嵌入 (數學)

數學上，嵌入是指一個數學結構經映射包含到另一個結構中。某個物件 ${\displaystyle X}$ 稱為嵌入到另一個物件 ${\displaystyle Y}$ 中，是指有一個保持結構的單射${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$，這個映射 ${\displaystyle f}$ 就給出了一個嵌入。上述「保持結構」的準確意思，需由所討論的結構而定。一個保持結構的映射，在範疇論中稱為態射。

要表達 ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ 是一個嵌入，有時會使用帶鉤箭號 ${\displaystyle f\colon X\hookrightarrow Y}$。但這個帶鉤箭號有時只留作表示包含映射時用。

拓撲與幾何

點集拓撲

拓撲學上，一個嵌入是一個單射，使得拓撲空間到其像上為同胚。換言之，兩個拓撲空間 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$之間的一個連續單射 ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ 是一個拓撲嵌入，如果 ${\displaystyle f}$ 給出 ${\displaystyle X}$ 與 ${\displaystyle f(X)}$ 間的同胚（空間 ${\displaystyle f(X)}$ 上的拓撲是由 ${\displaystyle Y}$ 誘導的子空間拓撲。）凡是連續單射的開映射或閉映射都是拓撲嵌入，不過一個嵌入也可能既非開映射也非閉映射：當其像 ${\displaystyle f(X)}$ 不是 ${\displaystyle Y}$ 中的開集或閉集時，便發生這種情況。

微分拓撲

在微分拓撲中，令 ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle N}$為光滑流形，而 ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ 為光滑映射。則如果f的微分處處皆為單射，則稱 ${\displaystyle f}$ 為一個浸入。此時的嵌入定義為一個符合拓撲嵌入定義的單射浸入，又稱為光滑嵌入。換言之，嵌入是微分同胚於其像，所以嵌入的像必是子流形。浸入是一個局部嵌入，即在每點${\displaystyle x\in M}$，都有鄰域${\displaystyle U\ni x}$，使得限制到這鄰域上的${\displaystyle f|_{U}\colon U\to N}$是嵌入。如果${\displaystyle M}$ 是緊緻流形，則M的浸入必是嵌入。

光滑嵌入的一個重要情形是在 ${\displaystyle N}$ 為${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$時。這情形引起興趣之處，在於對任何 ${\displaystyle m}$ 維流形 ${\displaystyle M}$，${\displaystyle n}$ 需多大才保證有從 ${\displaystyle M}$ 到${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$的光滑嵌入。惠特尼嵌入定理指 ${\displaystyle n=2m}$ 便足夠，而且是最好的上界。例如嵌入一個 ${\displaystyle m}$ 維的實射影平面便需要 ${\displaystyle n=2m}$。

如果將光滑嵌入的定義中，${\displaystyle f}$ 為光滑映射的條件放寬為 ${\displaystyle C^{k}}$映射，其中 ${\displaystyle k}$ 是正整數，而其餘條件不變，則${\displaystyle f}$ 稱為 ${\displaystyle C^{k}}$ 嵌入。

黎曼幾何

在黎曼幾何中，設${\displaystyle (M,g)}$, ${\displaystyle (N,h)}$是黎曼流形，一個等距嵌入是一個光滑嵌入 ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$，令黎曼度量保持不變，即將 ${\displaystyle h}$ 由 ${\displaystyle f}$ 拉回等於 ${\displaystyle g}$，就是 ${\displaystyle g=f^{*}(h)}$。更明確言之，對 ${\displaystyle M}$ 中任何一點${\displaystyle x}$，及任何兩個切向量

${\displaystyle v,w\in T_{x}(M)}$

都有

${\displaystyle g(v,w)=h(df(v),df(w)).}$

度量空間

設${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$為度量空間，映射${\displaystyle f\colon X\to Y}$是一個拓撲嵌入。如果 ${\displaystyle f}$ 和${\displaystyle f^{-1}}$（定義在 ${\displaystyle f(X)}$ 上）都是利普希茨連續，則稱 ${\displaystyle f}$ 為雙利普希茨嵌入(bi-Lipschitz embedding)。換言之，如果存在常數${\displaystyle L\geq 1}$，使得

${\displaystyle {\frac {1}{L}}\ d_{X}(x,y)\leq d_{Y}(f(x),f(y))\leq L\ d_{X}(x,y)}$，

則稱 ${\displaystyle f}$ 為(${\displaystyle L}$-)雙利普希茨嵌入。

一個更廣義的嵌入是擬對稱嵌入(quasisymmetric embedding)。如前設 ${\displaystyle f}$ 為拓撲嵌入。${\displaystyle f}$ 稱為(${\displaystyle \eta }$-)擬對稱嵌入，如果存在同胚 ${\displaystyle \eta \colon [0,\infty )\to [0,\infty )}$（即 ${\displaystyle \eta (0)=0}$ 且 ${\displaystyle \eta }$ 為嚴格遞增的連續函數），使得 ${\displaystyle X}$ 中任何三點 ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$若滿足

${\displaystyle d_{X}(x,a)\leq t\ d_{X}(x,b)}$，

其中 ${\displaystyle t>0}$，則有

${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(a))\leq \eta (t)\ d_{Y}(f(x),f(b)).}$

若 ${\displaystyle f}$ 是一個 ${\displaystyle L}$-雙利普希茨嵌入，可令 ${\displaystyle \eta (t)=L^{2}t}$，則 ${\displaystyle f}$ 是 ${\displaystyle \eta }$-擬對稱嵌入。

雙利普希茨嵌入的一個相關概念是擬等距嵌入。擬等距嵌入雖名為嵌入，卻不一定是嵌入，因其未必是單射。

代數

域論

域論上，從一個域 ${\displaystyle E}$ 到另一個域 ${\displaystyle F}$ 中的一個嵌入，是一個環同態 ${\displaystyle \sigma :E\rightarrow F}$。因為環同態的核是一個理想，而域的理想只有0及整個域本身，又 ${\displaystyle \sigma (1)=1}$，故其核不能為整個域，即知核為0。因此這個環同態必定是單態射，而 ${\displaystyle E}$ 和在 ${\displaystyle F}$ 中的 ${\displaystyle \sigma (E)}$ 同構。所以可稱兩個域之間的任何同態為嵌入。

序理論

關於序理論中的嵌入，可參見序嵌入。

參考

• Sharpe, R.W., Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer-Verlag, New York, 1997, ISBN 0-387-94732-9.
• Warner, F.W., Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer-Verlag, New York, 1983, ISBN 0-387-90894-3.
• Heinonen, Juha, Lecture on Analysis on Metric Spaces, Springer-Verlag, New York, 2001, ISBN 0-387-95104-0.