大数 (数学)

大数是指远远超出了日常生活使用范围（例如简单的计数或金融交易）的数字，在各个领域都发挥着至关重要的作用。这些庞大的数量在数学、宇宙学、密码学和统计力学中占有重要地位。虽然它们通常表现为较大的正整数，但它们也可以在不同情况下呈现其他形式（例如P进数）。大数学（英语：Googology）^[1]深入研究了这些巨大数字实体的命名约定和属性。

各种各样的数

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然数 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小数 有限小数 无限小数 循环小数 有理数 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代数数 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 实数 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 复数 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 负数 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 负整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分数 单位分数 二进分数 规矩数 无理数 超越数 虚数 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次无理数 艾森斯坦整数 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元数 四元数 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元数 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元数 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超实数 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大实数 上超实数 双曲复数 双复数 复四元数 共四元数（英语：Dual quaternion） 超复数 超数 超现实数

其他

质数 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可计算数 基数 阿列夫数 同余 整数数列 公称值 规矩数 可定义数 序数 超限数 p进数 数学常数 圆周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然对数的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虚数单位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 无限大 ${\displaystyle \infty }$

查 论 编

表示法

科学计数法

大数字通常采用科学计数法计数，即把数字记成ɑ×10ⁿ形式（其中1≤|ɑ|<10）。如59000写作5.9×10⁴等。

分级法

参见：数量级 (数)和大数名称

数量级	中文万进制	短级差 (美国, 东欧, 加拿大和 澳大利亚英语 以及现代英语)	长级差 (西欧中欧和加拿大法语 以及老式英语)
101	十	Ten
102	百	Hundred
103	千	Thousand
104	万
106	百万	Million
108	亿
109	十亿	Billion	Milliard
1012	兆 [2]	Trillion	Billion
1015	千兆	Quadrillion	Billiard
1016	京
1018	百京	Quintillion	Trillion
1020	垓
1021	十垓	Sextillion
1024	秭	Septillion	Quadrillion
1027	千秭	Octillion
1028	穰
1030	百穰	Nonillion	Quintillion
1032	沟
1033	十沟	Decillion
1036	涧	Undecillion	Sextillion
1039	千涧	Duodecillion
1040	正
1042	百正	Tredecillion	Septillion
1044	载
1045	十载	Quattuordecillion
1048	极	Quindecillion	Octillion
1051	千极	Sexdecillion
1052	恒河沙
1054		Septendecillion	Nonillion
1056	阿僧祇
1057		Octodecillion
1060	那由他	Novemdecillion	Decillion
1063		Vigintillion
1064	不可思议
1066		Unvigintillion	Undecillion
1068	无量
1069		Duovigintillion
1072	大数	Tresvigintillion	Duodecillion
1075		Quattuorvigintillion
1078			Tredecillion
1084			Quattuordecillion
1090			Quindecillion
1093		Trigintillion
1096			Sexdecillion
10100	古戈尔（Googol)
10102			Septendecillion
10108			Octodecillion
10114			Novemdecillion
10120			Vigintillion
10123		Quadragintillion
10153		Quinquagintillion
10180			Trigintillion
10183		Sexagintillion
10213		Septuagintillion
10243		Octogintillion
10273		Nonagintillion
10303		Centillion
10600			Centillion
103003		Millinillion[3]
106000			Millinillion
1010100	古戈尔普勒克斯（Googolplex)
101010100	Googolplexian

著名的大数

• googol（果戈尔、古高尔）

美国数学家爱德华·卡斯纳（Edward Kasner）在1940年创造，代表10¹⁰⁰（1后面接100个0，按数位念作“一万亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿亿”，一万后念12个“亿”）

• googolplex（果戈尔普莱克斯、古戈尔普勒克斯）

表示10的一个古戈尔次幂，即10¹⁰¹⁰⁰（1后面接10¹⁰⁰个0）。

• 斯奎斯数（英语：Skewes' number）

表示素数计数函数与对数积分函数交叉点的数值上界，斯奎斯于1933年证明了其中一个上界，又被称作第一斯奎斯数：

${\displaystyle e^{e^{e^{79}}}<10^{10^{10^{34}}}}$（左为准确值，右为近似值）。

• 葛立恒数（简称G64，因为必须使用64层高德纳箭号表示法才表示得出来）
• TREE(3)（英语：TREE(3)）
• 拉约数（英语：Rayo's number）

大数记号

虽然在现实世界中，使用指数来表示大数就已经绰绰有余，但是在少数的数学问题中会用到的大数，如葛立恒数，仍然是不能用指数来表示的。为了表达这样的大数，数学家们想出了以下记号：

• 高德纳箭号表示法多层嵌套的指数塔，是一个简单的符号。
• 超运算按照加法、乘法和幂的递回模式来构造更高级的运算，本质上跟箭号表示法是一样的。
• 康威链式箭号表示法这种记号是箭号表示法的一种延伸，它能够表示远远超出葛立恒数的数。
• 斯坦豪斯-莫泽表示法透过多边形来表示大数。
• 超阶乘是阶乘的一个扩展。
• 阿克曼函数是一个二元函数，增长率非常快，跟高德纳箭号表示法是同一个等级。
• 旋转箭号表示法它是箭号表示法跟链式箭号表示法的延伸，并且所能构造的大数比它们更大。
• BEAF就算是开头的线性数阵等级，也远远超越了上面的大多数记号。
• SUPER它是上面线性数阵的延伸，能够构造出远远大于上面线性数阵的超级大数。

大数表示发展史

大数的表示最早在古希腊数学家阿基米德开始，他在理论上提出了一种表示大数的方法，但他是否创设了适当的符号不得而知。在他的著作《论数沙》中有这样一段文字：

有人认为，无论是在叙拉古城，还是在整个西西里岛或者在世界上有人烟和没有人迹的地方，沙粒的数目都是无穷的；也有人认为沙粒的数目不是无穷的‘但是想表示沙子的数目是办不到的……但是，我要告诉大家，用我找到的方法，不但能表示出占地球那么大地方的沙粒的数目，甚至还能表示把所有的海洋和洞穴都填满了沙粒，这些沙粒总数不会超过1后面有100个零。

在这段文字中，“1后面连续有100个零”即10¹⁰⁰。^[4]