扭棱十二面体

在几何学中，扭棱十二面体是一种半正多面体，由正三角形和正五边形组成^[2]，由于其具有点可递的性质，因此属于阿基米德立体^[3]，也是面数最多的阿基米德立体^[4]，其对偶多面体为五角六十面体^[5][6][7]。

扭棱十二面体

（单击查看旋转模型）
类别	阿基米德立体、半正多面体
对偶多面体	五角六十面体
识别
名称	扭棱十二面体
参考索引	U29, C32, W18
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	snid
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）
施莱夫利符号	sr{5,3} 或 ${\displaystyle s{\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}$ |- !style="background-color:#e7dcc3"| || ht0,1,2{5,3}
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	| 2 3 5
康威表示法	sD
性质
面	92
边	150
顶点	60
欧拉特征数	F=92, E=150, V=60 （χ=2）
二面角	3-3: 164°10′31″ (164.18°) 3-5: 152°55′53″ (152.93°)
组成与布局
面的种类	正三角形 正五边形
面的布局 （英语：Face configuration）	(20+60){3}+12{5} [1]
顶点图	3.3.3.3.5
对称性
对称群	I, 1/2H3, [5,3]+, (532), order 60
旋转对称群 （英语：Rotation_groups）	I, [5,3]+, (532), order 60
特性
半正、凸、手性（英语：Chirality (mathematics)）
图像
扭棱十二面体 及其手性镜像 3.3.3.3.5 （顶点图） 五角六十面体 （对偶多面体） （展开图）

命名

这个形状最早是由克普勒以拉丁文命名的，当时克普勒给出的名称为dodecahedron simum^[8][9]，该名称记载于1619的《世界的和谐》。考克斯特利用扭棱十二面体不仅可以由正十二面体扭棱而成，同时也可以用正二十面体扭棱而成，因此称其为扭棱十二・二十面体（snub icosidodecahedron）或扭棱截十二面体^[10]。其两种手性镜像中，左旋称为laevo^[11]、右旋称为dextro^[5]。

性质

扭棱十二面体是一种阿基米德立体，为正十二面体（或正二十面体）透过扭棱变换后的结果，在施莱夫利符号中可以用${\displaystyle s\scriptstyle {\begin{Bmatrix}5\\3\end{Bmatrix}}}$^[12]或sr{5,3}表示。其具有两个不同的手性几何结构，两者互为镜像^[13]，互相组合后可以形成均匀复合体称为二复合扭棱十二面体（英语：Compound of two snub dodecahedra），其凸包为大斜方截半二十面体^[14]。

构成元素

扭棱十二面体的展开动画。

扭棱十二面体由92个面^[15]、60个顶点和150条边组成^[16]，在其92个面中有80个正三角形和12个正五边形^[17][18]；60个顶点中，每个顶点都是4个正三角形和1个正五边形的公共顶点，在顶点图中可以用5.3.3.3.3来表示^[19]；150条棱中有60条棱是三角形和五边形的公共棱、90条棱是三角形和三角形的公共棱。

体积与表面积

若扭棱十二面体边长为1，则其表面积为：

${\displaystyle A=20{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\approx 55.286\,744\,958\,445\,15}$

体积为：

${\displaystyle V={\frac {12\xi ^{2}(3\varphi +1)-\xi (36\varphi +7)-(53\varphi +6)}{6{\sqrt {3-\xi ^{2}}}^{3}}}\approx 37.616\,649\,962\,733\,36}$

其中 ${\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ 为黄金分割率，而 ${\displaystyle \xi }$ 是三次方程式 ${\displaystyle x^{3}+2x^{2}-\varphi ^{2}=0}$ 的唯一实数解，换言之 ${\displaystyle \xi ={\sqrt[{3}]{\frac {\varphi +{\sqrt {\varphi -{\frac {5}{27}}}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {\varphi -{\sqrt {\varphi -{\frac {5}{27}}}}}{2}}}}$ ，其值约为 ${\displaystyle \xi \approx 0.94315125924}$。

二面角

扭棱十二面体有2种二面角，一种是正三角形与正三角形交角，另一种是正三角形与正五边形交角。其中正三角形与正三角形交角角度约为164.175度^[11][16]：

${\displaystyle \arccos \left(-{\frac {2\xi ^{2}-3}{3}}\right)\approx 2.865400688\approx 164.175366^{\circ }}$

而正三角形与正五边形交角的角度约为152.9299度^[11][16]：

${\displaystyle \arccos \left({\frac {-{\sqrt {15\left(4\left({\frac {1}{\xi }}-\xi \right)\left(3\varphi +1\right)+\left(12\varphi +19\right)\right)}}}{15}}\right)\approx 2.66913\approx 152.9299^{\circ }}$

其中 ${\displaystyle \varphi }$、${\displaystyle \xi }$ 定义如上。

顶点坐标

坐标值

其中，${\displaystyle x}$与${\displaystyle \varphi }$的定义同#二面角章节 ${\displaystyle C_{0}={\frac {\varphi {\sqrt {3-x^{2}}}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{1}={\frac {x\varphi {\sqrt {3-x^{2}}}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{2}={\frac {\varphi {\sqrt {\left(x-1-{\frac {1}{x}}\right)\varphi }}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{3}={\frac {x^{2}\varphi {\sqrt {3-x^{2}}}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{4}={\frac {x\varphi {\sqrt {\left(x-1-{\frac {1}{x}}\right)\varphi }}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{5}={\frac {\varphi {\sqrt {1-x+{\frac {\varphi +1}{x}}}}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{6}={\frac {\varphi {\sqrt {x-\varphi +1}}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{7}={\frac {x^{2}\varphi {\sqrt {\left(x-1-{\frac {1}{x}}\right)\varphi }}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{8}={\frac {x\varphi {\sqrt {1-x+{\frac {\varphi +1}{x}}}}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{9}={\frac {\sqrt {\left(x+2\right)\varphi +2}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{10}={\frac {x{\sqrt {x\left(\varphi +1\right)-\varphi }}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{11}={\frac {\sqrt {x^{2}\left(2\varphi +1\right)-\varphi }}{2}}}$ ${\displaystyle C_{12}={\frac {\varphi {\sqrt {x^{2}+x}}}{2}}}$ ${\displaystyle C_{13}={\frac {\varphi ^{2}{\sqrt {x\left(x+\varphi \right)+1}}}{2x}}}$ ${\displaystyle C_{14}={\frac {\varphi {\sqrt {x\left(x+\varphi \right)+1}}}{2}}}$

若一扭棱十二面体边长为一，且质心位于原点，则其顶点坐标为下列式子的偶置换：

• ${\displaystyle \left(c_{2},c_{1},c_{14}\right),\left(c_{0},c_{8},c_{12}\right),\left(c_{7},c_{6},c_{11}\right)}$，且偶数加上正号
• ${\displaystyle \left(c_{3},c_{4},c_{13}\right),\left(c_{9},c_{5},c_{10}\right)}$，且奇数加上正号，左旋与右旋则为y坐标相反^[20][21]。

正交投影

扭棱十二面体有3个特殊的正交投影^[2]，分别为于面上投影（两种）和于棱上投影（一种），其中“在正三角形面上投影”以及“在正五边形面上投影”其对称性对应于A₂ 和 H₂的考克斯特平面^[22]。

正交投影

投影于	正三角形面	正五边形面	棱
立体图
骨架图
投影对称性	[3]	[5]+	[2]
对偶投影

几何关联

正十二面体、小斜方截半二十面体以及扭棱十二面体

扭棱十二面体可以透过将正十二面体的正五边形面往外拉，直到完全不接触后，原本的顶点位置填入三角形，剩下的部分用三角形补满来构造。而将正十二面体往外拉时，在某个适当的位置时，原本正五边形与正五边形的公共棱的位置则可以摆上正方形，此时则会构成小斜方截半二十面体^[23]。

均匀交错变换的大斜方截半二十面体

而要产生扭棱的形式则需要在将正五边形面往外拉时稍微有一点旋转，并只用三角形填满空隙，而五边形旋转的方向不同可以产生手性镜像^[24]。

扭棱十二面体也可以经由大斜方截半二十面体透过交错变换来构造，但构造出的扭棱十二面体并非所有面都是正多边形，其结果称为截角大斜方截半二十面体，其与扭棱十二面体有着相同的拓朴结构。

相关多面体与镶嵌

扭棱十二面体是正十二面体（或正二十面体）经过扭棱变换后的结果，其他也是由正二十面体透过康威变换得到的多面体有：

正二十面体家族半正多面体

对称群: [5,3]（英语：Icosahedral symmetry）, (*532)							[5,3]+, (532)
{5,3}	t0,1{5,3}	t1{5,3}	t0,1{3,5}	{3,5}	t0,2{5,3}	t0,1,2{5,3}	s{5,3}
半正多面体对偶
V5.5.5	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	V3.3.3.3.3	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5

扭棱十二面体的顶点为4个正三角形与1个正五边形的公共顶点，顶点图计为3.3.3.3.5，在考克斯特符号中可以用来表示，其中，正五边形可以替换为其他多边形，而构成一个无穷序列。其他顶点图也为4个正三角形与1个正n边形的公共顶点（顶点图：3.3.3.3.n）、考克斯特符号计为的多面体如下表所示。特别地，这些几何形状都具有 (n32) 的旋转对称性，当n为6时，几何体退化成平面的无限面体，为一种半正平面镶嵌^[25]，n达到7或以上时，几何结构则成为双曲镶嵌图^[26]；而n为2时，其原像退化为三角形二面体，而n为1或更低时，则该形状不存在。

扭棱镶嵌对称性 n32 的变种： 3.3.3.3.n
对称性 n32（英语：Orbifold notation）	球面镶嵌（英语：List of spherical symmetry groups）				欧氏镶嵌（英语：List_of_planar_symmetry_groups）	紧凑双曲		仿紧双曲
	232	332	432	532	632	732	832	∞32
考克斯特记号
扭棱图
顶点图	3.3.3.3.2	3.3.3.3.3	3.3.3.3.4	3.3.3.3.5	3.3.3.3.6	3.3.3.3.7（英语：Snub triheptagonal tiling）	3.3.3.3.8（英语：Snub trioctagonal tiling）	3.3.3.3.∞（英语：Snub triapeirogonal tiling）
扭棱对偶
顶点布局（英语：Vertex configuration）	V3.3.3.3.2	V3.3.3.3.3	V3.3.3.3.4	V3.3.3.3.5	V3.3.3.3.6	V3.3.3.3.7（英语：Order-7-3 floret pentagonal tiling）	V3.3.3.3.8（英语：Order-8-3 floret pentagonal tiling）	V3.3.3.3.∞

扭棱立体

原像	正四面体	立方体	正八面体	正十二面体	正二十面体
扭棱	扭棱四面体 sr{3,3}
		扭棱立方体 sr{4,3}	扭棱八面体 sr{3,4}	扭棱十二面体 sr{5,3}	扭棱二十面体 sr{3,5}
完全扭棱	完全扭棱四面体 β{3,3}	完全扭棱立方体 β{4,3}	二复合二十面体 β{3,4}	完全扭棱十二面体 β{5,3}	完全扭棱二十面体 β{3,5}

扭棱十二面体图

扭棱十二面体图
5阶对称性
顶点	60
边	150
自同构群	60
属性	哈密顿、 正则

在图论的数学领域中，与扭棱十二面体相关的图为扭棱十二面体图，是扭棱十二面体之边与顶点的图（英语：1-skeleton），是一种阿基米德图（英语：Archimedean graph）^[27]。由于其可以找到哈密顿回路因此也是一种哈密顿图。

扭棱十二面体图

参见

• 五角化扭棱十二面体
• 截半十二面体