谱 (泛函分析)
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在数学中,特别是在泛函分析中,有界算子的谱是矩阵的特征值集合的推广。具体来说,对于有界线性算子T,如果T-λI不可逆,其中I是恒等算子,则复数λ会被认为属于T的谱中。谱和相关性质的研究被称为谱理论,其具有许多应用,最值得注意的是量子力学的数学表述。
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有限维向量空间上的算子的谱就是特征值的集合。然而,无限维空间上的算子在谱中可能有其他元素,并且可能没有特征值。例如,考虑希尔伯特空间ℓ2上的右移算子R,
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该算子没有特征值,因为如果Rx=λx,则通过展开表达式可以得到x1=0,x2=0……另一方面,0在谱中,因为算子R-0(即R自身)不可逆:因为第一项非零的任意向量不在它的值域中,所以它不是满射。事实上,复巴拿赫空间上的每个有界线性算子都必有非空谱。
谱的概念可以扩展到稠定无界算子。在这种情况下,复数λ被认为是在算子T:D→X(其中D在X中稠密)的谱中,如果没有有界逆(λI-T)−1:X→D。如果T是闭算子(包括T是有界算子的情形),逆的有界性可由逆的存在性直接得到。
巴拿赫空间X上的有界线性算子B(X)是有单位的巴拿赫代数的一个例子。由于除了任何这样的代数都具有的性质之外,谱的定义没有涉及B(X)的任何性质,所以谱的概念可以在此逐字地使用相同的定义推广。