正交四边形

在欧几里得几何中，正交四边形（英语：Orthodiagonal quadrilateral，也称为正轴四边形）是指对角线相互垂直的四边形。筝形、菱形、正方形、婆罗摩笈多四边形都是特殊的正交四边形^[1]。

正交四边形（黄色）与其边构成的正方形，由勾股定理可知，两个红色正方形与两个蓝色正方形的面积和相等

基本性质

边

根据勾股定理，正交四边形的对边平方和相等。暨对于任意正交四边形，其四边长分别为a、b、c、d，都有^[2][3]：

${\displaystyle \displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}}$

反之，任意满足该公式的四边形一定是正交四边形^[4]，可以通过余弦定理、平面向量、复数和反证法等多种方式证明^[5]。

角

根据定义，当且仅当凸四边形ABCD为正交四边形时，有

${\displaystyle \angle PAB+\angle PBA+\angle PCD+\angle PDC=\pi }$

其中P为对角线交点。

此命题的逆命题也成立，暨对于相交于点P的线段AB、CD，若满足${\displaystyle \angle PAB+\angle PBA+\angle PCD+\angle PDC=\pi }$，则AB与CD垂直。可通过对顶角相等来证明此命题。

面积

设K为正交四边形的面积，p和q为正交四边形的对角线长，则有^[6]：

${\displaystyle K={\frac {pq}{2}}}$

反之，所有满足${\displaystyle K={\frac {pq}{2}}}$的四边形都是正交四边形^[5]。此外，正交四边形也是所有p和q为对角线长构成的四边形面积最大的，暨对于任意平面四边形，都有${\displaystyle K\leq {\frac {pq}{2}}}$，当且仅当对角线相互垂直时取等于号。更一般的，则为：

${\displaystyle K={\frac {pqsin{\theta }}{2}}}$

其中${\displaystyle \theta }$为两对角线的夹角。

与其它四边形的关系

• 筝形，同时满足正交四边形与圆外切四边形的凸四边形
• 婆罗摩笈多四边形，同时满足正交四边形与圆内接四边形的凸四边形
• 直角筝形，同时满足正交四边形与双心四边形的凸四边形
• 正交梯形，同时满足正交四边形与一对边平行（梯形）的凸四边形
• 菱形，同时满足正交四边形与两对边平行（平行四边形）的凸四边形
• 中方四边形，同时满足正交四边形与对角线相等（等对角线四边形）的凸四边形

与圆外切四边形的比较

正交四边形与圆外切四边形有一些相似之处，如下表^[5]：

圆外切四边形	正交四边形
${\displaystyle a+c=b+d}$	${\displaystyle a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}}$
${\displaystyle R_{1}+R_{3}=R_{2}+R_{4}}$	${\displaystyle R_{1}^{2}+R_{3}^{2}=R_{2}^{2}+R_{4}^{2}}$
${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}}}+{\frac {1}{h_{3}}}={\frac {1}{h_{2}}}+{\frac {1}{h_{4}}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{h_{1}^{2}}}+{\frac {1}{h_{3}^{2}}}={\frac {1}{h_{2}^{2}}}+{\frac {1}{h_{4}^{2}}}}$

其中，a、b、c、d分别为四边长，h₁, h₂, h₃, h₄为四边与对角线组成的三角形的高，R₁, R₂, R₃, R₄为此四个三角形的外接圆半径。