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倒角立方体

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倒角立方体
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几何学中,倒角立方体又称切棱立方体裁边立方体(英语:Chamfered Cube)是一种十八面体,共有184832顶点[1],是四角化截半立方体对偶多面体,是由立方体经过倒角变换所产生的多面体,是一种方富勒烯[3]

事实速览 类别, 对偶多面体 ...
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性质

倒角立方体具有偶数边数的面且180度旋转对称的边,因此可以算作一种环带多面体,也是一个从立方体不使用膨胀变换构造的一个环带多面体之一[4],然后又因由正方形六边形的面组成,因此也属于一种八面体对称的[5]戈德堡多面体,符号为GIV(0,2)。此外由于倒角立方体拥有接近正多边形的面,且有很多面都是正多边形(六个正方形),因此也是一种拟詹森多面体

结构

倒角立方体具有18个、48个和32个顶点,由6正方形12六边形组成[2]。其结构可视为部分顶点被截去的菱形十二面体,共截去了6个顶点,原本的十二个菱形变为十二个六边形,截去的顶点变为六个正方形。

由于六边形是因为切割而产生的,因此是全等,每个边皆等边,但不是正六边形,两个内角的角度跟原来的菱形十二面体相同,为arccos(-1/3),约109.47度,而新截出来的四个内角约为125.26度,而正六边形内角是120度[6]

另外一种构造出倒角立方体的方式是由正方体出发,将原本的面扩张,原本的角倒过来,剩下的空隙用六边形填满

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此外,也可以看作是一种截边的立方体,即将立方体的十二条边切去[7],切面即变成六边形,或者是看成将边以六边形替代。

倒角立方体可以视为切去所有四阶顶点菱形十二面体,即切去切去相邻四个面的顶点,因此也称为截四阶角菱形十二面体,有时会简称为截角菱形十二面体[8],但这种简称不合适,因为可能是指倒角八面体[9]

另外,倒角立方体也可以视为经过交错截角菱形十二面体,即交错地切除菱形十二面体的顶点,但不是完全切除,因为完全切除会导致原有的菱形面退化成二边形,即退化为边,造成结果变为立方体,因此,倒角立方体也可以称为交错截角菱形十二面体,同样,这称呼存在歧义,因为也可能是指倒角八面体[9],不同于交错扭棱立方体,其结果仅是两种手性镜像,而此例中的结果是倒角八面体以及倒角立方体。

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顶点坐标

倒角立方体是菱形十二面体闵可夫斯基和[10],若立方体边长为一的时候,原本菱形十二面体的八个顶点是位在,剩余六个顶点是的所有排列组合。

体积与表面积

边长为a的倒角立方体,其体积为:

.

表面积为:

正方形面的内切球半径为:

六边形面的内切球半径为:

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倒角倒角立方体

倒角倒角立方体或二次倒角立方体,即进行两次倒角的立方体,亦可以称为倒角交错截角菱形十二面体。

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高次倒角立方体

下表列出立方体倒角四次以下的多面体。蓝色代表来自于正方体的面、绿色代表经过一次倒角后产生的面、红色是两次、紫色是三次、黄色是四次。前几个的面数是6, 18, 66, 258, 1026, 4098,...... (OEIS数列A178789)、边数是12, 48, 192, 768, 3072, 12288,...... (OEIS数列A164346)、顶点数是2, 8, 32, 128, 512, 2048, 8192,...... (OEIS数列A004171)。其顶点数皆为二次幂,因此对偶多面体也是2n面体。此外,这些多面体全部都是戈德堡多面体[11]

更多信息 倒角次数, -1 ...
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拓朴同构体

倒角立方体有一个对称性为五角十二面体群的拓朴同构体,其可以透过截去五角十二面体中与坐标轴平行的棱构造。这种立体为黄铁矿的晶形之一。

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五角十二面体和其截去与坐标轴平行的棱之结果
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矿石晶形模型

这种立体也可以视为特殊的切棱立方体,其可以透过切角小于45度且深度大于零的方式切去立方体的棱来构造[12]

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截角八面体

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利用24个倒角立方体堆砌出的截角八面体模型

倒角立方体与截角八面体十分类似。

更多信息 倒角立方体, 截角八面体 ...

可以利用24个倒角立方体堆砌出一个截角八面体的模型[13][14]

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更多信息 (可能的来源), 倒角立方体 (截边立方体) ...

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参见

参考文献

外部链接

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