三维点群

几何学中，三维点群是三维空间中，任何一个固定原点的对称群。等价的说法是，其为球面的对称群。此类群皆为正交群${\displaystyle O(3)}$的子群，即固定原点的全体等距同构组成的群，亦可视为全体正交矩阵的乘法群。${\displaystyle O(3)}$本身则是全体等距同构的欧氏群${\displaystyle E(3)}$的子群。

立体的对称群必由等距同构组成，反之，要分析等距对称构成的群，就是分析所有可能的对称。有界三维立体的全体等距同构，必存在共同的不动点，不妨设其中之一为原点。

立体的对称群，有时称为全体对称群作强调，用以突显与旋转群（或真对称群）的分别。立体的旋转群是其全体对称群与三维空间本身的旋转群${\displaystyle SO(3)}$之交。立体的旋转群等于全体对称群，当且仅当立体具手性（英语：chirality (mathematics)）。

三维点群在化学广泛用于描述分子的对称，及组成共价键的分子轨域的对称。此背景下，也称分子对称群。

有限考克斯特群是一族特殊的点群，仅由过原点的若干个镜射生成。${\displaystyle n}$阶考克斯特群是由${\displaystyle n}$个镜射生成，可以考克斯特－丹金图（英语：Coxeter–Dynkin diagram）表示。考克斯特符号（英语：Coxeter notation）则改为用方括号和数字描述，并设有其他标记，用以表示旋转群或其他子群。

群结构

${\displaystyle SO(3)}$是直接欧氏群${\displaystyle E^{+}(3)}$的子群，其元素皆是直接等距同构，即保持定向的等距变换。${\displaystyle SO(3)}$仅含保持原点不变的直接等距同构。

${\displaystyle O(3)}$则是${\displaystyle SO(3)}$与点反演生成的群${\displaystyle \{I,-I\}}$的直积：（此处点反演以其矩阵${\displaystyle -I}$表示，即单位矩阵${\displaystyle I}$乘上${\displaystyle -1}$。）

${\displaystyle O(3)=SO(3)\times \{I,-I\}.}$

所以，三维空间中，藉点反演，可以得到直接与间接等距变换之间的一一对应，此外，${\displaystyle O(3)}$中仅由直接等距变换组成的子群${\displaystyle H}$（必包含在${\displaystyle SO(3)}$中，亦与${\displaystyle O(3)}$中含有点反演的子群${\displaystyle K}$一一对应。对应关系如下：

${\displaystyle K=H\times \{I,-I\},}$

${\displaystyle H=K\cap SO(3).}$

例如，若${\displaystyle H}$为${\displaystyle C_{2}}$，则${\displaystyle K}$为${\displaystyle C_{\mathrm {2h} }}$；若${\displaystyle H}$为${\displaystyle C_{3}}$，则${\displaystyle K}$为${\displaystyle S_{6}}$。（定义载于下文。）

若直接等距同构群${\displaystyle H}$有指数为${\displaystyle 2}$的子群${\displaystyle L}$，则除以上含点反演的子群外，还有另一个对应的子群

${\displaystyle M=L\cup \left((H\setminus L)\times \{-I\}\right),}$

含有间接等距变换，但不含点反演。式中${\displaystyle (A,I)}$与${\displaystyle A}$视为等同。举例${\displaystyle H}$为${\displaystyle C_{4}}$，而${\displaystyle M}$为${\displaystyle S_{4}}$。

换言之，${\displaystyle M}$是将${\displaystyle H\setminus L}$中的变换，乘上${\displaystyle -I}$得到。此群${\displaystyle M}$作为抽象群与${\displaystyle H}$同构。反之，任意对称群，若有间接等距变换，但无点反演，则可以将所有间接变换反演，而变成旋转群。等距群的分类（见下文）中，可以用此性质化简问题。

二维情况下，${\displaystyle k}$重旋转的循环群${\displaystyle C_{k}}$皆是${\displaystyle O(2)}$和${\displaystyle SO(2)}$的正规子群。在三维中，固定旋转轴，则相应有绕该轴的${\displaystyle k}$重循环群${\displaystyle C_{k}}$，是绕该轴的全体旋转群的正规子群。此外，由于指数为${\displaystyle 2}$的子群必正规，${\displaystyle C_{n}}$在${\displaystyle C_{n\mathrm {v} }}$中正规，也在${\displaystyle C_{n\mathrm {h} }}$中正规。此处${\displaystyle C_{n\mathrm {v} }}$是向${\displaystyle C_{n}}$添加过旋转轴的反射面生成，而${\displaystyle C_{n\mathrm {h} }}$则是向${\displaystyle C_{n}}$添加与轴垂直的反射面生成。

固定原点的三维等距变换

${\displaystyle \mathrm {R} ^{3}}$的等距变换中，固定原点的变换，组成正交群${\displaystyle O(3,\mathbb {R} )}$，简记为${\displaystyle O(3)}$。其元素分类如下：

• 子群${\displaystyle SO(3)}$中：
  • 单位（恒等变换）；
  • 绕过原点某轴的旋转，且角度不为${\displaystyle 180^{\circ }}$；
  • 绕过原点某轴的旋转，且角度为${\displaystyle 180^{\circ }}$；
• 及以上变换但额外乘上点反演（将向量${\displaystyle x}$映去${\displaystyle -x}$），即：
  • 点反演；
  • 绕过原点的某轴，作角度不为${\displaystyle 180^{\circ }}$的旋转，后再作一次镜射，镜射面过原点，且与旋转轴垂直；
  • 关于过原点某平面的镜射。

后三种元素又称瑕旋转。（视乎定义，末一种未必算。）

连同平移变换的简介，见欧几里得群。

共轭

比较两件立体的对称类时，原点可以分别选取，即两件立体的中心不必相同。更甚者，两件立体具有相同对称类，意思是其对称群${\displaystyle H_{1},H_{2}}$在${\displaystyle O(3)}$中为共轭子群，即存在${\displaystyle g\in O(3)}$，使${\displaystyle H_{1}=g^{-1}H_{2}g}$。

举例：

• 两件立体各仅有镜射对称，即使并非关于同一镜面，仍属同样的对称类；
• 同样，若各仅有三重旋转对称，即使轴向不同，仍属同样的对称类。

若立体的对称群有多条旋转轴或多个镜面，或两者皆有，则两个对称群同属一类，当且仅当有另一个旋转${\displaystyle g}$，将前一个对称群的整个结构，变换成后一个对称群。（此种旋转会多于一个，但不会是无穷多个。仅有一条旋转轴或一个镜面时，此种旋转方会有无穷多个。）按定义，上文的${\displaystyle g}$不必为旋转，也可以为镜射，然而，由于对称群的结构不具手性，祇需取${\displaystyle g}$为旋转。（但空间群则不然，有${\displaystyle 11}$对空间群具有手性，因为有螺旋变换。）

无穷等距变换群

有许多无穷等距变换群，如绕任意轴转任意无理角度（即圈数或度数为无理数，或弧度数为${\displaystyle \pi }$的无理数倍）的旋转，所生成的无穷循环群；若加入绕同一轴的其他旋转，还可以组成许多非循环的交换群。取不共轴的旋转，则生成非交换群。一般而言（英语：Generic property），此等非交换群皆为自由群。仅有特别选取的旋转，方能得到有限群，否则一般皆是无穷群。

作为拓扑群${\displaystyle O(3)}$的子群，上述无穷子群皆非闭子群。以下讨论${\displaystyle O(3)}$的拓扑闭子群：

无标记特定点的球面，对称群为${\displaystyle O(3)}$。

• 整个${\displaystyle O(3)}$是球对称群、
• 相应的旋转群是${\displaystyle SO(3)}$、
• 其他无穷等距变换群有五个，皆含有过原点的某轴，绕该轴的所有旋转，另外可以：
  • 添加或不添加过轴的各镜面反射，
  • 另添加或不添加过原点与轴垂直的镜面反射。（共四个）
  • 最后，若以上两种反射都无添加，则可以只添加两者的复合，相当于添加与原旋转轴垂直的轴上的${\displaystyle 180^{\circ }}$旋转。（一个）

添加过轴的各镜面反射的群，不论有否添加过原点与轴垂射的镜面反射，称为两种圆柱对称性。注意若物理实体有无穷旋转对称，则亦必关于过轴的镜面对称。

此七个连续群，称为极限点群或居里极限群，得名自最早研究此种群的皮埃尔·居里。^[1][2]轴向群可以分成七列无穷序列，其极限给出五个轴向极限群（有两个重复），而${\displaystyle O(3)}$、${\displaystyle SO(3)}$则不是轴向群的极限。国际记号中，此七个群记为${\displaystyle \infty ,\ \infty 2,\ \infty /\mathrm {m} ,\ \infty \mathrm {mm} ,\ \infty /\mathrm {mm} ,\ \infty \infty ,\ \infty \infty \mathrm {m} }$，次序在下文明确给出。^[3]

有限等距变换群

三维空间的对称中，保持原点不动，等价于保持以原点为球心的球面。关于有限的三维点群，亦可参见球面有限对称群列表（英语：List of finite spherical symmetry groups）。

不别共轭之异，三维有限点群只有：

• ${\displaystyle 7}$个无穷列，此七类群中，每个群至多一条旋转轴有多于两重旋转。该些群皆是圆柱面的对称群（的有限子群），其中圆柱面有限长或无限长是等价的，有时称为轴向点群（英语：axial point groups）或棱柱点群（英语：prismatic point groups）。
• ${\displaystyle 7}$个其他点群，每个有至少两条至少三重的旋转轴；也可以等价写成有至少两条三重旋转轴，因为全部七个都有多条三重旋转轴。若数出其三重以上的旋转轴，所有可能组合有：
  • ${\displaystyle 4}$条三重轴、
  • ${\displaystyle 4}$条三重轴及${\displaystyle 3}$条四重轴、
  • ${\displaystyle 10}$条三重轴及${\displaystyle 6}$条五重轴。

根据晶体学限制定理，仅得很少点群与离散平移对称（英语：translational symmetry）相容：七列轴向点群中，有${\displaystyle 27}$个；七个其他点群中，有${\displaystyle 5}$个，合共${\displaystyle 32}$个，称为晶体学点群。

七类轴向点群

有七列轴向点群。每列有无穷多个群，各可用正整数${\displaystyle n}$标示。每列第${\displaystyle n}$个群，含绕某轴的${\displaystyle n}$重旋转，即旋转${\displaystyle 360^{\circ }/n}$，故${\displaystyle n=1}$对应转一整圈，即不旋转。七列轴向点群中，四列无其他旋转轴（称循环对称（英语：Cyclic symmetry in three dimensions）），另三列有其他二重旋转轴（称二面对称（英语：dihedral symmetry））。该些群可以视为二维点群（英语：point groups in two dimensions）添加轴向坐标和关于轴的反射而成，也与带群（英语：frieze group）相关。^[4] 可以将轴向点群理解为带群的图案在绕柱面恰好重复${\displaystyle n}$次。

下表列出点群的几种记号：晶体学的赫尔曼–莫甘记号、分子对称性的熊夫利记号（英语：Schönflies notation）、轨形记号（英语：orbifold notation）、考克斯特记号（英语：Coxeter notation）。后三者不仅方便读出群的性质，还与群的阶数密切相关。轨形记号同时通用于墙纸群（英语：wallpaper group）与带群（英语：frieze group）。晶体群的${\displaystyle n}$仅能取${\displaystyle 1,2,3,4,6}$（晶体学限制定理），而若移除该限制，则${\displaystyle n}$可取任意正整数。七列轴向点群为：

赫－莫		熊夫利（英语：Schönflies notation）	轨形（英语：orbifold notation）	考克斯特（英语：Coxeter notation）	带群（英语：Frieze group）	抽象结构 （群阶（英语：Symmetry number））	例子	备注
${\displaystyle n}$偶	${\displaystyle n}$奇				（圆柱）
${\displaystyle n}$		${\displaystyle C_{n}}$	${\displaystyle nn}$	${\displaystyle [n]^{+}}$	p1	循环群${\displaystyle Z_{n}}$ （${\displaystyle n}$）		${\displaystyle n}$重旋转对称
${\displaystyle {\overline {2n}}}$	${\displaystyle {\overline {n}}}$	${\displaystyle S_{2n}}$	${\displaystyle n\times }$	${\displaystyle [2n^{+},2^{+}]}$	p11g	${\displaystyle Z_{2n}}$ （${\displaystyle 2n}$）		${\displaystyle n}$重旋转反射对称 勿与${\displaystyle 2n}$次抽象对称群混淆
${\displaystyle n/\mathrm {m} }$	${\displaystyle {\overline {2n}}}$	${\displaystyle C_{n\mathrm {h} }}$	${\displaystyle n^{*}}$	${\displaystyle [n^{+},2]}$	p11m	${\displaystyle Z_{n}\times Z_{2}}$ （${\displaystyle 2n}$）
${\displaystyle n\mathrm {mm} }$	${\displaystyle n\mathrm {m} }$	${\displaystyle C_{n\mathrm {v} }}$	${\displaystyle {}^{*}nn}$	${\displaystyle [n]}$	p1m1	二面体群${\displaystyle \mathrm {Dih} _{n}}$ （${\displaystyle 2n}$）		棱锥对称 生物学又称双辐射状对称
${\displaystyle n22}$	${\displaystyle n2}$	${\displaystyle D_{n}}$	${\displaystyle 22n}$	${\displaystyle [n,2]^{+}}$	p211	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{n}}$ （${\displaystyle 2n}$）		二面体对称（英语：Dihedral symmetry in three dimensions）
${\displaystyle {\overline {2n}}2\mathrm {m} }$	${\displaystyle {\overline {n}}\mathrm {m} }$	${\displaystyle D_{n\mathrm {d} }}$	${\displaystyle 2^{*}n}$	${\displaystyle [2n,2^{+}]}$	p2mg	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{2n}}$ （${\displaystyle 4n}$）		反棱柱对称
${\displaystyle n/\mathrm {mmm} }$	${\displaystyle {\overline {2n}}2\mathrm {m} }$	${\displaystyle D_{n\mathrm {h} }}$	${\displaystyle {}^{*}22n}$	${\displaystyle [n,2]}$	p2mm	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{n}\times Z_{2}}$ （${\displaystyle 4n}$）		棱柱对称

对奇数${\displaystyle n}$，有抽象群同构${\displaystyle Z_{2n}\cong Z_{n}\times Z_{2}}$及${\displaystyle \mathrm {Dih} _{2n}\cong \mathrm {Dih} _{n}\times Z_{2}}$。

群${\displaystyle C_{n}}$（包括平凡群${\displaystyle C_{1}}$）及${\displaystyle D_{n}}$有手性，其他则无手性。

术语水平（horizontal, h）与竖直（vertical, v）描述反射面的方向，以旋转轴为竖直，故反射面水平即垂直于与旋转轴，反射面竖直即包含为旋转轴。相应下标用字母h和v。

最简单的非平凡轴向群皆同构于抽象群${\displaystyle Z_{2}}$，但是${\displaystyle O(3)}$的不同子群（即不共轭）：

• ${\displaystyle C_{\mathrm {i} }}$（等同${\displaystyle S_{2}}$）——点反演对称
• ${\displaystyle C_{2}}$——二重旋转对称
• ${\displaystyle C_{\mathrm {s} }}$（等同${\displaystyle C_{1\mathrm {h} }}$和${\displaystyle C_{1\mathrm {v} }}$）——反射对称，生物学（英语：Symmetry in biology）又称两侧对称（英语：bilateral symmetry）。

七条圆柱形带上，印有不同图样，使各自的对称群等于七列轴向群中，取${\displaystyle n=6}$的情况。

第一组单轴循环群中，${\displaystyle C_{n}}$的阶为${\displaystyle n}$（二维情况同样适用），是由单一个角度为${\displaystyle 360^{\circ }/n}$的旋转生成。若向此群加入一个与轴垂直的镜面（的反射），则生成${\displaystyle C_{n\mathrm {h} }}$，阶为${\displaystyle 2n}$。若不加入与轴垂直的镜面，但加入${\displaystyle n}$块通过轴的镜面，则得到${\displaystyle C_{n\mathrm {v} }}$，阶亦为${\displaystyle 2n}$。后者是正${\displaystyle n}$棱锥的对称群。具${\displaystyle C_{n}}$或${\displaystyle D_{n}}$的典型物体是螺旋桨。

若上述两种镜面皆加入，则水平镜面与竖直镜面相交得到${\displaystyle n}$条轴，而镜射的复合生成绕该些轴的${\displaystyle 180^{\circ }}$旋转，故群不再单轴。新群的阶为${\displaystyle 4n}$，记为${\displaystyle D_{n\mathrm {h} }}$。其旋转子群为${\displaystyle 2n}$个元素的二面体群${\displaystyle D_{n}}$，仍有与主（${\displaystyle n}$重）旋转轴垂直的二重旋转轴，但不再有镜面。

注意，在二维，${\displaystyle D_{n}}$包括镜射，但镜射也可以视为将不辨前后之别的扁平物体翻转得到。但在三维，镜射与翻转不再相同：群${\displaystyle D_{n}}$有翻转但无镜射。

余下一类是${\displaystyle D_{n\mathrm {d} }}$（或${\displaystyle D_{n\mathrm {v} }}$），其有包含主旋转轴的竖直镜面，但没有水平镜面，取而代之的操作是先水平镜射，再旋转${\displaystyle 180^{\circ }/n}$。${\displaystyle D_{n\mathrm {h} }}$是正${\displaystyle n}$棱柱和双棱锥的对称群。${\displaystyle D_{n\mathrm {d} }}$则是正${\displaystyle n}$角反棱柱的对称群，亦是正${\displaystyle n}$方偏方面体的对称群。最后，${\displaystyle D_{n}}$是稍稍扭过的正${\displaystyle n}$棱柱的对称群。

${\displaystyle D_{2}}$及${\displaystyle D_{2\mathrm {h} }}$较特殊，因为并无特别的主旋转轴：三条互相垂直的旋转轴皆为二重轴。${\displaystyle D_{2}}$是下节所有多面体对称群的子群，而${\displaystyle D_{2\mathrm {h} }}$则是多面体群${\displaystyle T_{\mathrm {h} }}$与${\displaystyle O_{\mathrm {h} }}$的子群。${\displaystyle D_{2}}$可以作为下列化学品的对称群：

• 刀豆蛋白A等同四聚体（英语：homotetramer）、
• 四个相同具手性配位基（英语：chiral ligand）的四面体形配合物、
• 四个同手性氟氯甲基的四(氟氯甲基)甲烷。

${\displaystyle D_{2}}$的元素，与利普希茨四元数（英语：Lipschitz quaternion）的可逆元表示的旋转，有一对二的关系。

群${\displaystyle S_{n}}$由“先关于水平面作镜射，再旋转${\displaystyle 360^{\circ }/n}$”生成。对于奇数${\displaystyle n}$，是等于前述两个操作分开执行，生成的群${\displaystyle C_{n\mathrm {h} }}$，阶为${\displaystyle 2n}$，故不必用到记号${\displaystyle S_{n}}$。然而，对偶数${\displaystyle n}$，两个群有差异，且${\displaystyle S_{n}}$仅有${\displaystyle n}$个元素。与${\displaystyle D_{n\mathrm {d} }}$类似，其包含若干瑕旋转，但不包含对应的旋转。

七列轴向群的元素仅有下列四对重复：

• ${\displaystyle C_{1\mathrm {h} }}$及${\displaystyle C_{1\mathrm {v} }}$：阶数为${\displaystyle 2}$，由独一个镜射生成。又称${\displaystyle C_{\mathrm {s} }}$。
• ${\displaystyle D_{1}}$与${\displaystyle C_{2}}$：阶数为${\displaystyle 2}$，由独一个${\displaystyle 180^{\circ }}$旋转生成。
• ${\displaystyle D_{1\mathrm {h} }}$与${\displaystyle C_{2\mathrm {v} }}$：阶数为${\displaystyle 4}$，由一个镜射与镜面上一条轴的${\displaystyle 180^{\circ }}$旋转生成。
• ${\displaystyle D_{1\mathrm {d} }}$与${\displaystyle C_{2\mathrm {h} }}$：阶数为${\displaystyle 4}$，由一个镜射与一条垂直于镜面的轴的${\displaystyle 180^{\circ }}$旋转生成。

${\displaystyle S_{2}}$是由独一个点反演生成的${\displaystyle 2}$阶群，又记为${\displaystyle C_{\mathrm {i} }}$。

此处“重复”是指作为${\displaystyle O(3)}$的子群共轭，是强于作为抽象群代数同构的条件。例如，前一种意义下，有三个不同的${\displaystyle 2}$阶群，但只有一个${\displaystyle 2}$阶抽象群。类似，也有${\displaystyle S_{2n}}$与${\displaystyle Z_{2n}}$抽象同构。

群的构造亦可描述如下：

• ${\displaystyle C_{n}}$是由独一个元素生成，生成元亦称为${\displaystyle C_{n}}$，是绕轴转${\displaystyle 2\pi /n}$。群的元素是：${\displaystyle E}$（单位元），${\displaystyle C_{n},C_{n}^{2},\ldots ,C_{n}^{n-1}}$，对应旋转角${\displaystyle 0,\ 2\pi /n,\ 4\pi /n,\ \ldots ,\ 2(n-1)\pi /n}$。该轴视为竖直轴。
• ${\displaystyle S_{2n}}$由独一个元素${\displaystyle C_{2n}\sigma _{\mathrm {h} }}$生成，其中${\displaystyle \sigma _{\mathrm {h} }}$是水平面的镜射。群的元素是${\displaystyle C_{n}}$的元素，另加${\displaystyle C_{2n}\sigma _{\mathrm {h} },\ C_{2n}^{3}\sigma _{\mathrm {h} },\ C_{2n}^{5}\sigma _{\mathrm {h} },\ \ldots ,\ C_{2n}^{2n-1}\sigma _{\mathrm {h} }}$。
• ${\displaystyle C_{n\mathrm {h} }}$由${\displaystyle C_{n}}$与反射${\displaystyle \sigma _{\mathrm {h} }}$生成。群的元素是${\displaystyle C_{n}}$的元素，另加${\displaystyle \sigma _{\mathrm {h} },\ C_{n}\sigma _{\mathrm {h} },\ C_{n}^{2}\sigma _{\mathrm {h} },\ \ldots ,\ C_{n}^{n-1}\sigma _{\mathrm {h} }}$。
• ${\displaystyle C_{n\mathrm {v} }}$由${\displaystyle C_{n}}$与竖直镜面的反射${\displaystyle \sigma _{\mathrm {v} }}$生成。群的元素是${\displaystyle C_{n}}$的元素，另加${\displaystyle \sigma _{\mathrm {v} },\ C_{n}\sigma _{\mathrm {v} },\ C_{n}^{2}\sigma _{\mathrm {v} },\ \ldots ,\ C_{n}^{n-1}\sigma _{\mathrm {v} }}$。
• ${\displaystyle D_{n}}$是由${\displaystyle C_{n}}$与绕水平面上某轴${\displaystyle 180^{\circ }}$的旋转${\displaystyle U=\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} }}$，其元素是${\displaystyle C_{n}}$的元素，另加${\displaystyle U,\ C_{n}U,\ C_{n}^{2}U,\ \ldots ,\ C_{n}^{n-1}U}$。
• ${\displaystyle D_{n\mathrm {d} }}$由元素${\displaystyle C_{2n}\sigma _{\mathrm {h} }}$与${\displaystyle \sigma _{\mathrm {v} }}$生成。元素是${\displaystyle C_{n}}$的元素，加上${\displaystyle S_{2n}}$与${\displaystyle C_{n\mathrm {v} }}$的额外元素，再加上${\displaystyle C_{2n}\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} },\ C_{2n}^{3}\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} },\ C_{2n}^{5}\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} },\ \ldots ,\ C_{2n}^{2n-1}\sigma _{\mathrm {h} }\sigma _{\mathrm {v} }}$。
• ${\displaystyle D_{n\mathrm {h} }}$由元素${\displaystyle C_{n},\ \sigma _{\mathrm {h} },\ \sigma _{\mathrm {v} }}$生成。其元素为${\displaystyle C_{n}}$的元素，再加上${\displaystyle C_{n\mathrm {h} },\ C_{n\mathrm {v} },\ D_{n}}$的所有额外元素。

取${\displaystyle n}$趋向${\displaystyle \infty }$的极限，则得到连续轴向群（或无穷阶轴向群）：

赫－莫	熊夫利（英语：Schönflies notation）	轨形（英语：orbifold notation）	考克斯特（英语：Coxeter notation）		是何序列的极限	抽象群
${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle C_{\infty }}$	${\displaystyle \infty \infty }$	${\displaystyle [\infty ]^{+}}$		${\displaystyle C_{n}}$	${\displaystyle Z_{\infty }}$	${\displaystyle SO(2)}$
${\displaystyle {\overline {\infty }},\ \infty /\mathrm {m} }$	${\displaystyle C_{\infty \mathrm {h} }}$	${\displaystyle \infty ^{*}}$	${\displaystyle [2,\infty ^{+}]}$		${\displaystyle C_{n\mathrm {h} },\ S_{2n}}$	${\displaystyle Z_{2}\times Z_{\infty }}$	${\displaystyle Z_{2}\times SO(2)}$
${\displaystyle \infty \mathrm {m} }$	${\displaystyle C_{\infty \mathrm {v} }}$	${\displaystyle {}^{*}\infty \infty }$	${\displaystyle [\infty ]}$		${\displaystyle C_{n\mathrm {v} }}$	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{\infty }}$	${\displaystyle O(2)}$
${\displaystyle \infty 2}$	${\displaystyle D_{\infty }}$	${\displaystyle 22\infty }$	${\displaystyle [2,\infty ]^{+}}$		${\displaystyle D_{n}}$	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{\infty }}$	${\displaystyle O(2)}$
${\displaystyle {\overline {\infty }}\mathrm {m} ,\ \infty /\mathrm {mm} }$	${\displaystyle D_{\infty \mathrm {h} }}$	${\displaystyle {}^{*}22\infty }$	${\displaystyle [2,\infty ]}$		${\displaystyle D_{n\mathrm {h} },\ D_{n\mathrm {d} }}$	${\displaystyle Z_{2}\times \mathrm {Dih} _{\infty }}$	${\displaystyle Z_{2}\times O(2)}$

七个其他点群

余下七个点群又称为高度对称或多面体对称，因为有多于一条旋转轴的重数大于二。下表中，${\displaystyle C_{n}}$表示一条${\displaystyle n}$重轴，即旋转角为${\displaystyle 360^{\circ }/n}$，${\displaystyle S_{n}}$则表示同样旋转角的瑕旋转轴。所用记号，首先是字母表示的熊夫利记号（英语：Schönflies notation），然后括号内为轨形记号（英语：orbifold notation），然后为考克斯特记号（英语：Coxeter notation）及图，最后是赫尔曼–莫甘记号及倘有的简写。

${\displaystyle T,\ (332)}$ ${\displaystyle [3,3]^{+}}$（） ${\displaystyle 23}$ 阶为${\displaystyle 12}$	手性四面体对称（英语：tetrahedral symmetry）	有四条${\displaystyle C_{3}}$轴，是立方体的四条体对角线，也可以看成正四面体四个顶点分别到对面中心的连线。另有三条${\displaystyle C_{2}}$轴，是立方体三组对面的中心连线，也是正四面体三组对边的中点连线。${\displaystyle T}$同构交错群${\displaystyle A_{4}}$，即四个元素的偶排列的群。本群为正四面体的旋转群，也是${\displaystyle T_{\mathrm {d} },\ T_{\mathrm {h} }}$及以下两种八面体对称群的正规子群。本群的${\displaystyle 12}$个元素，与赫维兹四元数（英语：Hurwitz quaternion）的${\displaystyle 24}$个可逆元，有一对二的关系，而后者又称为二元四面体群（英语：binary tetrahedral group）。
${\displaystyle T_{\mathrm {d} },\ (^{*}332)}$ ${\displaystyle [3,3]}$（） ${\displaystyle {\overline {4}}3\mathrm {m} }$ 阶为${\displaystyle 24}$	全四面体对称	本群与${\displaystyle T}$有相同的旋转轴，但另有六块镜面，每块经过立方体的两条不在同一面的平行边，也是正四面体六条棱各自的垂直平分面。每块镜面包含一条${\displaystyle C_{2}}$轴，两条${\displaystyle C_{3}}$轴。原${\displaystyle C_{2}}$轴，加入镜射后，变成${\displaystyle S_{4}}$轴。本群是正四面体的对称群。${\displaystyle T_{\mathrm {d} }}$同构于${\displaystyle 4}$个元素的对称群${\displaystyle S_{4}}$，因为${\displaystyle T_{\mathrm {d} }}$的元素，会将${\displaystyle 4}$条${\displaystyle C_{3}}$轴重新排列，而元素与此四条轴的排列一一对应。若一件物体绕其中一条三重轴，有${\displaystyle C_{3\mathrm {v} }}$对称，则在${\displaystyle T_{\mathrm {d} }}$作用下，轨道有四件同样的物体，${\displaystyle T_{\mathrm {d} }}$就对应此四件物体的排列的集合。${\displaystyle T_{\mathrm {d} }}$是${\displaystyle O_{\mathrm {h} }}$的正规子群。
${\displaystyle T_{\mathrm {h} },\ (3^{*}2)}$ ${\displaystyle [3^{+},4]}$（） ${\displaystyle 2/\mathrm {m} {\overline {3}},\ \mathrm {m} {\overline {3}}}$ 阶为${\displaystyle 24}$	五角十二面体对称	排球的缝线有${\displaystyle T_{\mathrm {h} }}$。（立方五角十二面体） 本群与${\displaystyle T}$的旋转轴相同，另有与立方体的面平行的镜面。四条${\displaystyle C_{3}}$轴变成${\displaystyle S_{6}}$轴，并有关于中心的反演对称。${\displaystyle T_{\mathrm {h} }}$同构于${\displaystyle A_{4}\times Z_{2}}$（因为${\displaystyle T}$与${\displaystyle C_{\mathrm {i} }}$皆是正规子群），而与对称群${\displaystyle S_{4}}$不同构。若在立方体的每个面上，各画一条线段，将该面分成两个全等的长方形，且使得新增的线段不会相交于棱上，则所得的图形的对称群为${\displaystyle T_{\mathrm {h} }}$。该些对称是：立面体四条体对角线的偶排列，及该等偶排列与中心反演的复合。本群亦是五角十二面体的对称群。五角十二面体与前述的（面经分割的）立方体类似，但其中每个长方形换成有四边等长，具一条对称轴的五角形，而五角形余下一条不同长度的边，对应立方体的面上新增的线段。换言之，可以想像立方体的面在分割线隆起，并在该处变窄（即分割线变短）。本群为全二十面体对称群的子群（但不正规），且是作为等距变换群的子群，而不仅是抽象子群。全二十面体对称群有十条三重轴，而本群有其中四条。本群亦为${\displaystyle O_{\mathrm {h} }}$的正规子群。虽然记作${\displaystyle T_{\mathrm {h} }}$，本群并非任何四面体（英语：Tetrahedron）的对称群。
${\displaystyle O,\ (432)}$ ${\displaystyle [4,3]^{+}}$（） ${\displaystyle 432}$ 阶为${\displaystyle 24}$	手性八面体对称（英语：octahedral symmetry）	本群与${\displaystyle T}$类似，但各${\displaystyle C_{2}}$轴现改成${\displaystyle C_{4}}$轴，并有额外六条${\displaystyle C_{2}}$轴，是过正方体中心与（六对）棱中点的直线。本群与${\displaystyle S_{4}}$同构，因为其元素与四条三重轴的${\displaystyle 24}$个排列一一对应，与${\displaystyle T}$类似。若物体绕某条三重轴有${\displaystyle D_{3}}$对称，则在${\displaystyle O}$作用下，轨道有四件同样的物体，而${\displaystyle O}$的元素也一一对应此四件物体的排列。本群是立方体与正八面体的旋转群。若用四元数表示旋转，则${\displaystyle O}$对应${\displaystyle 24}$个赫维兹四元数（英语：Hurwitz quaternion）的可逆元及范数平方为${\displaystyle 2}$的${\displaystyle 24}$个利普希茨四元数（英语：Lipschitz quaternion），各除以${\displaystyle {\sqrt {2}}}$。与${\displaystyle T}$类似，此为一对二的关系。
${\displaystyle O_{\mathrm {h} },\ (^{*}432)}$ ${\displaystyle [4,3]}$（） ${\displaystyle 4/\mathrm {m} {\overline {3}}2/\mathrm {m} ,\ \mathrm {m} {\overline {3}}\mathrm {m} }$ 阶为${\displaystyle 48}$	全八面体对称	本群与${\displaystyle O}$有同样的旋转轴，但也有镜射，有齐${\displaystyle T_{\mathrm {d} }}$与${\displaystyle T_{\mathrm {h} }}$的所有镜面。本群同构于${\displaystyle S_{4}\times Z_{2}}$（因为${\displaystyle O}$与${\displaystyle C_{\mathrm {i} }}$皆为正规子群），且是立方体与正八面体的对称群。见八面体对称（英语：octahedral symmetry）。
${\displaystyle I,(532)}$ ${\displaystyle [5,3]^{+}}$（） ${\displaystyle 532}$ 阶为${\displaystyle 60}$	手性二十面体对称（英语：icosahedral symmetry）	本群为正二十面体与正十二面体的旋转群，亦是全正二十面体对称群${\displaystyle I_{\mathrm {h} }}$的指标（英语：index of a subgroup）${\displaystyle 2}$正规子群。本群的子群中，有十个${\displaystyle D_{3}}$与六个${\displaystyle D_{5}}$（即棱柱或反棱柱的旋转群）。本群也包含五个${\displaystyle T}$子群（见五复合正四面体）。抽象而言，${\displaystyle I}$同构于${\displaystyle 5}$次交错群${\displaystyle A_{5}}$，因为其元素作用在五个${\displaystyle T}$子群上，与其偶排列一一对应。等价地，可以考虑${\displaystyle I}$对前述五复合正四面体的五个单体的作用。以四元数表示旋转，则${\displaystyle I}$对应${\displaystyle 120}$个二十数（英语：icosian）可逆元。与先前一样，此为一对二的关系。
${\displaystyle I_{\mathrm {h} },\ (^{*}532)}$ ${\displaystyle [5,3]}$（） ${\displaystyle {\overline {53}}2/\mathrm {m} ,\ {\overline {53}}\mathrm {m} }$ 阶为${\displaystyle 120}$	全二十面体对称	本群为正二十面体与正十二面体的对称群。${\displaystyle I_{\mathrm {h} }}$与抽象群${\displaystyle A_{5}\times Z_{2}}$同构，因为${\displaystyle I}$与${\displaystyle C_{\mathrm {i} }}$皆是正规子群。本群的子群中，有十个${\displaystyle D_{3\mathrm {d} }}$、六个${\displaystyle D_{5\mathrm {d} }}$（反棱柱的对称）、五个${\displaystyle T_{\mathrm {h} }}$。

相关的连续群有：

• 旋转群${\displaystyle SO(3)}$，即所有旋转的群，亦记作${\displaystyle \infty \infty }$或${\displaystyle K}$。
• 正交群${\displaystyle O(3)}$，所有旋转和镜射生成的群，亦记作${\displaystyle \infty \infty \mathrm {m} }$或${\displaystyle K_{\mathrm {h} }}$。

如无穷等距变换群一节所言，任何物理实体，若有${\displaystyle K}$对称性，则必有${\displaystyle K_{\mathrm {h} }}$对称性。

轨形记号与阶

若已知群的轨形记号，则可计算其阶数，等于${\displaystyle 2}$除以轨形的欧拉示性数。轨形的欧拉示性数是将${\displaystyle 2}$减去轨形记号中，各符号特征数的总和：

• 无${\displaystyle {}^{*}}$或在${\displaystyle {}^{*}}$之前的${\displaystyle n}$，值为${\displaystyle (n-1)/n}$；
• 在${\displaystyle {}^{*}}$之后的${\displaystyle n}$，值为${\displaystyle (n-1)/(2n)}$；
• ${\displaystyle {}^{*}}$与${\displaystyle \times }$计为${\displaystyle 1}$。

此公式同样适用于壁纸群（英语：wallpaper group）与带群（英语：frieze group）：对该等群，特征数之和为${\displaystyle 2}$，所以阶数是无穷大。亦见壁纸群（英语：wallpaper group）条目。

反射考克斯特群

三维考克斯特群的基本域

${\displaystyle A_{3},\ [3,3],}$	${\displaystyle B_{3},\ [4,3],}$	${\displaystyle H_{3},\ [5,3],}$
${\displaystyle 6}$块镜	${\displaystyle 3+6}$块镜	${\displaystyle 15}$块镜
${\displaystyle 2A_{1},\ [1,2],}$	${\displaystyle 3A_{1},\ [2,2],}$	${\displaystyle A_{1}A_{2},\ [2,3],}$
${\displaystyle 2}$块镜	${\displaystyle 3}$块镜	${\displaystyle 4}$块镜
${\displaystyle A_{1},\ [1],}$	${\displaystyle 2A_{1},\ [2],}$	${\displaystyle A_{2},\ [3],}$
${\displaystyle 1}$块镜	${\displaystyle 2}$块镜	${\displaystyle 3}$块镜

三维反射点群又称为考克斯特群，能以考克斯特－邓肯图（英语：Coxeter-Dynkin diagram）表示，是交于同一个中心点的若干镜面反射生成的群。该些镜面将球面分割成球面三角形区域。若考克斯特群能以少于三个镜射生成，则该球面三角形退化，变成球面二角形（英语：lune (mathematics)）或半球面。在考克斯特记号（英语：Coxeter notation），该些群是正四面体对称（英语：tetrahedral symmetry）${\displaystyle [3,3]}$、正八面体对称（英语：octahedral symmetry）${\displaystyle [4,3]}$、正二十面体对称（英语：icosahedral symmetry）${\displaystyle [5,3]}$、二面体对称（英语：Dihedral symmetry in three dimensions）${\displaystyle [p,2]}$。不可约群的镜面数是${\displaystyle nh/2}$，其中${\displaystyle h}$是群的考克斯特数（英语：Coxeter number），而${\displaystyle n}$是反射方向的秩（维数），等于符号的下标。^[5]

熊夫利记号（英语：Schönflies notation）	考克斯特－ 邓肯图标签	考克斯特记号（英语：Coxeter notation）		群阶	考克斯特数（英语：Coxeter number） （${\displaystyle h}$）	镜数 （${\displaystyle m}$）
多面体群
${\displaystyle T_{\mathrm {d} }}$	${\displaystyle A_{3}}$		${\displaystyle [3,3]}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 6}$
${\displaystyle O_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle B_{3}}$		${\displaystyle [4,3]}$	${\displaystyle 48}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 3+6}$
${\displaystyle I_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle H_{3}}$		${\displaystyle [5,3]}$	${\displaystyle 120}$	${\displaystyle 10}$	${\displaystyle 15}$
二面体群（英语：Dihedral symmetry in three dimensions）
${\displaystyle D_{1\mathrm {h} }}$	${\displaystyle 2A_{1}}$		${\displaystyle [1,2]}$	${\displaystyle 4}$		${\displaystyle 1+1}$
${\displaystyle D_{2\mathrm {h} }}$	${\displaystyle 3A_{1}}$		${\displaystyle [2,2]}$	${\displaystyle 8}$		${\displaystyle 2+1}$
${\displaystyle D_{p\mathrm {h} }}$	${\displaystyle I_{2}(p)A_{1}}$		${\displaystyle [p,2]}$	${\displaystyle 4p}$		${\displaystyle p+1}$
循环群（英语：Cyclic symmetry in three dimensions）
${\displaystyle C_{2\mathrm {v} }}$	${\displaystyle 2A_{1}}$		${\displaystyle [2]}$	${\displaystyle 4}$		${\displaystyle 2}$
${\displaystyle C_{p\mathrm {v} }}$	${\displaystyle I_{2}(p)}$		${\displaystyle [p]}$	${\displaystyle 2p}$	${\displaystyle p}$	${\displaystyle p}$
单镜面
${\displaystyle C_{1\mathrm {v} }}$	${\displaystyle A_{1}}$		${\displaystyle [\ ]}$	${\displaystyle 2}$		${\displaystyle 1}$

旋转群

有限旋转群，即${\displaystyle SO(3)}$的有限子群，仅有：循环群${\displaystyle C_{n}}$（正棱锥的旋转群）、二面体群${\displaystyle D_{n}}$（正棱柱或双锥体的旋转群）、${\displaystyle T}$（正四面体的旋转群）、${\displaystyle O}$（正八面体或正六面体的旋转群）、${\displaystyle I}$（正二十面体或正十二面体的旋转群）。

特别地，二面体群${\displaystyle D_{3}}$、${\displaystyle D_{4}}$等，是平面正多边形嵌入到三维空间后的旋转群。此种薄片也可以视为退化的正棱柱，或称为二面体，二面体群因而得名。

• 若物体的对称类为${\displaystyle C_{n},\ C_{n\mathrm {h} },\ C_{n\mathrm {v} },\ S_{2n}}$，则旋转群为${\displaystyle C_{n}}$。
• 若物体的对称类为${\displaystyle D_{n},\ D_{n\mathrm {h} },\ D_{n\mathrm {d} }}$，则旋转群为${\displaystyle D_{n}}$。
• 若物体的对称类属其他七种多面体对称，则旋转群是相应无下标的群，即${\displaystyle T,\ O,\ I}$之一。

当且仅当物体有手性（英语：chirality (mathematics)）时，其旋转群等于整个对称群。换言之，手性物体就是对称群在旋转群列表中的物体。

用熊夫利记号（英语：Schönflies notation）、考克斯特记号（英语：Coxeter notation），及括号内的轨形记号（英语：orbifold notation）表示，旋转群是：

反射（英语：Reflectional symmetry）	反射/旋转	瑕旋转	旋转
${\displaystyle C_{n\mathrm {v} },\ [n],\ (^{*}nn)}$	${\displaystyle C_{n\mathrm {h} },\ [n^{+},2],\ (n^{*})}$	${\displaystyle S_{2n},\ [2n^{+},2^{+}],\ (n\times )}$	${\displaystyle C_{n},\ [n]^{+},\ (nn)}$
${\displaystyle D_{n\mathrm {h} },\ [2,n],\ (^{*}n22)}$	${\displaystyle D_{n\mathrm {d} },\ [2^{+},2n],\ (2^{*}n)}$		${\displaystyle D_{n},\ [2,n]^{+},(n22)}$
${\displaystyle T_{\mathrm {d} },\ [3,3],\ (^{*}332)}$			${\displaystyle T,\ [3,3]^{+},\ (332)}$
${\displaystyle O_{\mathrm {h} },\ [4,3],\ (^{*}432)}$	${\displaystyle T_{\mathrm {h} },\ [3^{+},4],\ (3^{*}2)}$		${\displaystyle O,\ [4,3]^{+},\ (432)}$
${\displaystyle I_{\mathrm {h} },\ [5,3],\ (^{*}532)}$			${\displaystyle I,\ [5,3]^{+},\ (532)}$

旋转群与其他群的对应

下列群有点反演：

• ${\displaystyle n}$为偶数时，${\displaystyle C_{n\mathrm {h} }}$及${\displaystyle D_{n\mathrm {h} }}$、
• ${\displaystyle n}$为奇数时，${\displaystyle S_{2n}}$及${\displaystyle D_{n\mathrm {d} }}$（特别地，${\displaystyle S_{2}=C_{\mathrm {i} }}$是仅由点反演生成的群，另有${\displaystyle D_{1\mathrm {d} }=C_{2\mathrm {h} }}$属于前项）、
• ${\displaystyle T_{\mathrm {h} },\ O_{\mathrm {h} },\ I_{\mathrm {h} }}$。

如上文所述，此种群与所有旋转群之间，有一一对应：

• ${\displaystyle C_{n\mathrm {h} }}$（${\displaystyle n}$为偶）及${\displaystyle S_{2n}}$（${\displaystyle n}$为奇）对应${\displaystyle C_{n}}$。
• ${\displaystyle D_{n\mathrm {h} }}$（${\displaystyle n}$为偶）及${\displaystyle D_{n\mathrm {d} }}$（${\displaystyle n}$为奇）对应${\displaystyle D_{n}}$。
• ${\displaystyle T_{\mathrm {h} },\ O_{\mathrm {h} },\ I_{\mathrm {h} }}$分别对应${\displaystyle T,O,I}$。

下列群具有间接（不保定向）的等距变换，但无点反演：

• ${\displaystyle C_{n\mathrm {v} }}$、
• ${\displaystyle n}$为奇数时，${\displaystyle C_{n\mathrm {h} }}$及${\displaystyle D_{n\mathrm {h} }}$、
• ${\displaystyle n}$为偶数时，${\displaystyle S_{2n}}$及${\displaystyle D_{n\mathrm {d} }}$、
• ${\displaystyle T_{\mathrm {d} }}$。

上述各群分别对应一个旋转群${\displaystyle H}$及其指标${\displaystyle 2}$的子群${\displaystyle L}$，使得该群是由${\displaystyle H}$的元素，加上${\displaystyle H\setminus L}$经点反演后的元素得到，如上文所述：

• ${\displaystyle C_{n}}$是${\displaystyle D_{n}}$的指标${\displaystyle 2}$子群，对应${\displaystyle C_{n\mathrm {v} }}$。
• ${\displaystyle C_{n}}$是${\displaystyle C_{2n}}$的指标${\displaystyle 2}$子群，${\displaystyle n}$为奇时对应${\displaystyle C_{n\mathrm {h} }}$，${\displaystyle n}$为偶时则对应${\displaystyle S_{2n}}$。
• ${\displaystyle D_{n}}$是${\displaystyle D_{2n}}$的指标${\displaystyle 2}$子群，${\displaystyle n}$为奇时对应${\displaystyle D_{n\mathrm {h} }}$，${\displaystyle n}$为偶时对应${\displaystyle D_{n\mathrm {d} }}$。
• ${\displaystyle T}$是${\displaystyle O}$的指标${\displaystyle 2}$子群，对应${\displaystyle T_{\mathrm {d} }}$。

极大对称群

离散点群中，${\displaystyle O_{\mathrm {h} }}$和${\displaystyle I_{\mathrm {h} }}$并非任何其他离散点群的真子群，故谓极大。其公共子群中，最大的是${\displaystyle T_{\mathrm {h} }}$。由此，可以将二重旋转对称改成四重而得${\displaystyle O_{\mathrm {h} }}$，亦可加入五重旋转对称而得${\displaystyle I_{\mathrm {h} }}$。

类似地，有两个晶体学点群并非任何其他晶体学点体的真子群：${\displaystyle O_{\mathrm {h} }}$与${\displaystyle D_{6\mathrm {h} }}$。视乎方向，其极大公共子群为${\displaystyle D_{3\mathrm {d} }}$或${\displaystyle D_{2\mathrm {h} }}$。

按抽象群同构分类

下列若干个表，将前述诸群，按抽象群同构分类。

最小几个不能表示成三维对称群的抽象群为：${\displaystyle 8}$阶的四元群、${\displaystyle 9}$阶的${\displaystyle Z_{3}\times Z_{3}}$、${\displaystyle 12}$阶的双循环群（英语：dicyclic group）${\displaystyle \mathrm {Dic} _{3}}$，以及十四个${\displaystyle 16}$阶群的其中十个。

下表中，“${\displaystyle 2}$阶元素数”一列，数算${\displaystyle C_{2},C_{\mathrm {i} },C_{\mathrm {s} }}$三类等距变换子群的总数，是有助分辨抽象群类型的特征数，而该总数之内，各类等距变换子群的数目，则有助辨别属同一类抽象群的不同等距变换群。

循环群

${\displaystyle n}$重旋转对称的对称群为${\displaystyle C_{n}}$。其抽象同构类是循环群${\displaystyle Z_{n}}$，亦可记作${\displaystyle C_{n}}$。然而，另有两列对称群同构于循环群：

• 对于偶阶数${\displaystyle 2n}$，瑕旋转群${\displaystyle S_{2n}}$（熊夫利记号），生成元为绕某轴${\displaystyle 180^{\circ }/n}$的旋转后关于与轴垂直的镜面反射。${\displaystyle S_{2}}$也记为${\displaystyle C_{\mathrm {i} }}$，由点反演生成。
• 对于奇数${\displaystyle n}$，有阶数${\displaystyle 2n}$的群${\displaystyle C_{n\mathrm {h} }}$。该群有一条${\displaystyle n}$重旋转轴，另有与该轴垂直的镜射。换言之，群由两种变换生成，即绕轴${\displaystyle 360^{\circ }/n}$的旋转，及该镜射。${\displaystyle C_{1\mathrm {h} }}$又可记作${\displaystyle C_{\mathrm {s} }}$，仅由一个镜射生成。

故可总结出下表：（十个循环晶体学点群以粗体标出，其满足晶体学限制。）

阶数	等距变换群	抽象群	${\displaystyle 2}$阶元素数	环图
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\boldsymbol {C_{1}}}}$	${\displaystyle Z_{1}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\boldsymbol {C_{2},C_{\mathrm {i} },C_{\mathrm {s} }}}}$	${\displaystyle Z_{2}}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 3}$	${\displaystyle {\boldsymbol {C_{3}}}}$	${\displaystyle Z_{3}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle {\boldsymbol {C_{4},S_{4}}}}$	${\displaystyle Z_{4}}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 5}$	${\displaystyle C_{5}}$	${\displaystyle Z_{5}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 6}$	${\displaystyle {\boldsymbol {C_{6},S_{6},C_{3\mathrm {h} }}}}$	${\displaystyle Z_{6}\cong Z_{3}\times Z_{2}}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 7}$	${\displaystyle C_{7}}$	${\displaystyle Z_{7}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 8}$	${\displaystyle C_{8},S_{8}}$	${\displaystyle Z_{8}}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 9}$	${\displaystyle C_{9}}$	${\displaystyle Z_{9}}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 10}$	${\displaystyle C_{10},S_{10},C_{5\mathrm {h} }}$	${\displaystyle Z_{10}\cong Z_{5}\times Z_{2}}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle \vdots }$

二面群

二维二面体群${\displaystyle D_{n}}$有旋转和反射，但二维反射亦可视为在三维空间中，将不区分正反面的薄片翻转。

然而在三维，反射与翻转须作区分。以${\displaystyle D_{n}}$表示的对称群，有${\displaystyle n}$条二重轴，与${\displaystyle n}$重的主旋转轴垂直，但无反射。${\displaystyle D_{n}}$是正${\displaystyle n}$棱柱、正双${\displaystyle n}$角锥、正${\displaystyle n}$角反棱柱、${\displaystyle n}$方偏方面体的旋转群。若略作改动，如在每面加上相同的手性（英语：chirality (mathematics)）标记，或稍为改变形状，则可以使物体具有手性，从而令${\displaystyle D_{n}}$为其全对称群。

相应的抽象群类型是二面体群${\displaystyle \mathrm {Dih} _{n}}$，亦可照样记为${\displaystyle D_{n}}$。但除${\displaystyle D_{n}}$外，还有三个无穷序列的对称群，同构于二面体群：

• ${\displaystyle C_{n\mathrm {v} }}$，阶为${\displaystyle 2n}$，是正${\displaystyle n}$棱锥的对称群；
• ${\displaystyle D_{n\mathrm {d} }}$，阶为${\displaystyle 4n}$，是正${\displaystyle n}$角反棱柱的对称群；
• 对应奇数${\displaystyle n}$的群${\displaystyle D_{n\mathrm {h} }}$，其阶为${\displaystyle 4n}$。当${\displaystyle n=1}$时，等同${\displaystyle D_{2}}$，已于上文讨论，故此处可取${\displaystyle n\geq 3}$。

注意有以下同构：

${\displaystyle \mathrm {Dih} _{4n+2}\cong \mathrm {Dih} _{2n+1}\times Z_{2}.}$

于是可以整理出下表：（有${\displaystyle 12}$个晶体学点群用粗体标示，另${\displaystyle D_{1\mathrm {d} }}$写成等价的${\displaystyle C_{2\mathrm {h} }}$）

阶数	等距变换群	抽象群	${\displaystyle 2}$阶元素数	环图
${\displaystyle 4}$	${\displaystyle {\boldsymbol {D_{2},C_{2\mathrm {v} },C_{2\mathrm {h} }}}}$	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{2}\cong Z_{2}\times Z_{2}}$	${\displaystyle 3}$
${\displaystyle 6}$	${\displaystyle {\boldsymbol {D_{3},C_{3\mathrm {v} }}}}$	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{3}}$	${\displaystyle 3}$
${\displaystyle 8}$	${\displaystyle {\boldsymbol {D_{4},C_{4\mathrm {v} },D_{2\mathrm {d} }}}}$	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{4}}$	${\displaystyle 5}$
${\displaystyle 10}$	${\displaystyle D_{5},C_{5\mathrm {v} }}$	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{5}}$	${\displaystyle 5}$
${\displaystyle 12}$	${\displaystyle {\boldsymbol {D_{6},C_{6\mathrm {v} },D_{3\mathrm {d} },D_{3\mathrm {h} }}}}$	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{6}\cong \mathrm {Dih} _{3}\times Z_{2}}$	${\displaystyle 7}$
${\displaystyle 14}$	${\displaystyle D_{7},C_{7\mathrm {v} }}$	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{7}}$	${\displaystyle 7}$
${\displaystyle 16}$	${\displaystyle D_{8},C_{8\mathrm {v} },D_{4\mathrm {d} }}$	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{8}}$	${\displaystyle 9}$
${\displaystyle 18}$	${\displaystyle D_{9},C_{9\mathrm {v} }}$	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{9}}$	${\displaystyle 9}$
${\displaystyle 20}$	${\displaystyle D_{10},C_{10\mathrm {v} },D_{5\mathrm {h} },D_{5\mathrm {d} }}$	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{10}\cong \mathrm {Dih} _{5}\times Z_{2}}$	${\displaystyle 11}$
${\displaystyle \vdots }$

其他

${\displaystyle C_{2n\mathrm {h} }}$的阶数为${\displaystyle 4n}$，同构于抽象群${\displaystyle Z_{2n}\times Z_{2}}$。在${\displaystyle n=1}$时，${\displaystyle C_{2n\mathrm {h} }}$等同${\displaystyle \mathrm {Dih} _{2}}$，已于上小节讨论，故本小节仅考虑${\displaystyle n\geq 2}$的情况。

此系列的群可以整理成下表：（其中两个晶体学点群以粗体强调）

阶数	等距变换群	抽象群	${\displaystyle 2}$阶元素数	环图
${\displaystyle 8}$	${\displaystyle {\boldsymbol {C_{4\mathrm {h} }}}}$	${\displaystyle Z_{4}\times Z_{2}}$	${\displaystyle 3}$
${\displaystyle 12}$	${\displaystyle {\boldsymbol {C_{6\mathrm {h} }}}}$	${\displaystyle Z_{6}\times Z_{2}\cong Z_{3}\times Z_{2}^{2}\cong Z_{3}\times \mathrm {Dih} _{2}}$	${\displaystyle 3}$
${\displaystyle 16}$	${\displaystyle C_{8\mathrm {h} }}$	${\displaystyle Z_{8}\times Z_{2}}$	${\displaystyle 3}$
${\displaystyle 20}$	${\displaystyle C_{10\mathrm {h} }}$	${\displaystyle Z_{10}\times Z_{2}\cong Z_{5}\times Z_{2}^{2}\cong Z_{5}\times \mathrm {Dih} _{2}}$	${\displaystyle 3}$
${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle D_{n\mathrm {h} }}$的阶数为${\displaystyle 4n}$，同构于抽象群${\displaystyle \mathrm {Dih} _{n}\times Z_{2}}$。对于奇数${\displaystyle n}$，已于上小节讨论，故此处仅考虑阶数为${\displaystyle 8n}$的群${\displaystyle D_{2n\mathrm {h} }}$，其抽象群类别为${\displaystyle \mathrm {Dih} _{2n}\times Z_{2}}$。（${\displaystyle n\geq 1}$）

此系列的群可以整理成下表：（其中三个晶体学点群以粗体强调）

阶数	等距变换群	抽象群	${\displaystyle 2}$阶元素数	环图
${\displaystyle 8}$	${\displaystyle {\boldsymbol {D_{2\mathrm {h} }}}}$	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{2}\times Z_{2}\cong Z_{2}^{3}}$	${\displaystyle 7}$
${\displaystyle 16}$	${\displaystyle {\boldsymbol {D_{4\mathrm {h} }}}}$	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{4}\times Z_{2}}$	${\displaystyle 11}$
${\displaystyle 24}$	${\displaystyle {\boldsymbol {D_{6\mathrm {h} }}}}$	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{6}\times Z_{2}\cong \mathrm {Dih} _{3}\times Z_{2}^{2}}$	${\displaystyle 15}$
${\displaystyle 32}$	${\displaystyle D_{8\mathrm {h} }}$	${\displaystyle \mathrm {Dih} _{8}\times Z_{2}}$	${\displaystyle 19}$
${\displaystyle \vdots }$

余下七个多面体群是：（其中五个晶体学点群以粗体强调）

阶数	等距变换群	抽象群	${\displaystyle 2}$阶元素数	环图
${\displaystyle 12}$	${\displaystyle {\boldsymbol {T}}}$	${\displaystyle A_{4}}$	${\displaystyle 3}$
${\displaystyle 24}$	${\displaystyle {\boldsymbol {T_{\mathrm {d} },O}}}$	${\displaystyle \definecolor {linkblue}{rgb}{0.0235,0.2706,0.6784}\color {linkblue}{S_{4}}}$	${\displaystyle 9}$
${\displaystyle 24}$	${\displaystyle {\boldsymbol {T_{\mathrm {h} }}}}$	${\displaystyle A_{4}\times Z_{2}}$	${\displaystyle 7}$
${\displaystyle 48}$	${\displaystyle {\boldsymbol {O_{\mathrm {h} }}}}$	${\displaystyle S_{4}\times Z_{2}}$	${\displaystyle 19}$
${\displaystyle 60}$	${\displaystyle I}$	${\displaystyle A_{5}}$	${\displaystyle 15}$
${\displaystyle 120}$	${\displaystyle I_{\mathrm {h} }}$	${\displaystyle A_{5}\times Z_{2}}$	${\displaystyle 31}$

基本域

四角化菱形三十面体

二十面体对称（英语：icosahedral symmetry）的反射面与单位球面交于若干大圆，将球面分成${\displaystyle 120}$个球面直角三角形的基本域。

点群的基本域是锥体。若物体有给定的对称群，则指明物体的某一个基本域变换至哪个基本域，就足以确定该变换。另外，仅从该件物体在一个基本域内的形状，就足以确定整件物体的形状。若物体是曲面，则可由其被一个基本域截得的部分确定，该部分亦是（有边界的）曲面，下称“基本面”，延伸至基本域的径向边界面（即锥体的侧面）。但是，若基本面与其他基本面（即基本面在其他基本域的复制），两者的边界未能贴合，则需要添加径向的面或其他曲面，以使各基本面连接成一个整体。若基本面以反射面为界，则必然贴合。

基本面可以取为任意平面被基本域所截的部分，如此得到一个多面体，具有给定的对称群，如四角化菱形三十面体的每一个面，即为全二十面体对称（英语：icosahedral symmetry）的一个基本面。若调整该面的方向，则有时可以使相邻的若干个基本面共面，而合并成同一个面，得到具同样对称群的其他多面体，如正十二面体和正二十面体。若基本面的边界能够贴合，且基本面的法向量是在基本域内，则所得的多面体为凸多面体。

基本面也可以取为其他形状，不必在同一平面内，例如可取为若干个不同平面的区域连接而成的曲面。

二元多面体群

考虑三维旋量群${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)}$到旋转群${\displaystyle SO(3)}$的二重覆叠投映。由于${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)}$已是单连通，故为${\displaystyle SO(3)}$仅有的非平凡连通覆叠。

由子群的对应（英语：Correspondence theorem (group theory)），${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)}$与${\displaystyle SO(3)}$的子群（即旋转点群）之间有伽罗瓦连接：${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)}$子群投映到${\displaystyle SO(3)}$，必为旋转子群，而反之，旋转子群的原像亦必为是${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)}$的子群。注意${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)}$可以等价描述成特殊酉群${\displaystyle SU(2)}$，或是单位四元数群，亦属李群，拓扑上同胚于三维球面${\displaystyle S^{3}}$。

有限点群的原像称为二元多面体群，记作${\displaystyle \langle l,n,m\rangle }$，与多面体群${\displaystyle (l,m,n)}$对应，而名称则是相应点群的名称加上“二元”前缀，阶数为点群阶数的两倍。例如，二十面体群（英语：icosahedral group）${\displaystyle (2,3,5)}$的原像，便是二元二十面体群（英语：binary icosahedral group）${\displaystyle \langle 2,3,5\rangle }$。

二元多面体群为：

• ${\displaystyle A_{n}}$: 正${\displaystyle n}$边形的二元循环群（英语：binary cyclic group），阶数${\displaystyle 2n}$。
• ${\displaystyle D_{n}}$: 正${\displaystyle n}$边形的二元二面体群（英语：binary dihedral group）${\displaystyle \langle 2,2,n\rangle }$，阶数${\displaystyle 4n}$。
• ${\displaystyle E_{6}}$: 二元四面体群（英语：binary tetrahedral group）${\displaystyle \langle 2,3,3\rangle }$，阶数${\displaystyle 24}$。
• ${\displaystyle E_{7}}$: 二元八面体群（英语：binary octahedral group）${\displaystyle \langle 2,3,4\rangle }$，阶数${\displaystyle 48}$。
• ${\displaystyle E_{8}}$: 二元二十面体群（英语：binary icosahedral group）${\displaystyle \langle 2,3,5\rangle }$，阶数${\displaystyle 120}$。

该些群能按ADE分类（英语：ADE classification），而${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$在二元多面体群作用下的商空间，是杜瓦尔奇点（英语：Du Val singularity）。^[6]

对于不保定向的点群，情况较复杂，因为有两个Pin群，所以对应给定的点群，有两个可能的二元群。

注意前述“覆叠”仅是群的覆叠，而不是多面体空间的覆叠：球面本身单连通，并无非平凡覆叠。所以，并无所谓“二元多面体”覆叠原有的多面体。二元多面体群是旋量群的离散子群，所以若选定旋量群的表示，作用于一个向量空间，则该二元多面体群在该表示下，可能将某个多面体映到自身，例如在${\displaystyle \mathrm {Spin} (3)\to SO(3)}$映射下，二元多面体群作用为旋转，与底下的（非二元）群是同一个多面体的等距变换，然而，在旋量表示（英语：spin representation）或其他表示下，二元多面体群可以作用在不同的多面体上。

二元多面体群不是射影多面体（英语：projective polyhedra）的对称群。球面确实覆叠射影空间（以及透镜空间（英语：lens space）），故可以考虑射影空间的密铺，视之为另一种“多面体”，即射影多面体，但是，考虑二元多面体群时，并非取多面体所覆叠的空间，而是取覆叠对称群的群，所以两件事不相同。

参见

• 球对称群列表（英语：List of spherical symmetry groups）
• 化学常用三维点群的特征标表（英语：List of character tables for chemically important 3D point groups）
• 二维点群（英语：Point groups in two dimensions）
• 四维点群（英语：Point groups in four dimensions）
• 对称——经某种变换后仍与原先相同
• 欧氏平面等距变换（英语：Euclidean plane isometry）
• 群作用——在一些集合上从一组到一组双射的同态
• 点群——几何学中，保持某一点不动的等距变换的群
• 晶系——空间群、格、点群、晶体的分类
• 空间群——空间中，某结构的对称群（空间群列表）
• 小群列表
• 分子对称性——维持化学分子形状不变的空间变换