双体模型

在统计力学和图论中，双体模型（dimer model）是二维空间密铺的模型，也称为骨牌密铺（Domino tiling，多米诺密铺）或随机密铺模型（random tiling model）。这也是平方格子的完美匹配。^[1][2][3][4]

8x8平方骨牌密铺

介绍

若有 ${\displaystyle m\times n}$ 平方格子G、以及${\displaystyle mn/2}$ 把骨牌，覆盖数量或密铺数量是^[5][6][1]

${\displaystyle Z={\sqrt {|\det K|}}=\prod _{j=1}^{\lceil {\frac {m}{2}}\rceil }\prod _{k=1}^{\lceil {\frac {n}{2}}\rceil }\left(4\cos ^{2}{\frac {\pi j}{m+1}}+4\cos ^{2}{\frac {\pi k}{n+1}}\right).}$

K是G的邻接矩阵。 Z也是统计力学的配分函数。^[7]

例如：

• ${\displaystyle 2\times n}$ 格子：${\displaystyle Z_{n}}$是斐波那契数列 ^[8]
• ${\displaystyle m=n=2k=0,2,4,\ldots }$，可以使用普法夫值计算Z ^[9]

若G是环面，则

${\displaystyle \lim _{m,n\to \infty }Z(m,n)/(mn)=C/\pi }$。

其中Z依赖同调、C是卡塔兰常数。^[7]

叠席密铺

阿兹特克钻石与北极圈现象

Z也依赖格子的边界（参看阿兹特克钻石（英语：Aztec diamond））。

• 
  阿兹特克钻石（Aztec diamond（英语：Aztec diamond））密铺，有1024个密铺
• 
  一个可能的密铺

阿兹特克钻石表示所谓的“北极圈的现象”（Arctic circle phenomena），即边界看起来很同质（冰冻地区），但是中间的“北极圈”不同质（非冰冻地区）。可以使用高度函数解释这个现象。^[7][4]

这些文章有更多阿兹特克图：^[7][3][4]

http://faculty.uml.edu/jpropp/tiling/www/intro.html（页面存档备份，存于互联网档案馆）

高度函数

一个密铺定义一个0微分形式（函数）：

${\displaystyle s(v)=\pm 1}$

s是自旋（参看易辛模型）、v是顶点。那么可以定义一个1-形式：

${\displaystyle ds(e=uv)=s(u)-s(v)=\pm 2}$

这个形式是闭形式。注意上面的形式不等于0因为G是二分图。也定义密铺函数

${\displaystyle \delta (e)=0,1}$

若双体e存在，${\displaystyle \delta (e)=1}$，不然等于0。高度差函数是^[7]

${\displaystyle dh(e)=h(u)-h(v)=(1+\delta (e))ds(e)=\pm 3}$

这个函数定义一个${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}\to \mathbb {Z} }$的随机函数。这也是闭形式。的确威廉·瑟斯顿表示了若${\displaystyle \delta (e)}$真的是密铺函数，这是一个必要条件。h是高度函数。

NxN平方格子的高度函数在中间逼近O(N)。但是阿兹特克钻石的高度函数逼近h的平均值。^[7]的确，CKP定理^[7]说h最小化一个熵（或热力学自由能）的泛函（变分法）：

${\displaystyle F=\log Z}$

共形场论

主条目：共形场论

高斯自由场

双体模型的缩放极限（即高度函数的缩放极限是高斯自由场）^[7]，高斯自由场是一种二维布朗运动。所以${\displaystyle h(x)\to \phi (x)}$成为二维纯量场。

若G是一定的加权图，^[7]K的缩放极限是反全纯导数 ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$。^[1] 若

${\displaystyle Kf=f(w+1)-f(w-1)+if(w+i)-if(w-i)=0}$

f是“反全纯函数”。再说 f 是调和函数（和谐函数）。这是因为${\displaystyle KK^{*}=L}$是调和矩阵（harmonic matrix）。^[7]

非冰冻地区描述一个极限形（limit shape），比如这张文章描述一个心脏线：^[1]（跟代数几何有关）。高斯自由场也许描述这些极限形。2020年这还是未解决的问题。

数学家知道极限形满足一个类似伯格斯方程（${\displaystyle \phi _{x}-\phi \phi _{y}=0}$）的椭圆型偏微分方程。这些极限形可以相似极小曲面的魏尔斯特拉斯-恩内佩尔参数化。^[1]

传播子

邻接矩阵的反函数${\displaystyle K^{-1}(x,y)}$是一种格林函数。

${\displaystyle D(x,y)=\langle h(x)h(y)\rangle }$

是传播子（量子场论）。^[7] 可以表示这等于狄利克雷问题的核子

${\displaystyle D(u,v)=-{\frac {1}{2\pi }}\log(v-u)}$

${\displaystyle d_{u}D(u,v)={\frac {1}{2\pi }}({\frac {du}{v-u}}-{\frac {d{\bar {u}}}{v-{\bar {u}}}})}$

由于维克定理，^[7]

${\displaystyle \langle h(x_{1})\ldots h(x_{2k})\rangle \propto \sum _{\text{对 }}D(x_{i_{1}}x_{i_{2}})\ldots D(x_{i_{2k-1}}x_{i_{2k}})}$

相关条目

其他骨牌模型

• 双体，双体模型描述有些很简单的化学和物理学的系统
• 叠席，日本式的骨牌密铺
• 肢解国际象棋盘问题
• 王氏砖
• 量子双体模型（英语：Quantum_dimer_models）
• 平面图

量子场论

• 高斯自由场
• 玻茨模型
• 渗流理论
• 相变^[1]、临界现象
• Fisher格子：参看韩文版图（https://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9D%B4%ED%95%A9%EC%B2%B4_%EB%AA%A8%ED%98%95）^[3]