恆等式列表

畢達哥拉斯恆等式（英語：Pythagorean identity）的視覺證明

數學恆等式列表：

定義

恆等式（英語：Identity Equation）是指等式等號兩邊永遠相等的表達式。^[1]恆等式的等號可用恆等號（≡）表示。

乘法公式類

以下是常見的乘法公式：

1. 分配律：${\displaystyle (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\,\!}$
2. 和平方：${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,\!}$
   • 三項和平方：${\displaystyle (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca\,\!}$
3. 差平方：${\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,\!}$
   • 三數差平方：${\displaystyle (a-b-c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab+2bc-2ca\,\!}$
4. 平方和：${\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)\,\!}$
5. 平方差：${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\,\!}$
6. 和立方：${\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,\!}$
7. 差立方：${\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,\!}$
8. 立方和：${\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)^{3}-3ab(a+b)=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}$
9. 立方差：${\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)^{3}+3ab(a-b)=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,\!}$
10. 等冪求和：${\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)\,\!}$
11. 等冪和差：${\displaystyle a^{4}+a^{2}b^{2}+b^{4}=(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})\,\!}$
12. 平方和、平方差延伸：${\displaystyle a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2ab=(a-b)^{2}+2ab\,\!}$
13. 多項式平方：${\displaystyle (a+b+c+d)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd\,\!}$
14. 三數和立方：${\displaystyle (a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3(a+b)(b+c)(a+c)\,\!}$

著名等式

• 貝祖等式：雖然名稱有「等式」一詞，但這是最大公因數的定理，得名於法國數學家艾蒂安·貝祖。
• 二項式逆定理（英語：Binomial inverse theorem）：由伍德伯里矩陣恆等式（Woodbury matrix identity）衍生的定理。
• 二項式定理：說明了二項式的冪的代數展開的定理。
• 婆羅摩笈多-斐波那契恆等式：${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}\,\!}$
• 坎迪多等式（英語：Candido's identity）：${\displaystyle \left[x^{2}+y^{2}+(x+y)^{2}\right]^{2}=2[x^{4}+y^{4}+(x+y)^{4}]\,\!}$
• 歐拉四平方和恆等式：如果兩個數都能表示為四個平方數的和，則這兩個數的積也能表示為四個平方數的和。
• Degen八平方和恆等式（英語：Degen's eight-square identity）：如果兩個數都能表示為八個平方數的和，則這兩個數的積也能表示為八個平方數的和。
• 歐拉恆等式：${\displaystyle {{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0}$，包括虛數單位以及二個超越數的等式。
• 卡西尼及卡塔蘭恆等式（英語：Cassini and Catalan identities）：有關斐波那契數列的等式，${\displaystyle F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=(-1)^{n}.}$。
• 海涅恆等式（英語：Heine's identity）：有關平方根倒數函數的傅立葉展開的恆等式。
• 海曼恆等式（英語：Hermite's identity）：有關下取整函數（floor）求和的恆等式。
• 拉格朗日恆等式：${\displaystyle \|\mathbf {a} \|^{2}\ \|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a\cdot b} )^{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\ ,}$
• 三角恆等式：許多有關三角函數的恆等式。
• Enumerator polynomial（英語：Enumerator polynomial）
• Matrix determinant lemma（英語：Matrix determinant lemma）
• 牛頓恆等式：描述了冪和對稱多項式以及初等對稱多項式之間的關係
• 帕塞瓦爾恆等式：${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }|c_{n}|^{2}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }|f(x)|^{2}\,dx,}$，「函數的傅立葉係數的平方和」與「函數平方後的積分值」可以直接換算。
• Pfister's sixteen-square identity（英語：Pfister's sixteen-square identity）
• Sherman–Morrison formula（英語：Sherman–Morrison formula）
• Sophie Germain identity（英語：Sophie Germain identity）
• Sun's curious identity（英語：Sun's curious identity）
• Sylvester's determinant identity（英語：Sylvester's determinant identity）
• 范德蒙恆等式：${\displaystyle {\binom {n+m}{k}}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}}$，是有關組合數的求和公式。
• 伍德伯里矩陣恆等式（英語：Woodbury matrix identity）：$${\displaystyle \left(A+UCV\right)^{-1}=A^{-1}-A^{-1}U\left(C^{-1}+VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1},}$$

函數恆等式

• Exterior calculus identities（英語：Exterior calculus identities）
• 斐波那契數列和斐波那契數列
• Hypergeometric function identities（英語：Hypergeometric function identities）
• 對數函數積分表
• List of topics related to π（英語：List of topics related to π）
• List of trigonometric identities
  • 反三角函數
• 對數恆等式
• 求和符號
• 向量恆等式列表

參見

• 數學主題列表（英語：Lists of mathematics topics）
• 不等式列表
• 集合和關係列表（英語：List of set identities and relations）