例如,若
,則f只有在
這一點上取最大值1。因此

算子與
不同,給定相同的函數時,後者返回函數極大值,而不是使函數取得極大值的點。也就是說
is the element in 
max可以是空集(這時極大值未定義),這與
相同;不同的是
可能不含多個元素。[note 2]例如,取
則
但
因為函數在
的每個元素上都取相同的值。
等價地,若M是f的極大值,則
是極大值的水平集:

可以將其重排,得到簡單的等式[note 3]

若極大值點只有一個,那麼
應被視為一個點,而非點集。例如

(而非單元集
),因為
的極大值25僅在
時取到。[note 4]而若在多個點上都取得極大值,
就應被視為點集。例如
![{\displaystyle {\underset {x\in [0,4\pi ]}{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8cc9d87b3c9d58f0f7223a632e5521facff5b34)
因為maximum value of
的極大值1在
時取到。在整條實數線上
因此是無限集。
函數不必達到極大值,因此
有時是空集。例如
,因為
在實數線上無界。再舉個例子,
,雖然
有界(
),但由極值定理,閉區間上的連續實值函數必有極大值,因此有非空的
。