不变子空间
维基百科,自由的 encyclopedia
的不变子空间是的一个子空间使得包含于。的一个不变子空间也称为是 -不变的。
若为-不变,我们限制到上得到一个新的线性变换
不变子空间的存在使得对于的研究变得更为简单。
当然本身,和子空间,是每个线性算子的平凡不变子空间。对于特定的线性算子,可能没有非平凡的不变子空间;譬如考虑二维实向量空间的旋转。
另一个例子是:令为的一个特征向量,也即。则是不变的。
进一步扩展这个例子,我们可以证明每个在一个至少两维的复有限维向量空间的每个线性算子有一个非平凡的不变子空间:的特征值是的特征多项式的零点,而该多项式根据代数基本定理总是有零点的;然后我们可以取对应于该特征值的一个特征向量张成的空间。这个证明在实数域上不成立,因为不是所有实多项式都有一个实根。