幾何代數
为几何设计的代数结构 / 維基百科,自由的 encyclopedia
數學中,幾何代數(也稱作實克利福德代數)是初等代數的推廣,用於處理向量等幾何對象。幾何代數由加法與幾何積兩種基本運算組成,向量的乘積是更高維對象,稱作多重向量。與其他處理幾何對象的形式相比,幾何代數在支持不同維度的對象的向量除法與加法方面具有優勢。
幾何積最早由赫爾曼·格拉斯曼簡單提及,[1]:6他的興趣主要在於發展與之緊密相關的外代數。1878年,威廉·金頓·克利福德大大擴展了格拉斯曼的工作,形成現在所謂克利福德代數以紀念他(雖然克利福德自己稱之為「幾何代數」)。克利福德將克利福德代數及其積定義為格拉斯曼代數和哈密頓的四元數代數的統一。加上格拉斯曼外積的對偶(「相遇」)就可以使用格拉斯曼–凱萊代數,後者的共形版本與共形克利福德代數一起產生了共形幾何代數(CGA),為經典幾何提供了框架。[2]:411實踐中,這些運算和一些可派生運算可將代數的元素、子空間、運算同幾種幾何解釋對應起來。幾十年來,幾何代數有些被忽視了,因為當時為描述電磁學產生的向量分析擠佔了幾何代數的地盤。1960年代,「幾何代數」由大衛·黑斯廷斯重新發掘出來,主張其對相對論物理學的重要性。[3]
純量和向量有其通常的解釋,並構成幾何代數的不同子空間。二重向量可更自然地表示向量分析中的偽向量,如有向面積、旋轉的有向角度、撓、角動量與電磁場。三重向量可表示有向體積,等等。稱作刃的元素可用於表示V的子空間,及其上的正交投影。旋轉與反射也可用元素表示。不同於向量分析,幾何代數可自然地容納任何維度和任何二次型,如相對論中的二次型。
幾何代數在物理學中的應用有時空代數(及不太常見的物理空間代數)與共形幾何代數。幾何微積分是幾何代數的推廣,包含了微分和積分,可用於形成其他理論,如複分析和微分幾何,例如用克利福德代數代替微分形式。大衛·黑斯廷斯[4]和Chris Doran[5]等人一直主張將幾何代數作為物理學的主要數學框架。支持者聲稱,幾何代數為包括經典力學、量子力學、電磁學、相對論等許多領域提供了緊湊而直觀地描述。[6]幾何代數還被用作計算機圖形學[7]和機械人學的計算工具。