正交座標系

在數學裏，一個正交坐標系定義為一組正交坐標${\displaystyle \mathbf {q} =(q_{1},\ q_{2},\ q_{3},\ \dots \ q_{n})}$，其坐標曲面都以直角相交（注意：很多作者採用愛因斯坦記號對坐標標號使用上標並非表示指數）。坐標曲面定義為特定坐標${\displaystyle q_{i}}$的等值曲面，即${\displaystyle q_{i}}$為常數的曲線、曲面或超曲面。例如，三維直角坐標${\displaystyle (x,\ y,\ z)}$是一種正交坐標系，它的${\displaystyle x}$為常數，${\displaystyle y}$為常數，${\displaystyle z}$為常數的坐標曲面，都是互相以直角相交的平面，都互相垂直。正交坐標系是曲線坐標系的特殊的但極其常見的形式。

動機

正交座標時常用來解析一些出現於量子力學、流體動力學、電動力學、熱力學等等的偏微分方程式。舉例而言，選擇一個恰當的的正交座標來解析氫離子${\displaystyle H_{2}\,^{-}}$的波函數或消防水管的噴水，也許會比用直角座標方便的多。這主要是因為恰當的正交座標能夠與一個問題的對稱性相配合，從而促使應用分離變數法來成功的解析關於這問題的方程式。分離變數法是一種數學技巧，專門用來將一個複雜的${\displaystyle n}$維問題變為${\displaystyle n}$個一維問題。很多問題都可以簡化為拉普拉斯方程式或亥姆霍茲方程式，這些方程式可以用很多種正交座標來分離。拉普拉斯方程式可以在13個正交坐標系中分離（本文列出的14個中圓環坐標系除外），而亥姆霍茲方程式可以在11個正交坐標系中分離^[1][2]。

概述

共形映射作用於矩形網格。注意，彎曲的網格的正交性被保留。

正交坐標的度規張量絕對沒有非對角項目。換句話說，無窮小距離的平方${\displaystyle ds^{2}}$，可以寫為無窮小坐標位移的平方和：

${\displaystyle ds^{2}=\sum _{i=1}^{n}\left(h_{i}dq_{i}\right)^{2}}$；

其中，${\displaystyle n}$是維數，標度因子${\displaystyle h_{i}}$是度規張量的對角元素${\displaystyle g_{ii}}$的平方根：

${\displaystyle h_{i}(\mathbf {q} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {g_{ii}(\mathbf {q} )}}}$。

這些標度因子可以用來計算一個正交坐標系的微分算子。例如，梯度、拉普拉斯算子、散度、或旋度。

在數學裏，存在有各種各樣的正交座標系。應用二維直角座標系${\displaystyle (x,\ y)}$的共形映射方法，可以簡易的生成這些正交座標系。一個複數${\displaystyle z=x+iy}$的任何全純函數${\displaystyle w=f(z)}$，其複值的導數，如果不等於零，則會造成一個共形映射。如果答案可以表達為${\displaystyle w=u+iv}$，則${\displaystyle u}$與${\displaystyle v}$的等值曲線以直角相交，就如同原本的${\displaystyle x}$與${\displaystyle y}$的等值曲線以直角相交。

三維與更高維的正交座標系可以由一個二維正交座標系生成，只要將二維正交座標往一個新的座標軸投射（形成類似圓柱座標系的座標系），或者將二維正交座標繞著其對稱軸旋轉。可是，也有一些三維正交座標系，例如橢球座標系，則不能夠用上述方法得到。更一般的正交坐標可以從一些必要的坐標曲面/曲線起步並通過考慮它們的正交軌跡線（英語：Orthogonal trajectory）而得到。

向量代數

在正交坐標系裏，內積的公式仍舊不變：

${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\sum _{i=1}^{n}A_{i}B_{i}}$。

向量微積分

從前面的距離公式，可以觀察出，一個正交坐標${\displaystyle q_{i}}$的無窮小改變${\displaystyle dq_{i}}$，其相伴的長度是${\displaystyle ds_{i}=h_{i}dq_{i}}$。因此，一個位移向量的全微分${\displaystyle d\mathbf {r} }$等於

${\displaystyle d\mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}h_{i}dq_{i}\mathbf {e} _{i}}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$是垂直於${\displaystyle q_{i}}$等值曲面的單位向量，指向著${\displaystyle q_{i}}$增值最快的方向，這些單位向量形成了一個局部直角坐標系的坐標軸。

因此，向量${\displaystyle \mathbf {F} }$沿著周線${\displaystyle \mathbb {C} }$的線積分等於

${\displaystyle \int _{\mathbb {C} }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}\int _{\mathbb {C} }F_{i}h_{i}dq_{i}}$；

其中，${\displaystyle F_{i}}$是向量${\displaystyle \mathbf {F} }$在單位向量${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$方向的分量：

${\displaystyle F_{i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {F} }$。

類似地，一個無窮小面積元素是

${\displaystyle dA=ds_{i}ds_{j}=h_{i}h_{j}dq_{i}dq_{j},\qquad i\neq j}$，

一個無窮小體積元素是

${\displaystyle dV=ds_{i}ds_{j}ds_{k}=h_{i}h_{j}h_{k}dq_{i}dq_{j}dq_{k},\qquad i\neq j\neq k}$。

例如，向量${\displaystyle \mathbf {F} }$對於一個曲面${\displaystyle \mathbb {S} }$的曲面積分是

${\displaystyle \int _{\mathbb {S} }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {A} =\int _{\mathbb {S} }F_{1}h_{2}h_{3}dq_{2}dq_{3}+\int _{\mathbb {S} }F_{2}h_{3}h_{1}dq_{3}dq_{1}+\int _{\mathbb {S} }F_{3}h_{1}h_{2}dq_{1}dq_{2}}$。

球坐標系實例

直角坐標${\displaystyle (x,\ y,\ z)}$與球坐標${\displaystyle (r,\ \theta ,\phi )}$的變換方程式為

${\displaystyle x=r\sin \theta \cos \phi }$、

${\displaystyle y=r\sin \theta \sin \phi }$、

${\displaystyle z=r\cos \theta }$。

直角坐標的全微分是

${\displaystyle dx=\sin \theta \cos \phi dr+r\cos \theta \cos \phi d\theta -r\sin \theta \sin \phi d\phi }$、

${\displaystyle dy=\sin \theta \sin \phi dr+r\cos \theta \sin \phi d\theta +r\sin \theta \cos \phi d\phi }$、

${\displaystyle dz=\cos \theta dr-r\sin \theta d\theta }$。

所以，無窮小距離的平方是

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}\\&=dr^{2}+(rd\theta )^{2}+(r\sin \theta d\phi )^{2}\\\end{aligned}}}$ 。

標度因子是

${\displaystyle h_{r}=1}$、

${\displaystyle h_{\theta }=r}$、

${\displaystyle h_{\phi }=r\sin \theta }$。

向量${\displaystyle \mathbf {F} }$沿著周線${\displaystyle \mathbb {C} }$的線積分等於

${\displaystyle \int _{\mathbb {C} }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathbb {C} }F_{r}\ dr+F_{\theta }\ rd\theta +F_{\phi }\ r\sin \theta d\phi }$。

向量${\displaystyle \mathbf {F} }$對於一個曲面${\displaystyle \mathbb {S} }$的曲面積分是

${\displaystyle \int _{\mathbb {S} }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {A} =\int _{\mathbb {S} }F_{r}\ r^{2}\sin \theta d\theta d\phi +\int _{\mathbb {S} }F_{\theta }\ r\sin \theta drd\phi +\int _{\mathbb {S} }F_{\phi }\ rdrd\theta }$。

三維微分算子

主條目：向量分析和Nabla算子

算子	正交坐標公式
純量場的梯度	${\displaystyle \nabla \Phi ={\hat {\mathbf {e} }}_{1}{\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{1}}}+{\hat {\mathbf {e} }}_{2}{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{2}}}+{\hat {\mathbf {e} }}_{3}{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{3}}}}$
向量場的散度	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(F_{1}h_{2}h_{3})+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(F_{2}h_{3}h_{1})+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(F_{3}h_{1}h_{2})\right]}$
向量場的旋度	${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} &={\frac {\mathbf {e} _{1}}{h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left(h_{3}F_{3}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left(h_{2}F_{2}\right)\right]+{\frac {\mathbf {e} _{2}}{h_{3}h_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left(h_{1}F_{1}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left(h_{3}F_{3}\right)\right]\\&+{\frac {\mathbf {e} _{3}}{h_{1}h_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left(h_{2}F_{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left(h_{1}F_{1}\right)\right]\\\end{aligned}}}$
純量場的拉普拉斯算子	${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left({\frac {h_{3}h_{1}}{h_{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{3}}}\right)\right]}$

上面表達式可以使用列維-奇維塔符號${\displaystyle \epsilon }$的更簡潔形式書寫，定義${\displaystyle H=h_{1}h_{2}h_{3}}$，並使用愛因斯坦記號，即在同時出現上標和下標的項目上求此項所有可能的總和:

算子	表達式
純量場的梯度	${\displaystyle \nabla \phi ={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{k}}{h_{k}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{k}}}}$
向量場的散度	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{H}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\left({\frac {H}{h_{k}}}F_{k}\right)}$
向量場（只3D）的旋度	${\displaystyle \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)_{k}={\frac {h_{k}{\hat {\mathbf {e} }}_{k}}{H}}\epsilon _{ijk}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left(h_{j}F_{j}\right)}$
純量場的拉普拉斯算子	${\displaystyle \nabla ^{2}\phi ={\frac {1}{H}}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\left({\frac {H}{h_{k}^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q^{k}}}\right)}$

二維正交坐標系表格

坐標系	複數轉換 ${\displaystyle x+iy=f(u+iv)}$	${\displaystyle u}$和${\displaystyle v}$等值線的形狀	注釋
直角	${\displaystyle u+iv}$	直線, 直線
對數極（英語：Log-polar coordinates）	${\displaystyle \exp(u+iv)}$	圓, 直線	若${\displaystyle u=\ln r}$則為極坐標系
拋物線	${\displaystyle {\frac {1}{2}}(u+iv)^{2}}$	拋物線, 拋物線
點偶極	${\displaystyle (u+iv)^{-1}}$	圓, 圓
橢圓	${\displaystyle \cosh(u+iv)}$	橢圓, 雙曲線	對於大距離看似對數極
雙極	${\displaystyle \coth(u+iv)}$	圓, 圓	對於大距離看似點偶極
	${\displaystyle {\sqrt {u+iv}}}$	雙曲線, 雙曲線
	${\displaystyle u=x^{2}+2y^{2},\ y=vx^{2}}$	橢圓, 拋物線

直角

單極

對數極

橢圓-拋物線

拋物線

點偶極

sqrt(u+iv)

橢圓

雙極

反對數極

三維正交坐標系表格

除了直角坐標系之外，下表列出其他常見的正交坐標系^[3]，為了簡明性在坐標列中使用了區間符號。

曲線坐標 (q1, q2, q3)	從直角坐標(x, y, z)轉換	縮放因子
球極坐標系 ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\sin \theta \cos \phi \\y&=r\sin \theta \sin \phi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=1\\h_{2}&=r\\h_{3}&=r\sin \theta \end{aligned}}}$
圓柱坐標系 ${\displaystyle (\rho ,\phi ,z)\in [0,\infty )\times [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \cos \phi \\y&=\rho \sin \phi \\z&=z\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{3}=1\\h_{2}&=\rho \end{aligned}}}$
拋物柱面坐標系 ${\displaystyle (u,v,z)\in (-\infty ,\infty )\times [0,\infty )\times (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1}{2}}(u^{2}-v^{2})\\y&=uv\\z&=z\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}}$
拋物線坐標系 ${\displaystyle (u,v,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\infty )\times [0,2\pi )}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x&=uv\cos \phi \\y&=uv\sin \phi \\z&={\frac {1}{2}}(u^{2}-v^{2})\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\\h_{3}&=uv\end{aligned}}}$
橢圓柱坐標系 ${\displaystyle (u,v,z)\in [0,\infty )\times [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cosh u\cos v\\y&=a\sinh u\sin v\\z&=z\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}u+\sin ^{2}v}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}}$
長球面坐標系 ${\displaystyle (\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times [0,\pi ]\times [0,2\pi )}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sinh \xi \sin \eta \cos \phi \\y&=a\sinh \xi \sin \eta \sin \phi \\z&=a\cosh \xi \cos \eta \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}\xi +\sin ^{2}\eta }}\\h_{3}&=a\sinh \xi \sin \eta \end{aligned}}}$
扁球面坐標系 ${\displaystyle (\xi ,\eta ,\phi )\in [0,\infty )\times \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]\times [0,2\pi )}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cosh \xi \cos \eta \cos \phi \\y&=a\cosh \xi \cos \eta \sin \phi \\z&=a\sinh \xi \sin \eta \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}=a{\sqrt {\sinh ^{2}\xi +\sin ^{2}\eta }}\\h_{3}&=a\cosh \xi \cos \eta \end{aligned}}}$
雙極圓柱坐標系 ${\displaystyle (u,v,z)\in [0,2\pi )\times (-\infty ,\infty )\times (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\\z&=z\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&=1\end{aligned}}}$
圓環坐標系 ${\displaystyle (u,v,\phi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\infty )\times [0,2\pi )}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {a\sinh v\cos \phi }{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sinh v\sin \phi }{\cosh v-\cos u}}\\z&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}}$
雙球坐標系 ${\displaystyle (u,v,\phi )\in (-\pi ,\pi ]\times [0,\infty )\times [0,2\pi )}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {a\sin u\cos \phi }{\cosh v-\cos u}}\\y&={\frac {a\sin u\sin \phi }{\cosh v-\cos u}}\\z&={\frac {a\sinh v}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=h_{2}={\frac {a}{\cosh v-\cos u}}\\h_{3}&={\frac {a\sin u}{\cosh v-\cos u}}\end{aligned}}}$
圓錐坐標系 ${\displaystyle {\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\\&\nu ^{2}<b^{2}<\mu ^{2}<a^{2}\\&\lambda \in [0,\infty )\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {\lambda \mu \nu }{ab}}\\y&={\frac {\lambda }{a}}{\sqrt {\frac {(\mu ^{2}-a^{2})(\nu ^{2}-a^{2})}{a^{2}-b^{2}}}}\\z&={\frac {\lambda }{b}}{\sqrt {\frac {(\mu ^{2}-b^{2})(\nu ^{2}-b^{2})}{a^{2}-b^{2}}}}\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=1\\h_{2}^{2}&={\frac {\lambda ^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}{(\mu ^{2}-a^{2})(b^{2}-\mu ^{2})}}\\h_{3}^{2}&={\frac {\lambda ^{2}(\mu ^{2}-\nu ^{2})}{(\nu ^{2}-a^{2})(\nu ^{2}-b^{2})}}\end{aligned}}}$
拋物面坐標系 ${\displaystyle {\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\\&\lambda <b^{2}<\mu <a^{2}<\nu \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{q_{i}-a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{q_{i}-b^{2}}}=2z+q_{i}}$ 其中 ${\displaystyle (q_{1},q_{2},q_{3})=(\lambda ,\mu ,\nu )}$	${\displaystyle h_{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(q_{j}-q_{i})(q_{k}-q_{i})}{(a^{2}-q_{i})(b^{2}-q_{i})}}}}$
橢球坐標系 ${\displaystyle {\begin{aligned}&(\lambda ,\mu ,\nu )\\&\lambda <c^{2}<b^{2}<a^{2},\\&c^{2}<\mu <b^{2}<a^{2},\\&c^{2}<b^{2}<\nu <a^{2},\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}-q_{i}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}-q_{i}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}-q_{i}}}=1}$ 其中 ${\displaystyle (q_{1},q_{2},q_{3})=(\lambda ,\mu ,\nu )}$	${\displaystyle h_{i}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {(q_{j}-q_{i})(q_{k}-q_{i})}{(a^{2}-q_{i})(b^{2}-q_{i})(c^{2}-q_{i})}}}}$

微分算子導引

梯度導引

一個函數${\displaystyle \phi }$的梯度朝某個方向${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$的分量，等於方向導數 ${\displaystyle {\frac {d\phi }{ds}}}$朝${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$方向的值：

${\displaystyle \nabla \Phi \cdot {\hat {\mathbf {n} }}={\frac {d\phi }{ds}}}$；

其中，${\displaystyle ds}$是朝${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$方向的無窮小位移。

假若，這${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$與正交坐標軸${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$同方向。那麼，${\displaystyle ds=h_{i}dq_{i}}$。所以，函數${\displaystyle \phi }$的梯度朝${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$的分量是${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{h_{i}\partial q_{i}}}}$；也就是說，

${\displaystyle \nabla \Phi ={\hat {\mathbf {e} }}_{1}{\frac {1}{h_{1}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{1}}}+{\hat {\mathbf {e} }}_{2}{\frac {1}{h_{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{2}}}+{\hat {\mathbf {e} }}_{3}{\frac {1}{h_{3}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{3}}}}$。

散度導引

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =\nabla \cdot ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1}+{\hat {\mathbf {e} }}_{2}F_{2}+{\hat {\mathbf {e} }}_{3}F_{3})}$。

取右手邊第一個項目，

${\displaystyle \nabla \cdot ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1})=\nabla \cdot \left[\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\right)\left(h_{2}h_{3}F_{1}\right)\right]}$。

應用向量恆等式${\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {A} \phi )=\phi \nabla \cdot \mathbf {A} +\mathbf {A} \cdot (\nabla \phi )}$與${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \phi _{1}\times \nabla \phi _{2})=0}$，可以得到

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1})&=(h_{2}h_{3}F_{1})\nabla \cdot \left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\right)+\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\right)\cdot \nabla (h_{2}h_{3}F_{1})\\&=(h_{2}h_{3}F_{1})\nabla \cdot [(\nabla q_{2})\times \nabla (q_{3})]+\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\right)\cdot \nabla (h_{2}h_{3}F_{1})\\&=\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{2}h_{3}}}\right)\cdot \nabla (h_{2}h_{3}F_{1})\\&={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(F_{1}h_{2}h_{3})\\\end{aligned}}}$ 。

總合所有項目，

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(F_{1}h_{2}h_{3})+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(F_{2}h_{3}h_{1})+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(F_{3}h_{1}h_{2})\right]}$。

旋度導引

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\nabla \times ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1}+{\hat {\mathbf {e} }}_{2}F_{2}+{\hat {\mathbf {e} }}_{3}F_{3})}$。

取右手邊第一個項目，

${\displaystyle \nabla \times ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1})=\nabla \times \left[\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{1}}}\right)\left(h_{1}F_{1}\right)\right]}$。

應用向量恆等式${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {A} \phi )=\phi \nabla \times \mathbf {A} -\mathbf {A} \times (\nabla \phi )}$，

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1})&=(h_{1}F_{1})\nabla \times \left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{1}}}\right)-\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{1}}}\right)\times \nabla (h_{1}F_{1})\\&=(h_{1}F_{1})\nabla \times (\nabla q_{1})-\left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{1}}{h_{1}}}\right)\times \left({\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{2}}{h_{2}}}{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(h_{1}F_{1})+{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}{h_{3}}}{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(h_{1}F_{1})\right)\\\end{aligned}}}$。

應用向量恆等式${\displaystyle \nabla \times (\nabla \phi )=0}$，

${\displaystyle \nabla \times ({\hat {\mathbf {e} }}_{1}F_{1})={\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{2}}{h_{1}h_{3}}}{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(h_{1}F_{1})-{\frac {{\hat {\mathbf {e} }}_{3}}{h_{1}h_{2}}}{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(h_{1}F_{1})}$。

總合所有項目，

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {F} &={\frac {\mathbf {e} _{1}}{h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left(h_{3}F_{3}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left(h_{2}F_{2}\right)\right]+{\frac {\mathbf {e} _{2}}{h_{3}h_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left(h_{1}F_{1}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left(h_{3}F_{3}\right)\right]\\&+{\frac {\mathbf {e} _{3}}{h_{1}h_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left(h_{2}F_{2}\right)-{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left(h_{1}F_{1}\right)\right]\\\end{aligned}}}$ 。

拉普拉斯算子

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}\left({\frac {h_{2}h_{3}}{h_{1}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}\left({\frac {h_{3}h_{1}}{h_{2}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}\left({\frac {h_{1}h_{2}}{h_{3}}}{\frac {\partial \Phi }{\partial q_{3}}}\right)\right]}$。