谷山-志村定理
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谷山-志村定理(英语:Taniyama-Shimura theorem)建立椭圆曲线(代数几何的对象)和模形式(数论中用到的某种周期性全纯函数)之间的重要联系。
此条目已列出参考文献,但因为没有文内引注而使来源仍然不明。 (2018年1月29日) |
定理的证明由英国数学家安德鲁·怀尔斯(Andrew John Wiles)、理查·泰勒(Richard Taylor)、法国数学家克里斯托费尔·布勒伊(英语:Christophe Breuil)、美国数学家布莱恩·康莱德(英语:Brian Conrad)和佛瑞德·戴蒙德(英语:Fred Diamond)所完成。
若p是一个素数而E是一个Q(有理数域)上的一个椭圆曲线,我们可以简化定义E的方程模p;除了有限个p值,会得到有np个元素的有限域Fp上的一个椭圆曲线。然后考虑如下序列
- ap = np − p,
这是椭圆曲线E的重要的不变量。从傅里叶变换,每个模形式也会产生一个数列。一个其序列和从模形式得到的序列相同的椭圆曲线叫做模的。谷山-志村定理说:
- “所有Q上的椭圆曲线是模的。”
通俗而言,椭圆方程与模形式是一一对应的,每个椭圆方程都可以用模形式表达出来,而费马大定理和谷山-志村猜想是共存关系。如果费马大定理成立则谷山-志村猜想也成立,反之亦然。