四元数与空间旋转

单位四元数（Unit quaternion）可以用于表示三维空间里的旋转^[1]。它与常用的另外两种表示方式（三维正交矩阵和欧拉角）是等价的，但是避免了欧拉角表示法中的万向锁问题。比起三维正交矩阵表示，四元数表示能够更方便地给出旋转的转轴与旋转角。

基本方法

用四元数来表示旋转要解决两个问题，一是如何用四元数表示三维空间里的点，二是如何用四元数表示三维空间的旋转。

四元数表示空间中的点

若三维空间里的一个点的笛卡尔坐标为 (x,y,z)，则它用纯四元数（类似于纯虚数，即实部为0的四元数）xi+yj+zk 表示。

单位四元数表示一个三维空间旋转

设 q 为一个单位四元数，而 p 是一个纯四元数，定义

${\displaystyle R_{q}(p)=qpq^{-1}}$

则 R_q(p) 也是一个纯四元数，可以证明 R_q 确实表示一个旋转，这个旋转将空间的点 p 旋转为空间的另一个点 R_q(p)^[1]。

与正交矩阵表示的关系

四元数的表示与正交矩阵表示是等价的，这可以通过直接的代数计算得到。

仿照关于单位复数的欧拉公式的证明方法，可以得到单位四元数的欧拉公式：

${\displaystyle e^{{\frac {\theta }{2}}(xi+yj+zk)}=\cos {\frac {\theta }{2}}+(xi+yj+zk)\sin {\frac {\theta }{2}},\quad {\text{for }}x,y,z\in \mathbb {R} {\text{ s.t. }}x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$

显然，当 x=1, y=z=0 的时候就回到一般的欧拉公式。

设

${\displaystyle q=e^{{\frac {\theta }{2}}(u_{x}i+u_{y}j+u_{z}k)}=\cos {\frac {\theta }{2}}+(u_{x}i+u_{y}j+u_{z}k)\sin {\frac {\theta }{2}}}$

${\displaystyle p=xi+yj+zk}$

${\displaystyle p'=q^{-1}pq=w+x'i+y'j+z'k}$

（通过下面的计算可以知道，w=0，即计算结果是纯四元数）

则

${\displaystyle q^{-1}=e^{-{\frac {\theta }{2}}(u_{x}i+u_{y}j+u_{z}k)}=\cos {\frac {\theta }{2}}-(u_{x}i+u_{y}j+u_{z}k)\sin {\frac {\theta }{2}}}$

为简便起见，令

${\displaystyle c=\cos {\frac {\theta }{2}},s=\sin {\frac {\theta }{2}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}q^{-1}pq&=&[c-(u_{x}i+u_{y}j+u_{z}k)s](xi+yj+zk)[c+(u_{x}i+u_{y}j+u_{z}k)s]\\&=&[c-(u_{x}i+u_{y}j+u_{z}k)s]\{-(u_{x}x+u_{y}y+u_{z}z)s+i[xc+(u_{z}y-u_{y}z)s]+j[yc+(u_{x}z-u_{z}x)s]+k[zc+(u_{y}x-u_{x}y)s]\}\\&=&i\{xc^{2}+2(u_{z}y-u_{y}z)sc+[u_{x}(u_{x}x+u_{y}y+u_{z}z)-u_{y}(u_{y}x-u_{x}y)+u_{z}(u_{x}z-u_{z}x)]s^{2}\}+\ldots \end{array}}}$

省略号表示由第一项通过简单的轮换可以得到的项。最后得到四元数的矩阵表示为

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}=M(q){\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c^{2}-(1-2u_{x}^{2})s^{2}&2u_{x}u_{y}s^{2}+2u_{z}sc&2u_{x}u_{z}s^{2}-2u_{y}sc\\2u_{x}u_{y}s^{2}-2u_{z}sc&c^{2}-(1-2u_{y}^{2})s^{2}&2u_{y}u_{z}s^{2}+2u_{x}sc\\2u_{x}u_{z}s^{2}+2u_{y}sc&2u_{y}u_{z}s^{2}-2u_{x}sc&c^{2}-(1-2u_{z}^{2})s^{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}$

设

${\displaystyle C=\cos \theta ,S=\sin \theta }$

运用简单的三角恒等变形可以得到，

${\displaystyle M(q)={\begin{bmatrix}C+u_{x}^{2}(1-C)&u_{x}u_{y}(1-C)+u_{z}S&u_{x}u_{z}(1-C)-u_{y}S\\u_{x}u_{y}(1-C)-u_{z}S&C+u_{y}^{2}(1-C)&u_{y}u_{z}(1-C)+u_{x}S\\u_{x}u_{z}(1-C)+u_{y}S&u_{y}u_{z}(1-C)-u_{x}S&C+u_{z}^{2}(1-C)\\\end{bmatrix}}}$

容易验证，M(q)是正交矩阵，且行列式为+1，于是我们得到了四元数对应于正交矩阵的关系。即我们证明了R_q的确表示三维空间中的一个旋转。进一步由旋转的正交矩阵表示的相关知识知，上式中的 θ 就是旋转角。

旋转轴与旋转角

由四元数的结合律马上可以得到，若r为单位纯四元数，则^[1]

${\displaystyle R_{e^{i\lambda r}}(kr)=e^{-i\lambda r}kre^{i\lambda r}=kr,\ \forall \lambda ,k\in \mathbb {R} }$

这表明kr在旋转操作下不变，也就是kr给出旋转的旋转轴（当然r也给出旋转的旋转轴），不妨取k=s，由四元数的欧拉公式我们马上知道，任给一个单位四元数q，计算它的虚部，我们就马上可以知道转轴是什么。

同时，根据四元数的正交矩阵表示，我们又可以马上得到，计算一个单位四元数的实部，它的反余弦值给出旋转角的一半。于是我们马上可以看到用四元数相对于正交矩阵表示的优势：在四元数表示下，计算转轴和旋转角变得异常简单。

进一步地，这表明了三维空间中的每一个旋转都可以用单位四元数表出。若进一步要求 u_x 非负，则这种表出是唯一的。

旋转操作的复合

显然有^[1]：

${\displaystyle R_{q_{1}q_{2}}(p)=(q_{1}q_{2})p(q_{1}q_{2})^{-1}=q_{1}q_{2}pq_{2}^{-1}q_{1}^{-1}=R_{q_{1}}[R_{q_{2}}(p)]}$

于是两个旋转操作的复合，只需要将对应的单位四元数相乘，这一点比欧拉角表示要简单。

与超球面、典型群、自旋群的关系

首先很容易看到，单位四元数与3-球面S³（或三维实射影空间，RP³）同构。

其次，根据单位四元数的矩阵表示，我们又知道，存在一个单位四元数到特殊正交群 SO(3) 的同态，但这不是同构。给定一个角 θ， 2π+θ 与 θ 对应的正交矩阵相同，但是由欧拉公式给出的单位四元数不同（恰好相反）。实际上，这反映了在三维空间中旋转 2π 弧度和旋转 4π 弧度是不等价的，参见旋量。

事实上，单位四元数群与自旋群 Spin(3) 同构。这也表明，S³与自旋群 Spin(3) 同构。进一步地，它们微分同胚。

另一方面，单位四元数群与复数域上的2-球面同构，于是与特殊正交群 SO(2,C) 同构，而后者实际上就是特殊酉群 SU(2)。S³ 与 SU(2) 也是微分同胚的。