大十二面半十二面体

大十二面半十二面体是一种拟正半多面体^[1]，由12个五角星面和6个穿过整体几何中心的十角星面组成，^[2][3]可以视为大截半二十面体经过刻面（英语：Faceting）后的结果^[4]，且凸包与大截半二十面体相同，皆为截半十二面体^[5]。这个立体最早在1881年由亚伯特·巴杜罗（Albert Badoureau）发现并描述^[6]。

提示：此条目的主题不是大二十面半十二面体或大十二面半二十面体。

大十二面半十二面体

类别	均匀星形多面体 半多面体
对偶多面体	大十二面半无穷星形十二面体（英语：Great dodecahemidodecacron）
识别
名称	大十二面半十二面体 Great dodecahemidodecahedron
参考索引	U70, C86, W107
鲍尔斯缩写 （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	gidhid
数学表示法
威佐夫符号 （英语：Wythoff symbol）	5/3 5/2 | 5/3（二重复盖）
性质
面	18
边	60
顶点	30
欧拉特征数	F=18, E=60, V=30 （χ=-12）
组成与布局
面的种类	12个正五角星 6个正十角星
顶点图	5/2.10/3.5/3.10/3
对称性
对称群	Ih（英语：Icosahedral symmetry）, [5,3], (*532)
图像
5/2.10/3.5/3.10/3 （顶点图） 大十二面半无穷星形十二面体（英语：Great dodecahemidodecacron） （对偶多面体）

性质

大十二面半十二面体由18个面、60条边和30个顶点组成。在其18个面中有12个五角星面和6个十角星面；其中12个五角星面又可以再分成2组，分别以相反的方式相接，在施莱夫利符号中分别记为{5/2}及{5/3}^[7]。而当中的6个十角星可以对应到正十二面体，且其数量正好是正十二面体的一半^[8]，即6个^[8]，因此可以算做一种半多面体。^[9]其每个顶点都是2个五角星和2个十角星的公共顶点，其中包含了1个正著接的五角星和1个反著接的五角星，导致其顶点图变为交叉四边形，在顶点布局中可以用{10/3, 5/3, 10/3, 5/2}来表示。^[10]

顶点坐标

大十二面半十二面体可以视为大截半二十面体经过刻面（英语：Faceting）后的结果^[4]，因此相同边长且几何中心位于相同位置之大十二面半十二面体和大截半二十面体顶点坐标也会相同^[11][12]。几何中心位于原点且边长为单位长的大十二面半十二面体顶点坐标为：^[11]

${\displaystyle \left(\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}},\,0,\,0\right)}$、 ${\displaystyle \left(0,\,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}},\,0\right)}$、 ${\displaystyle \left(0,\,0,\,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)}$、${\displaystyle \left(\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}},\,\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{4}}\right)}$、 ${\displaystyle \left(\pm {\frac {1}{2}},\,\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{4}},\,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\right)}$、 ${\displaystyle \left(\pm {\frac {3-{\sqrt {5}}}{4}},\,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}},\,\pm {\frac {1}{2}}\right)}$。^[11]

• 
  大截半二十面体
• 
  大十二面半十二面体

二面角

大十二面半十二面体只有一种二面角，为五角星和十角星的二面角^[4]，其值为五平方根倒数的反余弦值：^[13]

${\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {\sqrt {5}}{5}}\approx 1.10714872\approx 63.4349488^{\circ }}$

相关多面体

大十二面半十二面体与大二十面半十二面体及大截半二十面体共用相同的顶点排列方式^[14]。其中，大十二面半十二面体与大二十面半十二面体皆具有6个通过整体几何中心的十角星面。若不通过几何中心的面是五角星，则这个多面体是大十二面半十二面体^[15]；若不通过几何中心的面是三角形，则这个多面体是大二十面半十二面体^[15]。特别地，大十二面半十二面体可以视为是截半的皮特里大二十面体（大二十面体的皮特里对偶）、大二十面半十二面体可以视为是截半的皮特里大星形十二面体（大星形十二面体的皮特里对偶）。^[2]

• 
  大截半二十面体
• 
  大十二面半十二面体
• 
  大二十面半十二面体
• 
  截半二十面体（凸包）^[5]

皮特里大二十面体

皮特里大二十面体

以不同颜色表示每个面
类别	皮特里对偶 正则地区图
数学表示法
施莱夫利符号	{10/3,5/2} {3,5/2}π
性质
面	6
边	30
顶点	12
欧拉特征数	F=6, E=30, V=12 （χ=-12）
二面角	（不存在）
对称性
对称群	Ih, H3, [5,3], *532
特性
扭歪、正则

皮特里大二十面体是大二十面体的皮特里对偶，可以透过将原有大二十面体上取皮特里多边形构成，换句话说，皮特里大二十面体为由大二十面体的皮特里多边形构成的立体^[16][17]。由于大二十面体的皮特里多边形为扭歪十角星，因此无法确立其封闭范围，故无法计算其表面积和体积。

• 
  大二十面体
• 
  构成皮特里大二十面体的扭歪十角星

大二十面体对应的正则地区图与正二十面体同构^[18]，因此其对应的皮特里对偶在拓朴学上也与皮特里二十面体同构，且对应的骨架图皆为二十面体图^[19]。

皮特里大星形十二面体、大星形十二面体、大二十面体、皮特里大二十面体的关系如下：^[20]

${\displaystyle \left\{6,\,{\frac {5}{2}}\right\}}$ 皮特里大十二面体	${\displaystyle {\ce {<->[\pi]}}}$	${\displaystyle \left\{5,\,{\frac {5}{2}}\right\}}$ 大十二面体	${\displaystyle {\ce {<->[\delta]}}}$	${\displaystyle \left\{{\frac {5}{2}},\,5\right\}}$ 小星形十二面体	${\displaystyle {\ce {<->[\pi]}}}$	${\displaystyle \left\{6,\,5\right\}}$ 皮特里小星形十二面体
				↕${\displaystyle \varphi _{2}}$
${\displaystyle \left\{{\frac {10}{3}},\,3\right\}}$ 皮特里大星形十二面体	${\displaystyle {\ce {<->[\pi]}}}$	${\displaystyle \left\{{\frac {5}{2}},\,3\right\}}$ 大星形十二面体	${\displaystyle {\ce {<->[\delta]}}}$	${\displaystyle \left\{3,\,{\frac {5}{2}}\right\}}$ 大二十面体	${\displaystyle {\ce {<->[\pi]}}}$	${\displaystyle \left\{{\frac {10}{3}},\,{\frac {5}{2}}\right\}}$ 皮特里大二十面体

其中，“${\displaystyle {\ce {<->[\pi]}}}$”表示互为皮特里对偶；“${\displaystyle {\ce {<->[\delta]}}}$”表示互为对偶多面体；“${\displaystyle {\ce {<->[\varphi]}}}$”表示互为刻面变换结果。

大十二面半十二面体可以视为是连接皮特里大二十面体每个边的中点构成的立体。^[2]

参见

• 半多面体