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整除规则

用來判斷某整數是否為另一個整數的倍數的規則 来自维基百科,自由的百科全书

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整除数学中两自然数间一种关系。自然数甲可被自然数乙整除,是指乙是甲的因数,且甲是乙的整数倍数,也就是甲以乙没有余数。下面列出了十进制中判断整数除以另一整数的商为整数,且余数为零的一些规则。

基本判别

  • 0:所有非0的整数之倍数。
  • ±1:所有整数之因数。

可于最后几位判别

2和5都是10的因数,在十进制判别是否有的因数只须取其最后k位,除以,可除尽即是

  • ±2:所有偶数(0、2、4、6、8结尾)皆有此因数。如2、−6、989896、11111112、−454
  • ±4:最后两位数可以被4除尽,即是。如9898989898540→40/4=10
  • ±8:若最后三位数可以被8除尽,即是。如8000、1256000、95872
  • ±5:查看最后一位数。如果可以被5除尽(为0或5),即是。如5454545、45454500、50
  • ±10:看最后一位数为0(即末两位为10的整倍数)即是。如530、73500、50
  • ±:最后n位数可以被除尽。
  • ±:最后n位数可以被除尽。
  • ±:最后n位数字都全部是0。

上面的性质亦可推广到求余数:



甚至非十进制下也是一样。例如十二进制:2、3、4、6都是12的因数,故某数的末k位除以,所得余数与原数同余。

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可由各数位判别

  • ±3:所有位数加起来为3的倍数,即是。如69255:(6+9+2+5+5)/3=27/3=9
  • ±9:所有位数加起来为9的倍数,即是。如69255:(6+9+2+5+5)/9=27/9=3

注意到我们现在是在十进制运算,而9=10-1。对于任意进制的非负整数除法,当除数是时被除数中所有数字相加的和仍与该被除数同余。
证明:

  1. 如被除数为零,命题是平凡
  2. 在任何进制,首先考虑仅有最高位数字非零、其余位均是零的正数,该数可写成,其中是最高位(第位)数字、,而表示后面有个零。(进制逢进一,次方自然是1后面个零。)
  3. 那么,除以,前项显然整除,故,推论得
  4. 而任何进制正整数均可写成的形式,根据上面的结果,这个和(即是该数本身)显然与所有数字之和同余。证毕

  • ±11:将其奇数位之和及偶数位之和相减,如果是0、11等11的倍数,即是。如19866→1+8+6-(9+6)=0
  • ±7,±11,±13:设正整数,所以

若a=75312289,则a=75×1000²+312×1000+289,289-312+75=52,a能被13整除,不能被7和11整除。[1]

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合数判别

若某整数能整除某合数则某整数必同时整除所有某合数的质因数。

  • ±6:同时符合±2(末位是0、2、4、6、8)和±3(相加可除尽)的条件(6=2×3),如66、7986252、99999996
  • ±12:同时符合±4和±3(相加可除尽)的条件(12=×3),如60

连续割头法

  • ±7:将个位前的数字乘以3再与个位数相加,得出7的倍数即7的倍数。如154→49→21→7
  • ±13:将个位前的数字乘以3再与个位数相减,得出13的倍数即13的倍数。如156→39→0

  • ±23:将十位前的数字乘以15再与末两位数相减,得出23的倍数即23的倍数。如207→23
  • ±31:将十位前的数字乘以7再与末两位数相加,得出31的倍数即31的倍数。如155→62
  • ±37:将十位前的数字乘以11再与末两位数相减,得出37的倍数即37的倍数。如333→0
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连续割尾法

,且

  • ±7:将个位数乘以2再与个位前的数字相减,得出7的倍数即7的倍数。如154→7
  • ±19:将个位数乘以2再与个位前的数字相加,得出19的倍数即19的倍数。如152→19
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2到31的整除规则总表

更多信息 整除数, 整除规则 ...
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参见

参考资料

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