热门问题
时间线
聊天
视角

乘法

二元運算 来自维基百科,自由的百科全书

乘法
Remove ads

乘法(英語、法語:multiplication)是四則運算之一。乘法運算的本質,就是​​「同類累的簡寫形式​​」。

Thumb
3×4 = 12

例如:

都是本式的因數(或稱約數),其運算結果稱為

須注意的是,華人地區有將四則運算的被運算數和運算數統一位置,唸作「a 乘以 b」(「a times b」)或「b 乘 a」(「a multiplied by b」)。前者 是乘數, 是被乘數,後者則相反。而乘數和被乘數的交替並不會影響乘法的結果。[1][2]

乘法運算亦有其它形象理解:對於整數乘法,可表現為將對象排列成矩形陣列;對於實數乘法,則可解釋為計算矩形面積。同樣地,運算結果不受邊長測量順序的影響。

在乘法基本概念的基礎上,序列乘積、向量乘法、複數矩陣運算等均對其進行了概念擴展。這些更高級的數學結構會以各自方式影響乘法的基本性質——例如矩陣乘法和某些向量乘法會呈現非交換性,複數乘法則會改變複數的符號。

Remove ads

引言

首先,進入正題前,我們不妨來看兩個生活中的例子:

  • 買5個單價為3圓的冰激凌:由可得,需要支付15圓。
  • 要搭一個3層高、每層4塊積木的小塔:由可得,需要12塊積木。

其次,數學和物理存在許多「累加關係」:

  • 已知勻速直線運動狀態下,某物體行進速度 ,所用時間 ,可得累計距離
  • 已知一個物體的密度 (假設密度均勻),體積 ,可得其質量

......

可見,在數學,尤其是在基本算術中,乘法是​​加法的「快捷版」​​。

Remove ads

定義

基本定義

乘法運算,指通過特定法則將兩個或多個數結合生成的運算過程。其核心內涵包括:

  1. 同類累加的簡寫形式:表示將相同值的數進行連續疊加的運算(如
  2. 比例關係的量化表達:當乘數非整數時,可表示為原數的分數(小數)(如 表示 的一半, 表示 的三分之一)
  3. 維度擴展的數學工具:在幾何學中,用於計算面積(長 寬)、體積(長 高)等空間度量

符號與表示

乘法可以用幾種方法表示。以下的式子表示「五乘以二」:

古代常用的方法是將兩個數並排,沒有甚麼特別的符號來表示乘法。

以「」表示乘法,是由奧特雷德於1618年最先引入,也是現在最流行的寫法。在計算機領域,也有為方便鍵盤輸入而以小寫英文字母「x」替代「×」。

以「」表示乘法,如今已成為美國[3][4]德國法國等國家[5]的標準。其最早由托馬斯·哈里奧特於1631年出版的著作使用,但令這種用法影響深遠的人是萊布尼茲

因為星號」是鍵盤必備的符號,電腦常用其表示乘號,這種用法起源於FORTRAN語言。

代數中,為方便書寫,乘號常被略去(如 )。但如果變數多於一個字母,則易令人混淆。同時如果只有數字,乘號則不應略去,如 不會表示成

累乘則用大寫希臘字母 Pi)表示:

Remove ads

性質

乘法運算的數學性質在不同定義數系下具有多樣性,以下是主要分類及詳細說明。

基本運算律

  1. 交換律
  2. 結合律
  3. 分配律
Remove ads

單位元、零元與逆元性質​

  1. 乘法單位律:任何數乘以 ,都會等於該數本身,即。此律可擴展至多項式中的常數項。
  2. 零元性質:任何數乘以 ,即是甚麼也沒做過,結果為零,即。同樣地,多個因數中若含 ,積必為
  3. 逆元性質:非零數 的逆元(亦為其倒數)為 ,滿足
Remove ads

特殊數系下的性質​

實數與複數除法

  1. 滿足交換律、結合律、分配律。
  2. 複數乘法涉及模長輻角的變化。

矩陣乘法

  1. 滿足結合律和分配律,但​​不滿足交換律,特殊矩陣(如對角矩陣)除外。
  2. 零矩陣:所有元素為 的矩陣,與任意矩陣相乘結果為零矩陣。

下,乘法逆元存在當且僅當數與 互質(如模質數時所有非零數均有逆元)。

不同的乘法運算

兩個數的乘法運算或積(這兩個數可以是自然數整數分數實數複數四元數等)的數學定義,相似而又各有特性。

自然數乘法

兩個自然數 ,其乘積為:

這是將該整數自身重複相加若干次的簡寫法。換言之:

長遠來看,將乘法視為重複加法並不高效。因此,數學家歸納了從 的乘法結果,即九九乘法表

多個自然數相乘時,我們使用括號標明運算順序。為避免過多括號,規定以下優先級規則:乘法始終優先於加法。例如在表達式 中,應理解為 ,而非

自然數時,定義乘法遞歸如下:

整數乘法

Thumb
圖中,笛卡兒坐標系的藍色區域表示乘積為正,紅色區域表示乘積為負。
Thumb
數軸上表示整數乘法時,可藉助向量的方向與長度直觀理解

整數乘法推廣自然數乘法至負數,符號規則為:同號得正,異號得負,絕對值相乘。

分數(小數)乘法

兩個分數 作乘法運算時,分子與分子相乘,分母與分母相乘:

當且僅當 時成立。

兩個小數作乘法運算時,可利用乘法交換律的特性進行計算。

例如,計算 乘以 時:

可見,兩個小數作乘法運算時,先忽略小數點,計算兩數小數點後數字的位數之和,將兩數視為整數相乘,最後在結果中從右往左數出與總位數相同的位數,並放置小數點。

又如,計算 乘以 時:

  1. 先計算整數部分相乘:
  2. 再將小數點向左移動 位:(末尾的 可省略,寫作

實數乘法

實數乘法是前文乘法的推廣,性質也相同。其核心在於:每個實數都是某有理數集上確界。特別地,每個正實數是其無限小數展開式截斷序列的上確界,例如 是集合 的上確界。

實數的一個基本性質是:有理逼近算術運算(特別是乘法)相容。這意味着,若正實數 分別表示為集合 的上確界(即 ),則兩數乘積 等於所有 的乘積項的上確界(即 )。具體而言,兩個正實數的乘積等於其十進制展開式逐項積序列的上確界。

對於涉及負實數的乘法運算,可通過符號法則簡化處理:正負號的變化將上確界轉化為下確界。很多人都通過柯西序列構造實數,因為這種方法無需考慮四種可能的符號組合情況,從而簡化了運算規則的推導過程。

複數乘法

複數乘法可通過分配律虛數單位性質 進行運算。具體地,兩個複數 作乘法運算時,展開過程為:

其中 替換為 後,實部與虛部分別合併。

Thumb
極坐標系表示複數

從幾何視角理解,複數可表示為極坐標形式:

此時,複數乘法可轉化為模長輻角的運算:

其幾何意義在於模長相乘( )、輻角相加( )。

四元數乘法

基於集合論的乘法

非負整數的乘法可通過集合論中的基數概念或皮亞諾公理進行定義。基數理論通過集合(即集合元素的數量)定義乘法,例如,兩個有限集合笛卡兒積的勢等於各自勢的乘積。而皮亞諾公理體系則通過自然數的遞歸定義實現乘法運算:設非負整數表示為自然數,其乘法可歸納定義為:

  • ​​基例​​:對任意非負整數 ,有
  • 遞推規則​​:對任意非負整數 ,有

此定義通過數學歸納法可證明滿足乘法結合律、交換律等基本性質。

對於任意整數的乘法,需在自然數乘法基礎上引入符號規則。例如,負整數乘法定義為:若 為自然數,則 ,而 。這一擴展保持了乘法運算的代數結構一致性。

有理數乘法則通過分數形式定義:若 最簡分數 ),則其乘積為 ,分母通過集合論中的笛卡爾積構造,分子通過自然數乘法定義。此過程需驗證運算的封閉性唯一性,例如通過交叉相乘消去公約數,確保結果仍為最簡分數。

實數乘法的定義依賴於有理數乘法的完備性。通過戴德金分割柯西序列構造實數時,乘法運算被定義為極限運算:若 收斂的有理數序列,則實數乘積定義為 。此定義需滿足乘法與極限運算的交換性,並通過 語言嚴格證明其合理性。

基於群論的乘法

群論中,若一個集合在乘法運算下滿足封閉性結合律、存在單位元且每個元素均有逆元素,則稱其構成群結構。這些公理構成了群的定義基礎。

以非零有理數集為例,其乘法運算滿足群的所有條件:單位元為1(不同於加法群的單位元0),每個非零有理數均存在乘法逆元,且乘法運算封閉(因為兩個非零有理數相乘仍為非零有理數)。但需注意的是,零必須被排除,因其乘法逆元不存在。此例中的群為阿貝爾群,但群論中並非所有乘法群均為阿貝爾群。

考慮可逆方陣群:給定域上同維數的可逆矩陣集合,其乘法運算滿足封閉性(矩陣相乘仍為同維可逆矩陣)、結合律、單位矩陣作為單位元,且每個矩陣均有逆矩陣。然而,矩陣乘法不滿足交換律(如 ),因此該群為非阿貝爾群

即使排除零元素,整數集在乘法下也不構成群。原因在於除 外,其他整數均無乘法逆元。這一特性凸顯了乘法群對逆元存在與否的嚴格要求。

群的乘號通常表示為點乘()或直接省略不寫。在描述群時,點乘符號常用於明確運算,例如非零有理數乘法群可記為( )。這種符號體系與加法群(如( ))形成對比,體現了運算類型的差異。

運算方法

歷史上的算法

迄今為止發現的最早的乘法運算,是可追溯至舊石器時代初期伊尚戈骨上的刻痕。劃痕可能是計數符號,也可能只是為了方便抓握,或有其他非數學的目的。[6]

古埃及人採用連續加倍法進行整數分數的乘法運算,這一方法在《萊因德數學紙草書》中有詳細記載。[7]例如,計算 時,通過將依次加倍三次得到,再根據加倍序列中的對應項,得出

巴比倫人使用六十進制系統,其乘法運算與現代十進制類似,但因 種組合過多,他們通過製作包含前基數倍數乘法表(如 )來簡化計算,如 可通過 的組合快速得出。

古希臘人幾何圖形(如矩形)表示乘法,體現「乘積即面積」的思想。歐幾里得更是在《幾何原本》中用幾何方法證明乘法分配律

Thumb
孫子籌算乘法

中國古代擁有史上最早、最詳細的​​十進制位值制​​乘法規則,其首見於南北朝時期的孫子算經孫子乘法的核心,是通過縱橫排列的算籌模擬位值運算,如計算 時,先以算籌擺出 ,再按「九九表」逐位相乘並累加,終得 。這種算法在9世紀傳至中東,13世紀又譯成拉丁文而流行於歐洲。至於九九乘法表​​,則在戰國時期已成熟應用[8],其採用「小九九」形式,從「九九八十一」到「一一如一」,比古埃及的累加法效率提升數十倍。

阿拉伯穆斯林於9世紀引入印度數字位值制,結合阿拉伯語符號形成計算體系,推動乘法運算標準化。而數學家花拉子米在接納中國的孫子乘法後,在《代數學》中將乘法與方程系統化結合,提出「還原與對消」法,將乘法納入代數運算框架,影響歐洲數學發展。

Thumb
印度類似「鋪地錦」的圖形化乘法
Thumb
納皮爾的骨頭

印度古代的乘法運算亦有發展。7世紀,數學家婆羅摩笈多提出「交叉相乘法」,即 ,簡化多位數乘法步驟。例如計算 時,通過分項相乘再求和,減少重複計算。12世紀,印度文獻中出現類似中國古代「鋪地錦」的圖形化乘法,通過網格線段交叉點計數得出結果,後經阿拉伯傳入歐洲。「納皮爾的骨頭」便是借鑑「鋪地錦」的靈感產生的。

現代算法

現代基於印度-阿拉伯數字系統的乘法,最早同樣由婆羅摩笈多系統闡述。他在7世紀著作《婆羅摩修正體系》中完整定義了加、減、乘、除四則運算的規則,其乘法體系包含多種算法,現代豎式乘法即源於此。此算法通過花拉子米的著作《印度數字算術》於9世紀初傳入阿拉伯世界,其《代數學》系統整合了印度數字與運算規則。13世紀,意大利數學家斐波那契在《計算之書》中推廣此法,最終使印度-阿拉伯數字系統取代羅馬數字成為歐洲主流。[9]

由於歷史影響,華人小學生現在仍背誦九九乘法表來學習乘法。

關於電腦的特別算法,以及其它現代運算法,詳見乘法算法

其它算法

用手指算乘法

除了加法,在有限範圍內,乘法也可以用手指完成。為此,兩個因數需處於同一十位半區,也就是說,兩者要麼均以 結尾,要麼均以 結尾。

對於因數以 結尾的情況:

  1. 首先為手指編號:從小指開始,依次標記為 至拇指為 (其中 表示對應數的十位,如第二位為 時,對應 );
  2. 對齊兩個因數的手指後,數出下方手指總數(包括對齊的手指),將其乘以
  3. 計算左右手下方手指(不包含對齊的手指)的乘積;
  4. 最後,加上常數項 ,結果即為所求。

對於因數以 結尾的情況:

  1. 類似地,從小指開始,依次標記為 至拇指為 (其中 表示對應數的十位,如第二位為 時,對應 );
  2. 對齊兩個因數的手指後,數出下方手指總數(包括對齊的手指),將其乘以 (同上);
  3. 計算左右手上方手指(不包含對齊的手指)的乘積(同上);
  4. 最後,加上常數項 ,結果即為所求。

為例: 均以 結尾,而 。對齊手指後,下方手指有 根,乘以 ;上方手指分別為 根和 根,積為 ;加法常數項 ,總和為

再如 均以 結尾,而 。對齊手指後,下方手指有 根,乘以 得到 ;下方手指分別為 根和 根,積為 ;加法常數項 ,總和為

此方法尤其適用於快速心算平方數。對於不同十位或十位半區的因數,可通過分解為和的形式(如 )應用該技巧。其數學原理基於多項式展開:

尺規作圖法

從相交弦定理出發的尺規法
Thumb
圖1
利用相交弦定理算乘法

如圖1所示,過點 作一直線,分別在 點兩側截取長度為 的線段,得點 。再從 出發,沿另一方向作射線,截取單位長度 ,得點 。過 三點作外接圓,該圓與第二條射線的交點 滿足相交弦定理

此法通過構造三角形外接圓,將乘法轉化為幾何長度的投影關係。

從割線定理出發的尺規法
Thumb
圖2
利用割線定理算乘法

如圖2所示,設圓外一點 ,沿同一方向截取長度為 的線段,得點 。過 作與 成任意角 的射線,在該射線上截取單位長度 ,得點 。作 垂直平分線以確定圓心,過 三點作外接圓,該圓與射線交於點 。根據割線定理

通過調整射線角度 ,可利用相似三角形關係將乘積轉化為圓外一點到交點的距離。

從相似三角形出發的尺規法
Thumb
圖3
利用相似三角形算乘法

如圖3所示,在射線 上截取單位長度 和長度 ,得點 ,從 出發,沿另一方向截取長度 ,得點 。過 作與 平行的直線,與過 的射線交於點 。由相似三角形關係可得:

此法通過構造平行線與相似三角形,將乘法運算轉化為幾何比例問題。

參考

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads