无量纲量

在量纲分析中，无量纲量^[1]（dimensionless quantity）又称无因次量、量纲为一的量^[2][3]（quantity of dimension one）^{[注 1]}指的是没有量纲的量。它是个单纯的数字，量纲为1^[4]。

无量纲量在数学、物理学、工程学、经济学以及日常生活中（如数数）被广泛使用。一些广为人知的无量纲量包括圆周率（π）、欧拉常数（e）和黄金分割率（φ）等。与之相对的是有量纲量，拥有诸如长度、面积、时间等单位。

无量纲量常写作两个有量纲量之积或比，但其最终的纲量互相消除后会得出无量纲量。比如，应变是量度形变的量，定义为长度差与原先长度之比。但由于两者的量纲均为L（长度），因此相除后得出的量是没有量纲的。

属性

• 虽然无量纲量本身没有量纲，但是它也有时被加以无量纲的单位。在分子和分母使用同样的单位（kg/kg或mol/mol），有时可以帮助表达所测量的数值（如质量百分浓度或摩尔分数等）。某些量还可以表示为不同的单位之比，但这两个单位的量纲相同（如光年除以米）。这种做法可以用于计算图表中的斜率，或者进行单位转换。这样的写法并不意味著存在量纲，而只不过是符号表达上的惯例。其他常用的无量纲量有：%=0.01，百分比；‰=0.001，千分比；ppm=10⁻⁶，百万分比；ppb=10⁻⁹，十亿分比；ppt=10⁻¹²，兆分比（万亿分比）以及角单位（度、弧度、百分度）等等。

• 两个具有相同量纲之比是没有量纲的，而且无论用甚么单位计算，该量还是不变的。例如，如果物体A对物体B施大小为F的作用力，那B也会向A施大小为f的力。两个力的比率F/f永远等于1（见牛顿第三定律），而不取决于测量F和f所用的单位。这是因为物理中一个重要的假设：物理定律是独立于人们选用的单位制的。如果以上的F/f不经常等于1，而在我们从国际单位制转用厘米-克-秒制时改变了的话，这就意味著牛顿第三定律的真伪要看我们选取哪一种单位制，而这就与假设矛盾了。这一假设是白金汉π定理的基础，其表述为：所有物理定律均能以数个无量纲量的数学组合（加、减、乘、除等等）写成恒等式。如果无量纲量组合后的值在替换所用单位制后改变了的话，那么白金汉π定理就不成立了。

白金汉π定理

白金汉π定理的另一项推论为，如果n个变数之间有某种函数关系，而这些变数中有k个独立的量纲，则可以产生p = n − k个独立的无量纲量。

例子

某磁力搅拌器的电功率是被搅拌液体的密度和黏度、搅拌器的直径及搅拌速度的函数。因此这里共有n = 5个变量

这n = 5个变量共由以下k = 3个量纲组成：

• 长度：L (m)
• 时间：T (s)
• 质量：M (kg)

根据该定理，通过组合这n = 5个变量，可以得出p = n − k = 5 − 3 = 2个独立的无量纲量。此例中的这两个无量纲量分别为：

• 雷诺数（描述流体流动的无量纲量）
• 功率数（描述搅拌器，同时包含流体密度的无量纲量）

例子

• 在10个苹果中，有1个是坏了的。总苹果数中坏苹果的比例为1个苹果/10个苹果= 0.1 = 10%，这是个无量纲量。
• 角：角的定义为，以圆心为顶点划出的弧的长度除以某另一长度。这个比率由长度除以长度所得，因此是个无量纲量。当所用的（无量纲）单位为弧度时，那个“另一长度”就是圆的半径。当单位为角度时，“另一长度”就是圆周长的360分之1。
• 圆周率是个无量纲量，定义为圆周长与直径之比。该数值无论在用甚么单位量度这些长度时（厘米、英里、光年等等）都会是相同的，只要周长和直径以同样的单位量度。

无量纲量列表

下表中所有的量均为无量纲量：

名称	标准符号	定义	应用范畴
阿贝数	V	${\displaystyle V={\frac {n_{d}-1}{n_{F}-n_{C}}}}$	光学（光的色散）
活度系数	γ	${\displaystyle \gamma ={\frac {a}{x}}}$	化学（活跃分子或原子占总数之比）
反照率	${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle {\alpha }=(1-D){\bar {\alpha }}(\theta _{i})+D{\bar {\bar {\alpha }}}}$	气候学、天文学
劳仑兹因子	${\displaystyle \gamma }$	${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$	相对论
阿基米德数	Ar	${\displaystyle Ar={\frac {gL^{3}\rho _{\ell }(\rho -\rho _{\ell })}{\mu ^{2}}}}$	密度差造成的流体运动
阿伦尼乌斯数	${\displaystyle \alpha }$		活化能与热能之比[5]
相对原子质量	M		化学
伯格诺德数	Ba	${\displaystyle Ba={\frac {\rho d^{2}\lambda ^{1/2}\gamma }{\mu }}}$	固体块的流动（如米粒或沙子）[6]
比赞数 （热力学）	Be	${\displaystyle Be={\frac {{\dot {S}}'_{gen,\Delta T}}{{\dot {S}}'_{gen,\Delta T}+{\dot {S}}'_{gen,\Delta p}}}}$	热传导不可逆性与由于热传导和流体阻力的总不可逆性之比[7]
比赞数 （流体力学）	Be	${\displaystyle Be={\frac {\Delta P.L^{2}}{\mu \alpha }}}$	沿著通道的压力差[8]
宾汉数	Bm	${\displaystyle Bm={\frac {\tau _{y}L}{\mu V}}}$	屈服应力与黏滞应力之比[5]
毕奥数	Bi	${\displaystyle Bi={\frac {hL_{C}}{\ k_{b}}}}$	固体的表面传导率与体积传导率之比
布莱克数（英语：Blake number）	Bl或B	${\displaystyle B={\frac {V\rho }{\mu (1-\epsilon )D}}}$	流体穿过多孔介质时惯性相对黏滞力的重要性
博登斯坦数	Bo	${\displaystyle Bo=Re\cdot Sc=vL/{\mathcal {D}}}$	停留时间的分布
邦德数	Bo	${\displaystyle Bo={\frac {\rho aL^{2}}{\gamma }}}$	由浮力推动的毛细作用[9]
布林克曼数	Br	${\displaystyle Br={\frac {\mu U^{2}}{\kappa (T_{w}-T_{0})}}}$	从容器壁到黏性流体的热传导
Brownell-Katz数			毛细管数和邦德数的组合
毛细管数	Ca		受表面张力影响的流体流动
钱德拉塞卡数（英语：Chandrasekhar number）	${\displaystyle \ Q}$	${\displaystyle {Q}\ =\ {\frac {{B_{0}}^{2}d^{2}}{\mu _{0}\rho \nu \lambda }}}$	磁对流，用以表达洛伦兹力与黏度之比
静摩擦系数	${\displaystyle \mu _{s}}$		物体间的静摩擦
动摩擦系数	${\displaystyle \mu _{k}}$		物体互相滑动时的摩擦
柯尔伯恩j因数			热传导的无量纲系数
库朗数	${\displaystyle \nu }$		双曲型偏微分方程之解[10]
达姆科勒数	Da	${\displaystyle Da=k\tau }$	反应时间与共振时间之比
阻尼比	${\displaystyle \zeta }$	${\displaystyle \zeta ={\frac {c}{2{\sqrt {km}}}}}$	系统中阻尼的程度
达西阻力系数	${\displaystyle C_{f}}$或${\displaystyle f}$		流体流动
狄恩数	D	${\displaystyle {\mathit {D}}={\frac {\rho V\!d}{\mu }}\left({\frac {d/2}{R}}\right)^{1/2}}$	弯曲管道中的流体涡
底波拉数	De	${\displaystyle \mathrm {De} ={\frac {t_{\mathrm {c} }}{t_{\mathrm {p} }}}}$	粘弹性流体的流动学
分贝	dB		两个强度之比，通常用于声音
阻力系数	${\displaystyle C_{d}}$		流动阻力
Dukhin数	Du		异质系统中表面电导率与体积电导率之比
欧拉常数	e		数学
埃克特数	Ec		热对流传导
埃克曼数	Ek		地球物理学（黏质阻力）
弹性	E	${\displaystyle E_{x,y}=\left|{\frac {\Delta y/y}{\Delta x/x}}\right|=\left|{\frac {\Delta y}{\Delta x}}\cdot {\frac {x}{y}}\right|=\left|{\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {x}{y}}\right|}$	经济学，常用于量度供给和需求如何受价格变化的影响
厄特沃什数	Eo		判断汽泡或液滴形状
埃里克森数	Er		液晶流动特性
欧拉数 (物理学)	Eu		流体动力学（压力与惯性力之比）
过量温度系数	Θr	${\displaystyle \Theta _{r}={\frac {T-T_{e}}{U_{e}^{2}/(2c_{p})}}}$	热力学与流体动力学[11]
范宁摩擦系数（英语：Fanning friction factor）	f		管道中的流体流动[12]
费根鲍姆常数	${\displaystyle \alpha ,\delta }$		混沌理论（周期倍增）[13]
精细结构常数	${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle \alpha ={\frac {e^{2}}{2\varepsilon _{0}hc}}}$	量子电动力学
焦比	${\displaystyle f}$		光学、摄影
Foppl-von Karman数			薄壳失稳
傅里叶数	Fo		热传导
菲涅耳数	F	${\displaystyle F\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {a^{2}}{L\lambda }}}$	狭缝衍射[14]
福禄数	Fr	${\displaystyle Fr={\frac {V}{\sqrt {g\ell }}}}$	波和表面行为
增益			电子学（信号输出与信号输入之比）
速比			单车传动[15]
伽利莱数	Ga	${\displaystyle \mathrm {Ga} =Re^{2}Ri={\frac {g\,L^{3}}{\nu ^{2}}}}$	引力造成的黏质流动
黄金分割比	${\displaystyle \varphi }$		数学、美学
格雷茨数	Gz		热流
格拉斯霍夫数	Gr		自由对流
重力耦合常数	${\displaystyle \alpha _{G}}$	${\displaystyle \alpha _{G}={\frac {Gm_{e}^{2}}{\hbar c}}}$	重力
八田数	Ha	${\displaystyle Ha={{\sqrt {{\frac {2}{{m}+1}}k_{m,n}{C_{A,i}}^{m-1}C_{B,bulk}^{n}{D}_{A}}} \over {{k}_{L}}}}$	化学反应造成的吸附增强
哈根数	Hg	${\displaystyle \mathrm {Hg} =-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}{\frac {L^{3}}{\nu ^{2}}}}$	强制对流
水力梯度	i		地下水流动
雅各布数	Ja	${\displaystyle Ja={\frac {c_{p}(T_{s}-T_{sat})}{h_{fg}}}}$	液汽相变时所吸收的显能与潜能之比[16]
Karlovitz数			湍流燃烧
Kc数	${\displaystyle K_{C}}$	${\displaystyle K_{c}={\frac {VT}{L}}}$	震荡流场中物体的阻力与惯性之比
克努森数	Kn		分子平均自由程长度与某代表性长度之比
尿素清除指数	Kt/V		医学
Kutateladze数	K		两相逆流
拉普拉斯数	La		混溶流体中的自由对流
路易斯数	Le		质量扩散率与热扩散率之比
升力系数	${\displaystyle C_{L}}$		在某攻角下翼型的升力
Lockhart-Martinelli参数	${\displaystyle \chi }$		湿气的流动 [17]
乐甫数			地球的硬性
伦德奎斯特数	${\displaystyle S}$		ratio of a resistive time to an Alfvén wave crossing time in a plasma
马赫数	M	${\displaystyle \ M={\frac {V}{a}}}$	气体动力学
磁雷诺数	${\displaystyle R_{m}}$		磁流体力学
曼宁糙率系数	n		开放管道流体流动（由引力推动）[18]
马兰戈尼数	Mg		由热表面张力偏差引起的马兰戈尼流
莫顿数	Mo		判断汽泡或液滴形状
彭巴数	${\displaystyle K_{M}}$		溶液冷冻时的热传导与扩散[19]
努塞尔特数	Nu	${\displaystyle Nu={\frac {hd}{k}}}$	强制对流下的热传导
奥内佐格数	Oh		液体雾化，马兰戈尼流
佩克莱特数	Pe	${\displaystyle Pe={\frac {du\rho c_{p}}{k}}=(Re)(Pr)}$	平流-扩散问题，总动量传递和分子热传递之间的关系
剥离数			微观结构与底物的黏附作用[20]
导流系数	K		在带电离子束中空间电荷的强度
圆周率	${\displaystyle \pi }$		数学（圆周长与直径之比）
泊松比	${\displaystyle \nu }$		弹性（横向与纵向负荷）
多孔性	${\displaystyle \phi }$		地质学
功率因数			电子学（有功功率与视在功率之比）
功率数	${\displaystyle N_{p}}$		搅拌器的功率消耗
普兰特数	${\displaystyle Pr}$	${\displaystyle Pr={\frac {\nu }{\alpha }}={\frac {c_{p}\mu }{k}}}$	黏性扩散率与热扩散率之比
压力系数	${\displaystyle C_{P}}$		翼型上某个点的压力
品质因子	${\displaystyle Q}$		描述振子的阻尼
弧度	${\displaystyle \theta _{rad}}$	${\displaystyle \theta _{rad}={\frac {s}{r}}}$	量度平面角，${\displaystyle 1{\text{ rad}}={\frac {180^{\circ }}{\pi }}}$
瑞利数	${\displaystyle Ra}$	${\displaystyle \mathrm {Ra} =\mathrm {Gr} \mathrm {Pr} ={\frac {g\beta \Delta TL^{3}}{\nu \alpha }}}$	自由对流中的浮力和黏滞力
折射率	n		电磁学、光学
雷诺数	${\displaystyle Re}$	${\displaystyle Re={\frac {vL\rho }{\mu }}}$	流体的惯性力与黏滞力之比[5]
比重	RD		比重计，物质间的比较
理查逊数	Ri		浮力对流动稳定性的影响[21]
洛氏硬度			硬度
滚动阻力系数	Crr	${\displaystyle C_{rr}={\frac {N_{f}}{F}}}$	车辆动力学
罗斯贝数	${\displaystyle Ro}$	${\displaystyle Ro={\frac {U}{LF}}}$	地球物理学中的惯性力，描述科里奥利力的影响程度
劳斯数	Z或P	${\displaystyle \mathrm {P} ={\frac {w_{s}}{\beta \kappa u_{*}}}}$	沉积物流移
施密特数	Sc	${\displaystyle {\mathit {Sc}}={\frac {\nu }{D}}={\frac {\mu }{\rho D}}}$	流体动力学（质量转移与扩散）[22]
形状因数	H		边界层流动中排移厚度与动量厚度之比
舍伍德数	Sh	${\displaystyle \mathrm {Sh} ={\frac {h_{D}L}{D_{fluid}}}}$	强制对流中的质量转移
希尔兹参数	τ∗或θ		流体运动造成的沉积物流移的临界
索默菲德数			边层润滑[23]
斯坦顿数	St	${\displaystyle St={\frac {h}{Gc_{p}}}={\frac {h}{\rho uc_{p}}}={\frac {\mathrm {Nu} }{\mathrm {Re} \,\mathrm {Pr} }}}$	强制对流中的热传递
斯蒂芬数	Ste	${\displaystyle Ste={\frac {C_{p}\Delta T}{L}}}$	相变时的热传递
斯托克斯数	${\displaystyle S_{tk}}$或${\displaystyle S_{k}}$	${\displaystyle Stk={\frac {\tau \,U_{o}}{d_{c}}}}$	流体流中的粒子动力学
应变	${\displaystyle \epsilon }$	${\displaystyle \epsilon ={\cfrac {\partial {F}}{\partial {X}}}-1}$	材料科学、弹性
斯特劳哈尔数	St或Sr	${\displaystyle St={fL \over V}}$	持续并脉动的流体流动[24]
泰勒数	Ta	${\displaystyle Ta={\frac {4\Omega ^{2}R^{4}}{\nu ^{2}}}}$	旋转的流体流动
Ursell数	U	${\displaystyle U={\frac {H\,\lambda ^{2}}{h^{3}}}}$	在浅流体层上表面引力波的非线性度
Vadasz数	Va	${\displaystyle Va={\frac {\phi Pr}{Da}}}$	在多孔介质中流体流动时，该数影响多孔性${\displaystyle \phi }$、普兰特数以及达西阻力系数
范特霍夫因子	i	${\displaystyle i=1+\alpha (n-1)}$	化学定量分析（Kf及Kb）
Wallis参数	J*	${\displaystyle \alpha =R\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{\frac {1}{2}}}$	多相流体流动时的表现速
韦伯数	We	${\displaystyle We={\frac {\rho v^{2}l}{\sigma }}}$	表面极为弯曲的多相流体流动
魏森贝格数	Wi	${\displaystyle Wi={\dot {\gamma }}\lambda }$	粘弹性流体流动[25]
沃默斯利数	${\displaystyle \alpha }$	${\displaystyle \alpha =R\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{\frac {1}{2}}}$	持续并脉动的流体流动[26]

无量纲的物理常数

一些基本物理常数，如真空中的光速、万有引力常数、普朗克常数和波兹曼常数等等，在适当挑选时间、长度、质量、电荷及温度等单位后，可以归一（数值为1）。这种单位制被称为自然单位制。不过不可能在每一个单位制中都把所有的物理常数归一，剩馀的量必须以实验判定。这些剩馀的量包括：

• α：精细结构常数，电磁交互作用的耦合常数，α ≈ 1/137；
• μ或β：质子与电子的不变质量之比，可更广义地指所有基本粒子相对电子的不变质量之比，μ ≈ 1836；
• α_s：强相互作用的耦合常数；
• α_G：重力的耦合常数，α_G ≈ 1.75×10⁻⁴⁵。