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數學形式化集合的長度,面積或體積 来自维基百科,自由的百科全书
在測度論中,勒貝格測度(Lebesgue measure)是歐幾里得空間上的標準測度。對維數為1,2,3的情況,勒貝格測度就是通常的長度、面積、體積。它廣泛應用於實分析,特別是用於定義勒貝格積分。可以賦予勒貝格測度的集合稱為勒貝格可測集;勒貝格可測集 A 的測度記作 λ (A) 。一般來說,我們允許一個集合的勒貝格測度為 ∞ ,但是即使如此,在假設選擇公理成立時,Rn 仍有勒貝格不可測的子集。不可測集的「奇特」行為導致了巴拿赫-塔斯基悖論這樣的命題,它是選擇公理的一個結果。
勒貝格測度以法國數學家昂利·勒貝格命名。勒貝格於1901年首次提出這一測度,次年又給出勒貝格積分的定義,並收錄進他的學位論文中。
人們知道,區間的長度可以定義為端點值之差。若干個不交區間的並的長度應當是它們的長度之和。於是人們希望將長度的概念推廣到比區間更複雜的集合。
我們想構造一個映射 m ,它能將實數集的子集 E 映射到非負實數 m(E) ,並稱這個數為集合 E 的測度。最理想的情況下,m 應該具有以下性質:
遺憾的是,這樣的映射是不存在的。人們只能退而求其次,尋找滿足其中部分條件的映射。勒貝格測度是滿足後三條性質的例子。另一個例子是若爾當測度,它只滿足有限可加性。
區間的長度定義為。對,勒貝格外測度定義為
對每一列能覆蓋的開區間,作長度和。所有這些組成一個有下界的數集,下確界稱為勒貝格外測度,記做。
勒貝格測度定義在勒貝格σ代數上。若集合滿足:
則為勒貝格σ代數的元素,稱為勒貝格可測集。對勒貝格可測集,其勒貝格測度就定義為勒貝格外測度。
設集合 A 與 B 是在 Rn 上的集合。勒貝格測度有如下的性質:
簡要地說,的勒貝格可測子集組成一個包含所有區間的笛卡爾積的σ-代數,且 λ 是其上唯一的完備的、平移不變的、滿足 的測度。
勒貝格測度是σ-有限測度。
的子集 A 是零測集,如果對於任意,A 都可以用可數多個盒(即 n 個區間的乘積)來覆蓋,且其總體積最多為。所有可數集都是零測集。
如果的子集的豪斯多夫維數小於,那麼它是關於維勒貝格測度的零測集。在這裡,豪斯多夫維數是相對於上的歐幾里得度量(或任何與其利普希茨等價的度量)而言。另一方面,一個集合可能拓撲維數小於,但具有正的維勒貝格測度。一個這樣的例子是史密斯-沃爾泰拉-康托爾集,它的拓撲維數為0,但1維勒貝格測度為正數。
為了證明某個集合A是勒貝格可測的,我們通常嘗試尋找一個「較好」的集合B,與A 的對稱差是零測集,然後證明B可以用開集或閉集的可數交集和併集生成。
勒貝格測度的現代構造基於外測度[3],並應用卡拉西奧多里擴張定理。
固定中的盒子是形如的集合,其中,連乘號代表笛卡爾積。盒子的體積定義為
對於的任何子集A,可以定義它的外測度
然後定義集合A為勒貝格可測的,如果對於所有集合,都有:
這些勒貝格可測的集合形成了一個σ代數。對於任何勒貝格可測的集合A, 其勒貝格測度定義為
勒貝格不可測集合的存在性是選擇公理的結果。根據維塔利定理,存在實數R的一個勒貝格不可測的子集。如果A是的子集,且其測度為正,那麼A便有勒貝格不可測的子集。
1970年,Robert M. Solovay證明了,在不帶選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論中,勒貝格不可測集的存在性是不可證的(見Solovay模型)。
若 A 博雷爾可測,則其博雷爾測度與勒貝格測度一致;然而,更多的勒貝格可測集是博雷爾不可測的。博雷爾測度是平移不變的,但不是完備的。
哈爾測度可以定義在任何局部緊群上,是勒貝格測度的一個推廣(帶有加法的是一個局部緊群)。
豪斯多夫測度(參見豪斯多夫維數)是勒貝格測度的一個推廣,對於測量的維數比n低的子集是很有用的,例如R³上的曲線、曲面,以及分形集合。注意不能把豪斯多夫測度與豪斯多夫維數混淆。
可以證明,無法在無窮維空間上定義類似的勒貝格測度。
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