極值點

數學中，極值點（arguments of the maxima/minima，分別縮寫為arg max/arg min或argmax/argmin）是使函數輸出值取得極值的輸入點。^{[note 1]}函數的自變量在定義域上，因變量則在到達域上。

舉例來說，上述未歸一化和歸一化的sinc函數的${\displaystyle \operatorname {argmax} }$都是{0}，因為兩者都在${\displaystyle x=0}$時取得全局最大值1.

未歸一化sinc函數（紅）的arg min 約為{-4.49, 4.49}，因為在${\displaystyle x=\pm 4.49}$處有兩個全局最小值，約為-0.217。歸一化sinc函數（藍）的arg min約為{−1.43, 1.43}，因為它們的全局最小值在${\displaystyle x=\pm 1.43}$處，儘管最小值相同。^[1]

定義

給定任意集合X、全序集Y與函數${\displaystyle f\colon X\to Y}$，則某子集${\displaystyle S\subseteq X}$上的${\displaystyle \operatorname {argmax} }$定義為

${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:={\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\leq f(x),\ \forall s\in S\}.}$

若${\displaystyle S=X}$或S在語境中明確，則通常省略S，如${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x~:~f(s)\leq f(x),\ \forall s\in X\}.}$也就是說，${\displaystyle \operatorname {argmax} }$是點x的集合，使${\displaystyle f(x)}$到達函數最大值（若存在）。${\displaystyle \operatorname {Argmax} }$可以是空集、單元集，或包含多個元素。

在凸分析與變分分析中，${\displaystyle Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$（是廣義實數）的情形時的定義略有不同。^[2]這時，若f等同於S上的${\displaystyle \infty }$，則${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:=\varnothing }$（即${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}\infty :=\varnothing }$），否則${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f}$定義如上，這時${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f}$也可以寫成

${\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\sup {}_{S}f\right\}}$

這裡要強調的是，這個涉及${\displaystyle \sup {}_{S}f}$的等式只有當f在S上不等同於${\displaystyle \infty }$時才成立。^[2]

Arg min

${\displaystyle \operatorname {argmin} }$（或${\displaystyle \operatorname {arg\,min} }$）表示極小值點，定義與之類似。例如

${\displaystyle {\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,min} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\geq f(x){\text{ for all }}s\in S\}}$

是使函數值${\displaystyle f(x)}$取得極小值的點x。它是${\displaystyle \operatorname {arg\,max} }$的補算子。

在${\displaystyle Y=[-\infty ,\infty ]=\mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$（是廣義實數）的情形時，若f在S上等同於${\displaystyle -\infty }$，則${\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}f:=\varnothing }$（即${\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}-\infty :=\varnothing }$），否則${\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}f}$定義如上，這時它也滿足

${\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\inf {}_{S}f\right\}.}$^[2]

例子與性質

例如，若${\displaystyle f(x)=1-|x|}$，則f只有在${\displaystyle x=0}$這一點上取最大值1。因此

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,(1-|x|)=\{0\}.}$

${\displaystyle \operatorname {argmax} }$算子與${\displaystyle \max }$不同，給定相同的函數時，後者返回函數極大值，而不是使函數取得極大值的點。也就是說

${\displaystyle \max _{x}f(x)}$ is the element in ${\displaystyle \{f(x)~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in S\}.}$

max可以是空集（這時極大值未定義），這與${\displaystyle \operatorname {argmax} }$相同；不同的是${\displaystyle \operatorname {max} }$可能不含多個元素。^{[note 2]}例如，取${\displaystyle f(x)=4x^{2}-x^{4},}$則${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\left\{-{\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\right\},}$但${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {max} }}\,\left(4x^{2}-x^{4}\right)=\{4\}}$因為函數在${\displaystyle \operatorname {argmax} }$的每個元素上都取相同的值。

等價地，若M是f的極大值，則${\displaystyle \operatorname {argmax} }$是極大值的水平集：

${\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)=\{x~:~f(x)=M\}=:f^{-1}(M).}$

可以將其重排，得到簡單的等式^{[note 3]}

${\displaystyle f\left({\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)\right)=\max _{x}f(x).}$

若極大值點只有一個，那麼${\displaystyle \operatorname {argmax} }$應被視為一個點，而非點集。例如

${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,(x(10-x))=5}$

（而非單元集${\displaystyle \{5\}}$），因為${\displaystyle x(10-x)}$的極大值25僅在${\displaystyle x=5}$時取到。^{[note 4]}而若在多個點上都取得極大值，${\displaystyle \operatorname {argmax} }$就應被視為點集。例如

${\displaystyle {\underset {x\in [0,4\pi ]}{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \}}$

因為maximum value of ${\displaystyle \cos x}$的極大值1在${\displaystyle x=0,2\pi ,\ 4\pi }$時取到。在整條實數線上

${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\left\{2k\pi ~:~k\in \mathbb {Z} \right\},}$因此是無限集。

函數不必達到極大值，因此${\displaystyle \operatorname {argmax} }$有時是空集。例如${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,x^{3}=\varnothing }$，因為${\displaystyle x^{3}}$在實數線上無界。再舉個例子，${\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,\arctan(x)=\varnothing }$，雖然${\displaystyle \arctan }$有界（${\displaystyle \pm \pi /2}$），但由極值定理，閉區間上的連續實值函數必有極大值，因此有非空的${\displaystyle \operatorname {argmax} }$。

另見

• 函數的自變量
• 極值
• 眾數 (數學)
• 最優化
• 核 (線性算子)