而后者又称为二元四面体群。 |
( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 阶为 |
全四面体对称 | 本群与有相同的旋转轴,但另有六块镜面,每块经过立方体的两条不在同一面的平行边,也是正四面体六条棱各自的垂直平分面。每块镜面包含一条轴,两条轴。原轴,加入镜射后,变成轴。本群是正四面体的对称群。同构于个元素的对称群,因为的元素,会将条轴重新排列,而元素与此四条轴的排列一一对应。若一件物体绕其中一条三重轴,有对称,则在作用下,轨道有四件同样的物体,就对应此四件物体的排列的集合。是的正规子群。 |
( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 阶为 |
五角十二面体对称 | ![]() |
( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 阶为 |
手性八面体对称 | 本群与类似,但各轴现改成轴,并有额外六条轴,是过正方体中心与(六对)棱中点的直线。本群与同构,因为其元素与四条三重轴的个排列一一对应,与类似。若物体绕某条三重轴有对称,则在作用下,轨道有四件同样的物体,而的元素也一一对应此四件物体的排列。本群是立方体与正八面体的旋转群。若用四元数表示旋转,则对应个赫维兹四元数的可逆元及范数平方为的个利普希茨四元数,各除以。与类似,此为一对二的关系。 |
( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 阶为 |
全八面体对称 | 本群与有同样的旋转轴,但也有镜射,有齐与的所有镜面。本群同构于(因为与皆为正规子群),且是立方体与正八面体的对称群。见八面体对称。 |
( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 阶为 |
手性二十面体对称 | 本群为正二十面体与正十二面体的旋转群,亦是全正二十面体对称群的指标正规子群。本群的子群中,有十个与六个(即棱柱或反棱柱的旋转群)。本群也包含五个子群(见五复合正四面体)。抽象而言,同构于次交错群,因为其元素作用在五个子群上,与其偶排列一一对应。等价地,可以考虑对前述五复合正四面体的五个单体的作用。以四元数表示旋转,则对应个二十数可逆元。与先前一样,此为一对二的关系。 |
( ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 阶为 |
全二十面体对称 | 本群为正二十面体与正十二面体的对称群。与抽象群同构,因为与皆是正规子群。本群的子群中,有十个、六个(反棱柱的对称)、五个。 |
相关的连续群有:
如无穷等距变换群一节所言,任何物理实体,若有对称性,则必有对称性。
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轨形记号与阶
若已知群的轨形记号,则可计算其阶数,等于除以轨形的欧拉示性数。轨形的欧拉示性数是将减去轨形记号中,各符号特征数的总和:
- 无或在之前的,值为;
- 在之后的,值为;
- 与计为。
此公式同样适用于壁纸群与带群:对该等群,特征数之和为,所以阶数是无穷大。亦见壁纸群条目。
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反射考克斯特群
三维反射点群又称为考克斯特群,能以考克斯特-邓肯图表示,是交于同一个中心点的若干镜面反射生成的群。该些镜面将球面分割成球面三角形区域。若考克斯特群能以少于三个镜射生成,则该球面三角形退化,变成球面二角形或半球面。在考克斯特记号,该些群是正四面体对称、正八面体对称、正二十面体对称、二面体对称。不可约群的镜面数是,其中是群的考克斯特数,而是反射方向的秩(维数),等于符号的下标。[5]
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旋转群
有限旋转群,即的有限子群,仅有:循环群(正棱锥的旋转群)、二面体群(正棱柱或双锥体的旋转群)、(正四面体的旋转群)、(正八面体或正六面体的旋转群)、(正二十面体或正十二面体的旋转群)。
特别地,二面体群、等,是平面正多边形嵌入到三维空间后的旋转群。此种薄片也可以视为退化的正棱柱,或称为二面体,二面体群因而得名。
- 若物体的对称类为,则旋转群为。
- 若物体的对称类为,则旋转群为。
- 若物体的对称类属其他七种多面体对称,则旋转群是相应无下标的群,即之一。
当且仅当物体有手性时,其旋转群等于整个对称群。换言之,手性物体就是对称群在旋转群列表中的物体。
用熊夫利记号、考克斯特记号,及括号内的轨形记号表示,旋转群是:
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旋转群与其他群的对应
下列群有点反演:
- 为偶数时,及、
- 为奇数时,及(特别地,是仅由点反演生成的群,另有属于前项)、
- 。
如上文所述,此种群与所有旋转群之间,有一一对应:
- (为偶)及(为奇)对应。
- (为偶)及(为奇)对应。
- 分别对应。
下列群具有间接(不保定向)的等距变换,但无点反演:
- 、
- 为奇数时,及、
- 为偶数时,及、
- 。
上述各群分别对应一个旋转群及其指标的子群,使得该群是由的元素,加上经点反演后的元素得到,如上文所述:
- 是的指标子群,对应。
- 是的指标子群,为奇时对应,为偶时则对应。
- 是的指标子群,为奇时对应,为偶时对应。
- 是的指标子群,对应。
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极大对称群
离散点群中,和并非任何其他离散点群的真子群,故谓极大。其公共子群中,最大的是。由此,可以将二重旋转对称改成四重而得,亦可加入五重旋转对称而得。
类似地,有两个晶体学点群并非任何其他晶体学点体的真子群:与。视乎方向,其极大公共子群为或。
按抽象群同构分类
下列若干个表,将前述诸群,按抽象群同构分类。
最小几个不能表示成三维对称群的抽象群为:阶的四元群、阶的、阶的双循环群,以及十四个阶群的其中十个。
下表中,“阶元素数”一列,数算三类等距变换子群的总数,是有助分辨抽象群类型的特征数,而该总数之内,各类等距变换子群的数目,则有助辨别属同一类抽象群的不同等距变换群。
重旋转对称的对称群为。其抽象同构类是循环群,亦可记作。然而,另有两列对称群同构于循环群:
- 对于偶阶数,瑕旋转群(熊夫利记号),生成元为绕某轴的旋转后关于与轴垂直的镜面反射。也记为,由点反演生成。
- 对于奇数,有阶数的群。该群有一条重旋转轴,另有与该轴垂直的镜射。换言之,群由两种变换生成,即绕轴的旋转,及该镜射。又可记作,仅由一个镜射生成。
故可总结出下表:(十个循环晶体学点群以粗体标出,其满足晶体学限制。)
二维二面体群有旋转和反射,但二维反射亦可视为在三维空间中,将不区分正反面的薄片翻转。
然而在三维,反射与翻转须作区分。以表示的对称群,有条二重轴,与重的主旋转轴垂直,但无反射。是正棱柱、正双角锥、正角反棱柱、方偏方面体的旋转群。若略作改动,如在每面加上相同的手性标记,或稍为改变形状,则可以使物体具有手性,从而令为其全对称群。
相应的抽象群类型是二面体群,亦可照样记为。但除外,还有三个无穷序列的对称群,同构于二面体群:
注意有以下同构:
于是可以整理出下表:(有个晶体学点群用粗体标示,另写成等价的)
的阶数为,同构于抽象群。在时,等同,已于上小节讨论,故本小节仅考虑的情况。
此系列的群可以整理成下表:(其中两个晶体学点群以粗体强调)
的阶数为,同构于抽象群。对于奇数,已于上小节讨论,故此处仅考虑阶数为的群,其抽象群类别为。()
此系列的群可以整理成下表:(其中三个晶体学点群以粗体强调)
余下七个多面体群是:(其中五个晶体学点群以粗体强调)
基本域
![]() |
![]() |
二十面体对称的反射面与单位球面交于若干大圆,将球面分成个球面直角三角形的基本域。 |
点群的基本域是锥体。若物体有给定的对称群,则指明物体的某一个基本域变换至哪个基本域,就足以确定该变换。另外,仅从该件物体在一个基本域内的形状,就足以确定整件物体的形状。若物体是曲面,则可由其被一个基本域截得的部分确定,该部分亦是(有边界的)曲面,下称“基本面”,延伸至基本域的径向边界面(即锥体的侧面)。但是,若基本面与其他基本面(即基本面在其他基本域的复制),两者的边界未能贴合,则需要添加径向的面或其他曲面,以使各基本面连接成一个整体。若基本面以反射面为界,则必然贴合。
基本面可以取为任意平面被基本域所截的部分,如此得到一个多面体,具有给定的对称群,如四角化菱形三十面体的每一个面,即为全二十面体对称的一个基本面。若调整该面的方向,则有时可以使相邻的若干个基本面共面,而合并成同一个面,得到具同样对称群的其他多面体,如正十二面体和正二十面体。若基本面的边界能够贴合,且基本面的法向量是在基本域内,则所得的多面体为凸多面体。
基本面也可以取为其他形状,不必在同一平面内,例如可取为若干个不同平面的区域连接而成的曲面。
二元多面体群
考虑三维旋量群到旋转群的二重覆叠投映。由于已是单连通,故为仅有的非平凡连通覆叠。
由子群的对应,与的子群(即旋转点群)之间有伽罗瓦连接:子群投映到,必为旋转子群,而反之,旋转子群的原像亦必为是的子群。注意可以等价描述成特殊酉群,或是单位四元数群,亦属李群,拓扑上同胚于三维球面。
有限点群的原像称为二元多面体群,记作,与多面体群对应,而名称则是相应点群的名称加上“二元”前缀,阶数为点群阶数的两倍。例如,二十面体群的原像,便是二元二十面体群。
二元多面体群为:
- : 正边形的二元循环群,阶数。
- : 正边形的二元二面体群,阶数。
- : 二元四面体群,阶数。
- : 二元八面体群,阶数。
- : 二元二十面体群,阶数。
该些群能按ADE分类,而在二元多面体群作用下的商空间,是杜瓦尔奇点。[6]
对于不保定向的点群,情况较复杂,因为有两个Pin群,所以对应给定的点群,有两个可能的二元群。
注意前述“覆叠”仅是群的覆叠,而不是多面体空间的覆叠:球面本身单连通,并无非平凡覆叠。所以,并无所谓“二元多面体”覆叠原有的多面体。二元多面体群是旋量群的离散子群,所以若选定旋量群的表示,作用于一个向量空间,则该二元多面体群在该表示下,可能将某个多面体映到自身,例如在映射下,二元多面体群作用为旋转,与底下的(非二元)群是同一个多面体的等距变换,然而,在旋量表示或其他表示下,二元多面体群可以作用在不同的多面体上。
二元多面体群不是射影多面体的对称群。球面确实覆叠射影空间(以及透镜空间),故可以考虑射影空间的密铺,视之为另一种“多面体”,即射影多面体,但是,考虑二元多面体群时,并非取多面体所覆叠的空间,而是取覆叠对称群的群,所以两件事不相同。
参见
参考文献
外部链接
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