費希爾方程

提示：此條目的主題不是金融數學中的費雪方程式。

在數學中， 費希爾方程（Fisher equation），是由生物學家羅納德·艾爾默·費希爾於1936年為了研究人群中某基因的傳播，以及邏輯型的生長-擴散現象而引入的一個非線性偏微分方程。此方程可以描述一些在生物學和化學系統中出現的波的傳播現象，例如燃燒、擴散和傳質、非線性擴散、生態學以及反應爐中的中子數量等等^[1]。費希爾方程可寫成以下形式:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=au(1-u)}$ ^[1][2][3]。

費希爾方程是費希爾-柯爾莫哥洛夫方程的一種特例。^[4]

解析解

費希爾方程的行波解（traveling-wave solution）為：

${\displaystyle w(x,t)=\pm \xi ^{2}\varphi (\xi )}$ 且 ${\displaystyle \xi =C_{1}exp({\frac {1}{6}}{\sqrt {6a}}x+{\frac {5}{6}}at)}$

其中，${\displaystyle \varphi (\xi )}$ 通過隱函數定義為：

${\displaystyle \xi =\int {\frac {\mathrm {d} \varphi }{\sqrt {\pm (4\varphi ^{3}-1)}}}-C_{2}}$

C₁ 和 C₂ 為任意的常數。上述定義的反函數對應著魏爾斯特拉斯橢圓函數，即

${\displaystyle \varphi (\xi )=\wp (\xi +C_{3},0,1)}$ ^[2]

行波圖

費希爾方程行波圖

費希爾方程行波圖

費希爾方程行波圖

費希爾方程行波圖

費希爾方程行波圖

費希爾方程行波圖

費希爾方程行波圖

費希爾方程行波圖

費希爾方程行波圖

費希爾方程行波圖

費希爾方程行波圖

費希爾方程行波圖

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