除法

除法（英语、法语：division）是四则运算之一。除法运算的本质，就是“把参与运算的除数变为${\displaystyle 1}$，得出同比的被除数的值”。

将20个苹果平均分成四等分（左上），每份有5个苹果（右下），即${\displaystyle {{20}\div {4}}=5}$；亦可以说成，将20个苹果每5个分成一份（右下），共可分成四等分（左上），此时可以表达为${\displaystyle {{20}\div {5}}=4}$

例如：${\displaystyle {{6}\div {3}}=2}$，就好像${\displaystyle {{{6}-{3}}-{3}}=0}$， ${\displaystyle {\begin{cases}6-3=3\\3-3=0\end{cases}}}$，${\displaystyle 6}$被${\displaystyle 3}$减了两次后，就变成了${\displaystyle 0}$。

如果

${\displaystyle a\times b=c}$

而且${\displaystyle b}$不等于零，那么

${\displaystyle a=c\div b}$

其中，a称为商数，b称为除数，c称为被除数。

如果除式的商数（${\displaystyle a}$）必须是整数，则称为带余除法，${\displaystyle a\times b}$与${\displaystyle c}$相差的数值，称为余数（${\displaystyle d}$）。

${\displaystyle c\div b=a\dots d}$

这也意味着

${\displaystyle c=a\times b+d}$

在高等数学、科学、工程学和计算机编程语言中，${\displaystyle c\div b}$写成${\displaystyle c/b}$。如果我们毋需知晓确切值，或者留待以后引用，这种形式也常称之为分数的最终形式。其中寻找商数的函数为${\displaystyle \operatorname {div} }$，寻找余数（即模除）的函数则为${\displaystyle \operatorname {mod} }$。

在代数结构范畴中，除法运算存在两种基本形式，对应不同的数学结构定义：

• 带余除法（欧几里得除法）​​：若代数结构中定义了带余除法（即存在商和余数，且余数的范数严格小于除数的范数），则该结构称为欧几里得整环​。例如，一元多项式环（系数取自域）在其多项式次数构成的范数下构成欧几里得整环。
• 无余除法​​：若代数结构中所有非零元素均可逆（即对任意非零元素 ${\displaystyle a}$，存在 ${\displaystyle b}$ 使得 ${\displaystyle ab=ba=1}$），则该结构称为​​域​​；若仅满足乘法可逆性（不要求交换性），则称为​​除环​​。例如，复数是域，而四元数是除环。

引言

首先，进入正题前，我们不妨来看两个生活中的例子：

• 将500克糖果均分给8人：由${\displaystyle {\dfrac {500}{8}}=62{.}5}$可得，每人获得62.5克糖果（无余除法）
• 500克奶粉，按70克/份分配：由${\displaystyle {\dfrac {500}{70}}=7{.}14\ldots }$可得，可完整分配7份，余量≈0.14份（带余除法）

其次，数学和物理存在许多“比例关系反演”（法语：Loi affine）：

• 已知某物体重力 ${\displaystyle P=m\times g}$ ，可得质量 ${\displaystyle m=P/g}$；
• 已知匀速直线运动状态下，某物体行进距离 ${\displaystyle d=v\times t}$ ，可得时间 ${\displaystyle t=d/v}$；
• 对一般仿射关系 ${\displaystyle y=ax+b}$ ，其逆映射为 ${\displaystyle x=(y-b)/a}$；
• 当函数局部可线性化时（如泰勒展开一阶近似）：${\displaystyle y=f(x)\approx f(x_{0})+f'(x_{0})\times (x-x_{0})}$ ，

可构造逆函数近似解：${\displaystyle x\simeq x_{0}+{\frac {f(x)-f(x_{0})}{f'(x_{0})}}}$；${\displaystyle f^{-1}(y)\simeq x_{0}+{\frac {y-f(x_{0})}{f'(x_{0})}}}$；

此乃牛顿迭代法求根的理论基础：${\displaystyle f^{-1}(0)\simeq x_{0}-{\frac {f(x_{0})}{f'(x_{0})}}}$。

可见，在数学，尤其是在基本算术中，除法可视为“乘法的反运算”，也可理解为“重复的减法”。

定义

基本定义

首先，我们来定义整数间的带余除法。这一运算的核心，是将被除数表示为“除数的整数倍+余数”的形式，且余数需满足特定条件。

具体而言，对于任意整数 ${\displaystyle a}$ 和非零整数 ${\displaystyle b}$，存在唯一的整数 ${\displaystyle q}$（商）和 ${\displaystyle r}$（余数），使得：

${\displaystyle a=b\times q+r}$ 且 ${\displaystyle 0\leq r<|b|}$

其中，余数 ${\displaystyle r}$ 的非负性及小于除数绝对值的性质确保了分解的唯一性。

该定义是数论中整除、同余等概念的基础，并广泛用于模运算、辗转相除法等算法中。

带余除法的概念，已能凸显​​除零问题​​的本质：如何将一个量分成0份？显然，这没有实际意义。

随后，我们引入十进制数​​的概念，并通过​​递归处理余数​​的方式扩展计算过程，由此便有了​​有理数​​的定义体系。​​至于实数，则​​在有理数基础上拓展而成。

此时可以设想，将整体划分为更小的​​单位份额​​，从而实现​​分数除法​​：将一个量除以 ${\displaystyle 0.1}$（即${\displaystyle 1/10}$），意味着初始量相当于${\displaystyle 1/10}$个单位份额，进而求出完整单位的大小；而将一个量除以负数，则相当于计算需要移除的单位份额规模。

​​无理数无法直观理解为具体数量，但可视为一种比​​​​——例如正方形对角线与边长之比，或圆周长与其直径之比。至此，除法运算不再能单纯定义为“划分”，而应理解为​​乘法逆运算​​。

基于此定义，除以零仍无意义。由于零乘任何数都得零（${\displaystyle 0\times a=0}$），零便有无穷多个乘法逆元。我们亦可从极限角度理解该问题——因为除以某数等价于乘以其倒数，故可将原问题转化为函数${\displaystyle f(x)=1/x}$在零点处极限的操作：当 ${\displaystyle x}$ 从左侧趋近于零时，极限为${\displaystyle -\infty }$，从右侧趋近时，则为${\displaystyle +\infty }$。

即便通过引入​​广义实数集​​（即在实数轴上添加${\displaystyle -\infty }$和${\displaystyle +\infty }$这两个“伪无穷大”）来扩展数系，问题仍未解决，因为极限值的符号不确定性依然存在。由此可见，​​除法在代数与数分中具有根本性意义。

其它定义

环论中的除法定义

设 ${\displaystyle (A,+,\times )}$ 为整环​​​，则 ${\displaystyle A}$ 上的​​除法运算​​定义为满足以下条件的二元关系：

• 运算规则：对于任意 ${\displaystyle a,\,b,\,c\in A}$ ，${\displaystyle a\div b=c}$ ，当且仅当 ${\displaystyle b\times c=a}$（其中 ${\displaystyle b\neq 0}$）；
• 唯一性：整环的乘法消去律保证除法结果唯一（若 ${\displaystyle b\times c_{1}=a}$ 且 ${\displaystyle b\times c_{2}=a}$，则 ${\displaystyle c_{1}=c_{2}}$）；
• 定义域限制​​：除法仅在 ${\displaystyle \mathrm {A} \times (\mathrm {A} -\{0\})}$ 上有定义，即除数不能为零。

从整环到域的扩展

若 A 为​​交换环​​，可通过​​等价关系​​扩展除法：

• 定义等价关系${\displaystyle \sim }$：${\displaystyle (a,b)\sim (a',b')\iff a\times b'=a'\times b}$，其等价类称为​​分数​​，记为 ${\displaystyle a/b}$；
• 扩展后的集合${\displaystyle A/\sim }$构成​​域​​（含乘法逆元），其中 ${\displaystyle 0/1}$ 为加法单位元，${\displaystyle 1/1}$ 为乘法单位元。此即有理数域 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 的构造基础。

关键限制与意义

• 除零禁止​​：零元无乘法逆元，故 ${\displaystyle b=0}$ 时除法无定义。
• 与欧几里得除法的区别​​：
  • 环论中的除法是乘法的逆运算，强调代数结构；
  • 欧几里得除法侧重整数间的带余除法（如上文的带余除法），两者本质不同。

符号与表示

主条目：除号

基础算术中，除号“÷”仍被广泛使用，而在代数与科学领域，除法通常用​​水平横线（也被称为分数分划线）或​​斜杠表示被除数与除数的关系。除这三种以外，还有其它不同形式。

除号形式

用除号将被除数和除数相隔开：

${\displaystyle a\div b}$

但实际上，除了在基础算术外，这种形式并不常见。ISO 80000-2-10.6标准明确禁止使用该符号​​，因部分欧洲国家用 ÷ 表示减法，容易产生混淆。^[1]

分数分划线形式​​

将​​被除数​​置于分数线上方，​​除数​​置于下方，例如：

${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

该形式可读作“a除以b”、“b除a”或“a比b”。

斜杠与反斜杠形式

在单行文本中，使用斜杠分隔被除数与除数，例如：

${\displaystyle a/b}$

此写法常见于编程语言和计算器输入中。

另外，有部分数学软件（如MATLAB、GNU Octave）采用反斜杠表示运算顺序反转的除法：

${\displaystyle b\backslash a}$ (等价于${\displaystyle a/b}$）

还有以上下标斜杠显示的：

${\displaystyle {}^{a}\!/{}_{b}}$

冒号形式

在某些非英语国家，有的用冒号将被除数和除数相隔开：

${\displaystyle a:b}$

此用法由奥特雷德于1631年最先引入，自莱布尼兹于1684年提倡以来，才为人广泛应用。^[2]:295 莱布尼兹更喜欢用同一个符号表示除法和比率。而在英语用法中，“:”一般只表示比率。

在大部分非英语语言中，${\displaystyle c:b}$代表${\displaystyle c\div b}$的比，读做c比b；${\displaystyle c/b}$则代表${\displaystyle c\div b}$的比值。用法请参照比例。

除了以上这四种形式，美国自19世纪起便开始使用 ${\displaystyle b)a}$ 或 ${\displaystyle b{\overline {)a}}}$ 来单独表示 ${\displaystyle a}$ 除以 ${\displaystyle b}$，尤常见于长除法中。时至今日，美国仍有零星人口使用这种写法。^[3]

性质

严格而言，除法并不构成集合上的内部合成法则（法语：Loi de composition interne）（一种二元运算），其所谓“性质”并不构成数集的结构特性，而应理解为分数形式的固有属性。

非运算性质

1. ​​非交换律​​：${\displaystyle 5\div 3\neq 3\div 5}$
2. 非结合律​​：${\displaystyle 12\div (4\div 3)\neq (12\div 4)\div 3}$

特殊元素与等式关系

• 右单位元​​：对任意数 ${\displaystyle a}$ ，存在 ${\displaystyle {\dfrac {a}{1}}=a}$ 。
• 左零吸收元​​：当 ${\displaystyle b\neq 0}$ 时，${\displaystyle {\dfrac {0}{b}}=0}$ 。
• 分数等式​​：
  • 同分母时：当 ${\displaystyle b\neq 0}$ 时，${\displaystyle {\dfrac {a}{b}}={\dfrac {c}{b}}\iff a=c}$ 。
  • 通分等价：当 ${\displaystyle b\neq 0\wedge d\neq 0}$ 时，${\displaystyle {\dfrac {a}{b}}={\dfrac {c}{d}}\iff ad=bc}$ 。
  • 顺序保持性​​：当 ${\displaystyle b>0}$ 时，分数 ${\displaystyle {\dfrac {a}{b}}}$ 与 ${\displaystyle {\dfrac {c}{b}}}$ 的大小关系与原数 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle c}$ 保持一致。

不同的除法运算

零除以任何非零的数都为零。即在被除数为零，除数非零的前提下，商数为零。

整数除法

整数集在除法运算下没有封闭性，这意味着，两个整数相除，结果不一定是整数。除零操作本身即无定义外，当被除数不是除数的整数倍时，商将呈现为非整数形式。

以26除以11为例，其商即便非整数，但也属于有理数范畴。此时通常采用以下5种处理策略：

1. 将此类除法视为​​偏函数​​，即当除法无法得到整数结果时直接判定为无定义。这种处理方式严格遵循数学定义，但会限制运算的应用范围。
2. 采用​​浮点近似法​​，将结果表示为带有小数部分的实数。这是数值计算方面的通用做法，例如 ${\displaystyle 26\div 11=2.3636...}$ 该方法通过牺牲精确性来换取运算的普适性，但可能引入舍入误差。
3. 通过​​分数形式​​保持精确性，将结果表示为既约分数${\displaystyle {\tfrac {26}{11}}}$或带分数${\displaystyle 2{\tfrac {4}{11}}}$。这种处理要求分子分母的最大公约数为1，例如${\displaystyle {\tfrac {52}{22}}}$经约简后同样得到${\displaystyle {\tfrac {26}{11}}}$。分数体系通过引入有理数集 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ，使整数除法在更广泛的数系中保持封闭性。
4. 采用​​欧几里得除法​​，将结果分解为商和余数的组合形式：${\displaystyle {\tfrac {26}{11}}=2{\mbox{ remainder }}4.}$ 这种表达式满足${\displaystyle 0\leq 4<11}$，其数学基础可追溯至《几何原本》中关于线段分割的公理体系。该处理方式在密码学和算法设计中具有重要应用，如RSA加密算法中的模幂运算。
5. 实施​​整数截断​​，直接取商的地板值（floor function），即${\displaystyle {\tfrac {26}{11}}=2}$。该处理方式在编程语言中普遍使用，如C语言的整数除法运算符“/”默认采用此规则。但需要注意的是：
   1. 不同语言对负数处理存在差异。例如，C语言采用向零取整（T-division），而Python采用向下取整（F-division）。
   2. 不同语言对整数除法的实现存在显著差异。例如，MATLAB和计算机代数系统通常返回精确分数，而Java、C++等语言则返回截断后的整数。为获取完整结果，多数语言提供辅助函数，如Python的divmod()可同时获取商和余数，Java的Math.floorDiv()可实现地板值除法。
   3. 术语方面，“div”、“/”、“\”等符号在不同语境下可能代表不同运算规则。例如，C++中的“/”运算符对整数执行截断除法，而对浮点数执行精确除法；Python的“//”运算符则严格实施地板值除法。这种语义差异要求程式员必须明确上下文环境。

欲快速判定整数可除性（整除性），可借助​​整除规则​​：如2的倍数末位为偶数，3的倍数各位数字之和可被3整除等。这些规则本质上是数论中同余理论的特例。

有理数除法

在除数非零的前提下，两个有理数相除，结果仍为有理数。

具体而言，对于有理数${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$和${\displaystyle {\frac {r}{s}}}$（其中 ${\displaystyle p,q,r,s}$均为整数且 ${\displaystyle q,s\neq 0}$），其除法运算可表示为：

$${\displaystyle {p/q \over r/s}={p \over q}\times {s \over r}={ps \over qr}}$$

该公式表明，有理数的除法本质上是乘以除数的倒数。所有参与运算的量均为整数，且仅有分子 ${\displaystyle p}$ 允许为零（此时结果为有理数0）。

这一定义严格保证了除法与乘法的逆运算关系：若 ${\displaystyle {\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {e}{f}}}$ ，则必然满足 ${\displaystyle {\frac {e}{f}}\times {\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}}$ 。

实数除法

由有理数除法可得，在除数非零的前提下，两实数相除，结果仍为实数。

复数除法

代数形式的复数除法

对于两个非零复数 ${\displaystyle p+iq}$ 和 ${\displaystyle r+is}$（其中 ${\displaystyle p,\,q,\,r,\,s\in \mathbb {R} }$，且 ${\displaystyle r}$ 和 ${\displaystyle s}$ 不同时为零），其除法运算通过​​分母实数化​​实现。先将分子和分母同时乘以分母的共轭复数 ${\displaystyle r-is}$ ，分子展开后再分离实部与虚部，即

$${\displaystyle {p+iq \over r+is}={(p+iq)(r-is) \over (r+is)(r-is)}={pr+qs+i(qr-ps) \over r^{2}+s^{2}}={pr+qs \over r^{2}+s^{2}}+i{qr-ps \over r^{2}+s^{2}}}$$

该方法通过消去分母的虚部实现有理化，分母变为实数。

极坐标形式的复数除法

当上文复数表示为极坐标形式 ${\displaystyle pe^{iq}}$ 和 ${\displaystyle re^{is}}$ （与上述条件相同外， ${\displaystyle p,r>0}$ ）时，运算可进一步简化为：

$${\displaystyle {pe^{iq} \over re^{is}}={pe^{iq}e^{-is} \over re^{is}e^{-is}}={p \over r}e^{i(q-s)}}$$

该方法直接利用欧拉公式的性质，避免了复杂的代数运算。

多项式除法

主条目：多项式除法

和整数之间的带余除法类似，一元多项式之间也可以进行带余除法。 证明：

设有多项式${\displaystyle A}$和非零多项式${\displaystyle B}$，则存在唯一的多项式${\displaystyle Q}$和${\displaystyle R}$，满足：

${\displaystyle A=BQ+R}$

而多项式${\displaystyle R}$若非零多项式，则其幂次严格小于${\displaystyle B}$的幂次。

作为特例，如果要计算某个多项式${\displaystyle P}$除以一次多项式${\displaystyle X-a}$得到的余多项式，可以直接将${\displaystyle a}$代入到多项式${\displaystyle P}$中。${\displaystyle P}$除以${\displaystyle X-a}$的余多项式是${\displaystyle P(a)}$。

具体的计算可以使用类似直式除法的方式。例如，计算${\displaystyle X^{3}-12X^{2}-42}$除以${\displaystyle X-3}$，列式如下：

${\displaystyle {\begin{matrix}\qquad \quad \;\,X^{2}\;-9X\quad -27\\\qquad \quad X-3{\overline {\vert X^{3}-12X^{2}+0X-42}}\\\;\;{\underline {\;\;X^{3}-\;\;3X^{2}}}\\\qquad \qquad \quad \;-9X^{2}+0X\\\qquad \qquad \quad \;{\underline {-9X^{2}+27X}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -27X-42\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\underline {-27X+81}}\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \;\;-123\end{matrix}}}$

因此，商式是${\displaystyle \ X^{2}-9X-27}$，余式是${\displaystyle \ -123}$。

矩阵除法

矩阵除法可通过逆矩阵运算实现，通常定义为右除​​：对于可逆方阵 ${\displaystyle A}$ 和 ${\displaystyle B}$ ，其除法运算表示为：

${\displaystyle A/B=A\cdot B^{-1}}$

其中 ${\displaystyle B^{-1}}$ 为 ${\displaystyle B}$ 的逆矩阵。为避免歧义，该运算更常见于显式写出乘积形式 ${\displaystyle AB^{-1}}$ 。

此外，矩阵的​​元素级除法​​可通过阿达玛积定义，即对应元素相除：

${\displaystyle {A \over B}=A\circ B}$ （要求 ${\displaystyle B}$ 元素非零）

抽象代数除法

抽象代数中，给定一个带有二元运算 * 的广群，​​左除​​（记为 a \ b ）通常定义为满足方程 a ∗ x = b 的解 ${\displaystyle x}$ ，类似地，​​右除记为 b / a ）通常定义为满足方程 y ∗ a = b 的解 ${\displaystyle y}$ 。这种除法定义不要求运算 * 具有交换性、结合性或单位元等性质。若一个广群中，所有元素对 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$ 的左除和右除均存在且唯一（即满足​​拉丁方阵），则该广群称为​​拟群​​。在拟群中，即使没有单位元和逆元，这种除法运算始终可行。

消去性质与除法运算的扩展

在任意广群中，若元素 ${\displaystyle a}$ 满足消去律，则可通过 ${\displaystyle a}$ 对元素进行消去操作。例如：

• 矩阵代数​​中，可逆矩阵的左乘或右乘满足消去律；
• 四元数代数​​中，非零元素满足消去律；
• 拟群​​的结构天然支持消去操作。

在​​整环​​中，虽然并非所有元素都有逆元，但对可消去元素 ${\displaystyle a}$ ，仍可对形如 ${\displaystyle ab}$ 或 ${\displaystyle ca}$ 的元素进行左除（ a \ (ab) = b）或右除（ (ca) / a = c）。进一步地，若一个有限环的所有非零元素均满足消去性质，则根据​​鸽巢原理​​，每个非零元素必为可逆元，从而该环成为​​除环，此时任意非零元素均可作除法。

除法代数的分类与博特周期性

​​博特周期性定理​​表明，对于满足特定条件的代数结构（如有限维实范数除法代数），其仅能与以下四类结构同构：

• ​​实数域​​ ${\displaystyle \mathbb {R} }$（维度 1）；
• 复数域​​ ${\displaystyle \mathbb {C} }$（维度 2）；
• 四元数代数​​ ${\displaystyle \mathbb {H} }$（维度 4）；
• ​​八元数代数​​ ${\displaystyle \mathbb {O} }$（维度 8）。

这一分类结果揭示了除法代数维度的内在规律性，并在拓扑学与量子场论中具有重要应用。

二进制除法

讲完以上十进制除法，我们来介绍计算机科学领域更为常见的二进制编码数除法。

二元欧几里得除法

首先，我们来思考两个正整数 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$ 的除法运算，采用欧几里得除法。

设 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$ 均为 ${\displaystyle n}$ 位二进制数，其中 ${\displaystyle a(i)}$ 表示第 ${\displaystyle i}$ 位（从右向左，编号为 ${\displaystyle 0}$ 至 ${\displaystyle n-1}$），${\displaystyle a(i:j)}$ 表示从第 ${\displaystyle i}$ 位到第 ${\displaystyle j}$ 位的连续位段。以下伪代码（因词汇采用法语而非英语，如无另外说明，以下伪代码词汇皆用法语）实现了该除法的商 ${\displaystyle Q}$ 和余数 ${\displaystyle R}$ 的计算：

fonction [Q, R] = diviser(a, b)

    si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;
    
    Q := 0 ; R := a ; // initialisation
    pour i = n-1 → 0
        si a(n:i) >= b alors
            Q(i) = 1 ; // i-ème bit du quotient
            R = a(n:i) - b ; // reste
        fin
     fin
     retourne [Q, R] ;
fin

算法从被除数的最高位开始，逐步截取与除数同长度的位段（记为 ${\displaystyle a(n:i)}$），并判断是否满足 ${\displaystyle a(n:i)\geq b}$ 。若当前截取的被除数高位段（从最高位开始逐步扩展）小于除数，则商的对应位为0；若该位段数值大于等于除数b，则通过一次减法操作确定商的当前位为1，并更新余数 ${\displaystyle R=a(n:i)-b}$ 。

原始伪代码通过逐位比较实现，而优化版本有以下改进：

fonction [Q, R] = diviser(a, b)

    si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;

    Q := 0 ; R := 0 ; // initialisation
    pour i = n-1 → 0
        R = décalage_à_gauche_de_bits(R, 1) ; // équivaut à rajouter un 0 à droite
        R(1) = a(i) ; // le bit de poids faible de R est le i-ème bit du numérateur
        si R >= b alors
            Q(i) = 1 ; // i-ème bit du quotient
            R = R - b ; // reste
        fin
    fin
    retourne [Q, R] ;
fin

而对于浮点数，只需将其分解为尾数和指数，公式为：

${\displaystyle {\frac {2^{m}\,a}{2^{n}\,b}}=2^{m-n}{\frac {a}{b}}}$

但需处理舍入误差，如采用舍入到最近偶数策略。

总之，该算法仅需​​比较、位移、减法​​三种基本操作，体现了计算机算术运算中​​位级优化​​的核心思想，适合在微处理器中通过组合逻辑电路或状态机实际操作。

相对较慢的算法

设被除数 ${\displaystyle a}$ 和除数 ${\displaystyle b}$ 均为 ${\displaystyle n}$ 位二进制数，其中 ${\displaystyle a(i)}$ 表示第 ${\displaystyle i}$ 位（从右向左，编号为 ${\displaystyle 0}$ 至 ${\displaystyle n-1}$），${\displaystyle a(i:j)}$ 表示从第 ${\displaystyle i}$ 位到第 ${\displaystyle j}$ 位的连续位段。算法核心思想是通过递推关系构造商 ${\displaystyle Q}$ 和余数 ${\displaystyle R}$ 。

在第 ${\displaystyle i}$ 步迭代中，余数更新公式为：

${\displaystyle R_{i}=B\times R_{i-1}-Q_{n-i}\times b}$

若当前余数 ${\displaystyle R_{i-1}}$ 左移后大于等于除数 ${\displaystyle b}$ ，则商位 ${\displaystyle Q_{n-i}=1}$ ，更新余数

${\displaystyle R_{i}=2\times R_{i-1}-b}$

若结果为负，则商位 ${\displaystyle Q_{n-i}=0}$ ，需恢复余数

${\displaystyle R_{i}=2\times R_{i-1}+b}$（通过加回除数实现）

此算法下，原始版本伪代码如下：

fonction [Q, R] = diviser(a, b)

    si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;

    R := a // valeur initiale du reste
    b := décalage_à_gauche_de_bits(b, n)
    pour i = n-1 → 0
        R := décalage_à_gauche_de_bits(b, 1)
        si R >= b alors
             Q(i) := 1 // le i-ème bit de i est 1
             R = R - b
        sinon
             Q(i) := 0 // le i-ème bit de i est 0
        fin
    fin
    retourner[Q, R]
fin

优化版本伪代码如下：

fonction [Q, R] = diviser(a, b)

    si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;

    R := a // valeur initiale du reste
    b := décalage_à_gauche_de_bits(b, n)
    pour i = n-1 → 0
        R := 2*R - b // le reste décalé est-il supérieur à b ?
        si R >= 0 alors
            Q(i) := 1 // le i-ème bit de i est 1
        sinon
            Q(i) := 0 // le i-ème bit de i est 0
            R := R + b // on restaure la valeur du reste en gardant le décalage
        fin
    fin
    retourner[Q, R]
fin

由于循环中的最后一条语句，这种算法被称为“带恢复的除法”。通过引入​​+1和-1商位生成机制​​，可改进为无恢复余数算法。

例如，二进制数11101010可通过以下方式计算： 11101010 -00010101 --------- 11010101，通过​​商位符号扩展​​避免余数恢复步骤。

无恢复余数算法伪代码如下：

fonction [Q, R] = diviser(a, b)

    si b == 0 alors génère l'exception "division par zéro" ;

    R[0] := a
    i := 0
    tant que i < n
        si R[i] >= 0 alors
            Q[n-(i+1)] := 1
            R[i+1] := 2*R[i] - b
        sinon
            Q[n-(i+1)] := -1
            R[i+1] := 2*R[i] + b
        fin
        i := i + 1
    fin
    Q = transforme(Q)
    retourner[Q, R]
fin

另外，还有SRT算法，一种通过​​商位查找表​​的非恢复方法。

相对更快的算法

快速除法的核心思想，是通过​​计算倒数​​实现除法运算，即先计算 ${\displaystyle x=1/b}$ ，再通过乘法 ${\displaystyle Q=a\times x}$ 得到商。此乃牛顿-拉夫森法，其数学形式为：

${\displaystyle x_{i}=x_{i-1}-{\frac {f_{b}(x_{i-1})}{f'_{b}(x_{i-1})}}}$

其中，函数 ${\displaystyle f_{b}(x)=0}$ 的零点即为 ${\displaystyle 1/b}$。迭代公式可简化为：

${\displaystyle x_{i}=x_{i-1}+x_{i-1}(1-bx_{i-1})}$

为加速收敛，需对 ${\displaystyle 1/b}$ 进行初始估计。先将除数 ${\displaystyle b}$ 的二进制指数对齐至区间 ${\displaystyle [0,5;1]}$ ，再采用预计算的线性近似公式：

${\displaystyle x_{0}={\frac {48}{17}}-{\frac {32}{17}}b\ (\simeq 2{,}82-1,88b)}$

其中系数 ${\displaystyle 48/17}$ 和 ${\displaystyle 32/17}$ 已预先存储为常量。

牛顿-拉夫森法具有​​二次收敛性​​，误差随迭代次数指数级下降。对于 ${\displaystyle p}$ 位精度，所需迭代次数为：

${\displaystyle s=\log _{2}\left({\frac {p+1}{\log _{2}17}}\right)}$

欲求单精度浮点数（24位尾数），需要约3次迭代；欲求双精度浮点数（53位尾数），则需约4次迭代。

牛顿-拉夫森法伪代码如下：

fonction [Q] = diviser(a, b)
    e := exposant(b) // b = M*2^e (représentation en virgule flottante)
    b' := b/2^{e + 1} // normalisation ; peut se faire par un décalage de e+1 bits à droite
    a' := a/2^{e + 1} // 0.5 <= b <= 1 ; a'/b' = a/b
    X := 48/17 - 32/17*b' // initialisation de la méthode de Newton
    pour i = 1 → s // s précalculé en fonction du nombre p de bits de la mantisse
        X := X + X*(1 - b*X)
    fin
    Q := a'*X
    retourne[Q]
fin

至于高施密特法，则是基于倒数逼近原理实现除法运算。其核心思想是通过构造因子序列

${\displaystyle F_{k}=f_{k}\times f_{k-1}\times \ldots f_{1}=\prod (f_{i})}$

使得归一化后的除数b满足收敛条件

${\displaystyle b_{k}=F_{k}\times b\Longrightarrow 1}$。

整除

整除是数学中两个自然数之间的一种关系。自然数${\displaystyle a}$可以被自然数${\displaystyle b}$整除，是指${\displaystyle b}$是${\displaystyle a}$的约数，且a是b的整数倍数，也就是${\displaystyle a}$除以${\displaystyle b}$没有余数。

${\displaystyle a\div b=q\dots 0}$

约数判别法可参照整除规则。

表示方法

${\displaystyle b\mid a}$表示${\displaystyle b}$整除${\displaystyle a}$，即${\displaystyle a}$是${\displaystyle b}$的倍数，${\displaystyle b}$是${\displaystyle a}$的因数。

举例

${\displaystyle 15}$可以被${\displaystyle 5}$整除，记作${\displaystyle 5\mid 15}$。

${\displaystyle 20}$不能被${\displaystyle 6}$整除（因为余数为${\displaystyle 2}$），记作${\displaystyle 6\nmid 20}$。在${\displaystyle \mid }$上加一条斜线即表示不整除。

运算方法

根据乘法表，两个整数可以用长除法（直式除法）笔算。如果被除数有分数部分（或者说时小数点），计算时将小数点带下来就可以；如果除数有小数点，将除数与被除数的小数点同时移位，直到除数没有小数点。

算盘也可以做除法运算。

长除法

长除法俗称“长除”，适用于正式除法、小数除法、多项式除法（即因式分解）等较重视计算过程和商数的除法，过程中兼用了乘法和减法。

使用长除法计算${\displaystyle {{1260257}\div {37}}=34061}$的过程可以表示为：

${\displaystyle 1260257\div 37}$的演算过程

${\displaystyle {\begin{array}{l}37\ {\big )}\\\\\\\\\\\\\\\\\end{array}}\!\!\!\!\!{\begin{array}{r}34061\\\hline \ 1260257\\111\quad \quad \\\hline 150\quad \ \ \\148\quad \ \ \\\hline 225\ \ \\222\ \ \\\hline 37\\37\\\hline 0\\\end{array}}}$

短除法

短除法是长除法的简化版本。在短除法里，被除数放中央，旁以一L型符号表示除法，被除数左侧为除数，下侧为商，省去了长除法逐层计算的过程。

• 使用短除法计算${\displaystyle 3\div 7}$的近似值：

${\displaystyle {\begin{array}{r}7\ |\!{\underline {\,\ 3.00000000000000000\dots \ }}\\0.42857142857142857\dots \ \end{array}}}$

• 使用短除法计算${\displaystyle 420}$的素因数分解：

${\displaystyle {\begin{array}{r}2\ |\!{\underline {\,\ \ \ 420\ }}\\2\ |\!{\underline {\,\ \ 210\ }}\\3\ |\!{\underline {\,\ 105\ }}\\5\ |\!{\underline {\,\ 35\ }}\\7\ \end{array}}}$

${\displaystyle 420=2^{2}\times 3\times 5\times 7}$

• 使用短除法计算${\displaystyle 420,270}$的最大公约数及最小公倍数：

${\displaystyle {\begin{array}{r}2\ |\!{\underline {\,\ \ \ 420\quad 270\ }}\\3\ |\!{\underline {\,\ \ 210\quad 135\ }}\\5\ |\!{\underline {\,\ 70\quad \ \ 45\ }}\\14\quad \ \ \ \ 9\ \end{array}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}\gcd(420,270)=2\times 3\times 5=30\\\operatorname {lcm} (420,270)=2\times 3\times 5\times 14\times 9=3780\end{cases}}}$

尺规作图法

类似于乘法、幂运算和平方根，除法同样可以用尺规作图来表示。下文将展示两种不同的操作方法：

一种方法是作圆法。

两幅附图分别展示了一种简洁解法，该解法同时适用于 ${\displaystyle a:b}$ 及其倒数 ${\displaystyle b:a}$ 。图中的虚线圆和弧并非解题所需，而凭通过弦定理，更清晰地展示证明过程。为方便对比，图中各点的命名与弦定理引言图一致。

以下仅针对${\displaystyle a<b}$ 的情况（图1）说明构造步骤（至于 ${\displaystyle a>b}$ 的情况，见图2）：

图1
${\displaystyle a<b}$ 时的尺规作图构造

图2
${\displaystyle a>b}$ 时的尺规作图构造

1. 在数轴上，将长度 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$ 的两条共线线段分别标记为线段 ${\displaystyle {\overline {DS}}}$ 和 ${\displaystyle {\overline {SB}}}$ ；
2. 过点 ${\displaystyle S}$ 作 ${\displaystyle {\overline {DB}}}$ 的垂线，并作一条与 ${\displaystyle {\overline {DB}}}$ 距离为1的平行线，两线交于点 ${\displaystyle C}$ 。为确定过点 ${\displaystyle C}$ 的弧 ${\displaystyle k_{b}}$ 的圆心 ${\displaystyle M}$ ，需作弦 ${\displaystyle {\overline {DC}}}$ 和 ${\displaystyle {\overline {CB}}}$ 的两条中垂线（图中未画出）；
3. 绘制弧 ${\displaystyle \mathrm {arc} \;MBD}$ ，其与另一辅助线交于点 ${\displaystyle E}$ ；
4. 连接点 ${\displaystyle D}$ 和 ${\displaystyle E}$ ，该连线与过 ${\displaystyle C}$ 作的垂线交于 ${\displaystyle C'}$ ；
5. 从点 ${\displaystyle B}$ 出发，作过 ${\displaystyle E}$ 的射线，直至其与过 ${\displaystyle C}$ 作的垂线交于 ${\displaystyle C''}$ 。

至此，构造基本完成。为避免出现重叠， ${\displaystyle {\overline {FD}}}$ 与 ${\displaystyle {\overline {C''S}}}$ 的长度关系需单独说明。

对图1的证明：

在以 ${\displaystyle M'}$ 为圆心的圆 ${\displaystyle k_{2}}$ 中应用弦定理可得：

${\displaystyle {\overline {A'S}}\cdot {\overline {C'S}}={\overline {BS}}\cdot {\overline {DS}}\Rightarrow }$

${\displaystyle a:b={\overline {C'S}}={\frac {{\overline {BS}}\cdot {\overline {DS}}}{\overline {A'S}}}.}$

在以 ${\displaystyle M''}$ 为圆心的圆 ${\displaystyle k_{3}}$ 中应用弦定理可得：

${\displaystyle {\overline {A''S}}\cdot {\overline {C''S}}={\overline {BS}}\cdot {\overline {DS}}\Rightarrow }$

${\displaystyle b:a={\overline {C''S}}={\overline {FD}}={\frac {{\overline {BS}}\cdot {\overline {DS}}}{\overline {A''S}}}.}$

另一种方法是利用截线定理，用尺规作全等三角形。（图3）具体步骤如下：

图3
${\displaystyle a/b}$ 时的尺规作图构造

1. 自点 ${\displaystyle A}$ 引出第一条射线；
2. 在该射线上，以 ${\displaystyle A}$ 为起点，先截取长度为 ${\displaystyle 1}$ 的线段 ${\displaystyle {\overline {AE}}}$ ，再截取长度为 ${\displaystyle b}$ 的线段 ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ ；
3. 自点 ${\displaystyle B}$ 出发，在与 ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ 成任意角 ${\displaystyle \alpha }$ 的方向上截取长度为 ${\displaystyle a}$ 的线段 ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ ；
4. 过点 ${\displaystyle D}$ 作自点 ${\displaystyle A}$ 引出的第二条射线；
5. 自点 ${\displaystyle E}$ 作与 ${\displaystyle {\overline {BD}}}$ 平行的直线，该直线与第二条射线的交点 ${\displaystyle C}$ 所对应的线段 ${\displaystyle {\overline {EC}}}$ 即为所求商 ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ 的长度。

关于“除以零”

主条目：除以零

“除以零”有意义吗？

在标准数学体系中，除以零被定义为“未定义”操作，因其与“零乘任何有限数恒为零”相悖^[4]，计算器输入此类表达式也会报错。但在零环和轮代数（英语：Wheel theory）等高阶数学结构中，通过重新定义运算规则，除以零可被赋予特定意义。

1 : 0 是否等于∞?

${\displaystyle y={\tfrac {1}{x}}}$在平面直角坐标系上的函数图象

部分人认为，这个问题应当赋予“∞”的解，因为经验表明，当分配者数量趋近于零时，每个个体获得的量会趋向无限。然而，这种直觉在数学体系中会引发根本性矛盾。

首先，引入“∞”这一“值”将导致环及其算术体系的瓦解。具体表现为：

• 传统算术运算规则失效（如 ∞ ${\displaystyle -}$ ∞ 未定义）
• 出现大量不定式（如${\displaystyle 1:0}$型表达式）
• 需另外建立特殊处理法则

其次，通过极限理论，在x=0处，函数 ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$ 同时具有正负两个方向的发散趋势：

• 右极限：${\displaystyle \lim _{x\to +0}{\tfrac {1}{x}}=+\infty .}$
• 左极限：${\displaystyle \lim _{x\to -0}{\tfrac {1}{x}}=-\infty .}$

由于正负无穷不可比较，该点不存在传统意义上的极限值。

而且，在有理数集 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 和实数集 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 中，引入无穷大会破坏原有序关系，导致比较运算的逻辑悖论。

最后，直接承认方程 ${\displaystyle 0\cdot x=1}$ 无解具有显著优势：

• 保持算术体系自洽性
• 避免引入矛盾性概念
• 更利于误差处理（如编程中的除零异常）

接受该方程无解的朴素事实，并借助分析学工具（如洛必达法则）处理相关问题，是更为合理且自洽的解决方案。

参见

• 筹算除法
• 同余
• 余数
• 带余除法