正交群
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数学上,数域F上的n阶正交群,记作O(n,F),是F上的n×n 正交矩阵在矩阵乘法下构成的群。它是一般线性群GL(n,F)的子群,由
- 给出。
Quick Facts 群论, 基本概念 ...
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这里QT是Q的转置。实数域上的经典正交群通常就记为O(n)。
更一般地,F上一个非奇异二次型的正交群是保持二次型不变的矩阵构成的群。嘉当-迪奥多内定理描述了这个正交群的结构。
每个正交矩阵的行列式为1或−1。行列式为1的n×n正交矩阵组成一个O(n,F)的正规子群,称为特殊正交群SO(n,F)。如果F的特征为2,那么1 = −1,从而O(n,F)和SO(n,F)相等;其他情形SO(n,F)在O(n,F)中的指数是2。特征2且偶数维时,很多作者用另一种定义,定义SO(n,F)为迪克森不变量的核,这样它在O(n,F)中总有指数2。
O(n,F)和SO(n,F)都是代数群,因为如果一个矩阵是正交的条件,即转置等于逆矩阵,能够定义成一些关于矩阵分量的多项式方程。