羊角螺線

羊角螺線（clothoid），又稱歐拉螺線（Euler spiral），是形式為

${\displaystyle x=C(t)}$

${\displaystyle y=S(t)}$

雙頭歐拉螺線

羊角螺線

的曲線，其中${\displaystyle C(t)}$、${\displaystyle S(t)}$為 Fresnel積分：

${\displaystyle S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}},}$

${\displaystyle C(x)=\int _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}}.}$

上面參數方程的參數${\displaystyle t}$，也是螺線於該點的曲率：${\displaystyle \kappa (t)=2t}$。

兩個螺線的中心位於${\displaystyle \pm ({\frac {\sqrt {2\pi }}{4}},{\frac {\sqrt {2\pi }}{4}})}$

由於此螺線的曲率與長度成正比，故常用於公路工程或鐵路工程，以緩和直路線與圓曲路線之間的曲率變化（向心力變化）。

在光學上，近場繞射（Fresnel繞射）中會應用Fresnel積分。

性質

• ${\displaystyle C(x)}$和${\displaystyle S(x)}$是${\displaystyle x}$的奇函數。

• ${\displaystyle C}$和${\displaystyle S}$是整函數。

• 利用以上的冪級數展開式，可以把Fresnel積分擴展到複數範圍，它是解析函數。Fresnel積分可以用誤差函數來表示：

${\displaystyle S(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {i}}\,x)+{\sqrt {-i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)}$

${\displaystyle C(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {-i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {i}}\,x)+{\sqrt {i}}\,\operatorname {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)}$.

• ${\displaystyle C(x)}$和${\displaystyle S(x)}$所定義的積分不能表示為初等函數。當${\displaystyle x}$趨於無窮大時，函數的值為：

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\cos t^{2}\,dt=\int _{0}^{\infty }\sin t^{2}\,dt={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}.}$

參見

• 雙曲螺線
• 圓內螺線
• 等角螺線
• 費馬螺線
• 連鎖螺線
• 阿基米德螺線