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素数公式
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质数公式,又称素数公式,在数学领域中,表示一种能够仅产生素数的公式。即是说,这个公式能够一个不漏地产生所有的素数,并且对每个输入的值,此公式产生的结果都是素数。由于素数的个数是可数的,因此一般假设输入的值是自然数集(或整数集及其它可数集)。迄今为止,人们尚未找到易于计算且符合上述条件的素数公式,但对于素数公式应该具备的性质已经有了大量的研究。
多项式形式的素数公式
可以证明,一个整系数多项式 ,如果不是常数函数的话,不会是一个素数公式。证明很简单:假设这样的一个多项式 存在。那么 将是一个素数 。接下来考虑 的值。由于,对于任意整数 ,我们有 ,从而 是 的倍数,但已然假设 是素数公式,所以 必须是素数,于是它就只能等于 。也就是说,对于任意的 , 都是多项式 的一个根。但根据代数基本定理,一个非零的整系数多项式不可能有无穷多个根。故此, 只能是常数函数。
应用代数数理论,可以证明更强的结果:不存在能够对几乎所有自然数输入,都能产生素数的非常数的多项式P(n)。
欧拉在1772年发现,对于小于40的所有自然数,多项式
的值都是素数。对于前几个自然数 ,多项式的值是41, 43, 47, 53, 61, 71...。当 等于40时,多项式的值是1681=41×41,是一个合数。实际上,当 能被41整除的时候, 也能被41整除,因而是合数。这个公式和所谓的素数螺旋有关,也和黑格纳数有关。若 时,其对应的多项式也有类似的性质,而 也是黑格纳数。
狄利克雷定理证明了,对于互素的a和b, 线性函数 能产生无穷多个素数(尽管不是对于所有的自然数 )。至于是否存在次数大于等于2的多项式,满足对无穷多个整数,都能取到素数值,目前还没有结论。
此外,格林-陶定理证明了另一结论:对于每个正整数 ,都存在着整数对 , ,使得对于每个0与 之间的 , 都是素数。然而,对于比较大的 ,找出 和 是很困难的。目前最好的结果是对于 [1],
- P(n) = 5283234035979900n + 43142746595714191(
A204189 )
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丢番图方程形式的素数公式
一个很著名的素数公式是以下的有26个未知数的由14个方程组成的丢番图方程组Jones et al.(1976):
对于这个方程组的所有正整数解:, 都是素数。可以把这个公式改写成多项式的形式:将14个等式记作 ,那么可以说,多项式 的输入值是正整数时,其值域的正值部分就是所有素数。
根据尤里·马季亚谢维奇的一个定理,如果一个集合能够被定义成一个丢番图方程的解集,那么就可以被定义为一个只有9个未知数的丢番图方程的解集。于是,素数集合可以被定义为一个只含10个变元的多项式的正值解集。然而,这个多项式的次数极大(在1045数量级),另一方面,也存在次数不超过4的多项式,未知数个数是58个。
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带高斯符号的素数公式
利用高斯符号,可以建立一些第 个素数的表达式:
第一个带高斯函数的素数公式由W. H. Mills在1947年构造。他证明了存在实数 使得数列
中的每个数都是素数。最小的 称为米尔斯常数,如果黎曼猜想成立,它的值大约为:( A051021)。
这个素数公式并没有什么实际价值,因为人们对 的性质所知甚少,甚至不知道 是否为有理数。而且,除了用素数值逼近外,没有其他计算 的方法。
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使用威尔逊定理,可以建立一些其他的素数公式。以下的公式也没有什么实际价值,大多数的素性测试都比它远为有效。
我们定义
或者
这两种定义是等价的。就是小于 的素数个数。于是,我们可以定义第 个素数如下:
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这个例子没有用到阶乘和威尔逊定理,但也大量应用了高斯函数(S. M. Ruiz 2000)。首先定义:
然后就有第 个素数的表达式:
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递推关系
另外一个素数公式由以下递推关系组成的数列,其前后项的差来定义:
其中 表示 和 的最大公约数。这个数列的开始几项 是1, 1, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 11, 3, 1, 1 (OEIS数列A132199)。Rowlands (2008) 证明了这个数列只含有一和素数。
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其他公式
威尔逊定理衍生公式
其中,素数2出现无限多次,其余的素数恰好出现一次。实际上,当 是素数 的时候,由威尔逊定理,等于p-2,于是,当n+1是合数的时候,等于0,于是得到2。
参考资料
参见
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