柯西分布

柯西分布也叫作柯西-勞侖茲分布，它是以奧古斯丁·路易·柯西與亨德里克·勞侖茲名字命名的連續機率分布，其機率密度函數為

${\displaystyle f(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}\!}$

${\displaystyle ={1 \over \pi }\left[{\gamma \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right]\!}$

柯西-勞侖茲分布

機率密度函數 綠線是標準柯西分布
累積分布函數 與上圖中的顏色對應
母數	${\displaystyle x_{0}\!}$ 位置母數（實數） ${\displaystyle \gamma >0\!}$ 尺度母數（實數）
值域	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
機率密度函數	${\displaystyle {\frac {1}{\pi \gamma \,\left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}\!}$
累積分布函數	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}}$
期望值	（沒有定義）
中位數	${\displaystyle x_{0}}$
眾數	${\displaystyle x_{0}}$
變異數	（沒有定義）
偏度	（沒有定義）
峰度	（沒有定義）
熵	${\displaystyle \ln(4\,\pi \,\gamma )\!}$
動差母函數	（沒有定義）
特徵函數	${\displaystyle \exp(x_{0}\,i\,t-\gamma \,|t|)\!}$

其中 ${\displaystyle x_{0}}$ 是定義分布峰值位置的位置母數，${\displaystyle \gamma }$ 是尺度母數，是半峰全寬/四分位距的一半。

作為機率分布，通常叫作柯西分布，物理學家也將之稱為勞侖茲分布或者Breit-Wigner分布。在物理學中的重要性很大一部分歸因於它是描述受迫共振的微分方程式的解。在光譜學中，它描述了被共振或者其它機制加寬的譜線形狀。在下面的部分將使用柯西分布這個統計學術語。

${\displaystyle x_{0}=0}$ 且 ${\displaystyle \gamma =1}$ 的特例稱為標準柯西分布，其機率密度函數為

${\displaystyle f(x;0,1)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}.\!}$

特性

Lorentzian function Imaginary part Maple complex 3D plot

Imaginary plot of Lorentzian function (Maple animation)

其累積分布函數為：

${\displaystyle F(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}}$

柯西分布的逆累積分布函數為

${\displaystyle F^{-1}(p;x_{0},\gamma )=x_{0}+\gamma \,\tan(\pi \,(p-{\frac {1}{2}})).\!}$

柯西分布的平均值、變異數或者動差都沒有定義，它的眾數與中值有定義都等於 ${\displaystyle x_{0}}$。

取 ${\displaystyle X}$ 表示柯西分布隨機變數，柯西分布的特性函數表示為：

${\displaystyle \phi _{x}(t;x_{0},\gamma )=\mathrm {E} (e^{iXt})=\exp(ix_{0}t-\gamma |t|).\!}$

如果 ${\displaystyle U}$ 與 ${\displaystyle V}$ 是期望值為 0、變異數為 1 的兩個獨立常態分布隨機變數的話，那麼比值 ${\displaystyle {\frac {U}{V}}}$ 為標準柯西分布。

標準柯西分布是學生t-分布自由度為1的特殊情況。

柯西分布是穩定分布：如果${\displaystyle X\sim {\textrm {Stable}}(1,0,\gamma ,\mu )}$，則${\displaystyle X\sim {\textrm {Cauchy}}(\mu ,\gamma )}$。

如果 ${\displaystyle X_{1},\cdots ,X_{n}}$ 是分別符合柯西分布的相互獨立同分布隨機變數，那麼算術平均數${\displaystyle {\frac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n})}$ 有同樣的柯西分布。為了證明這一點，我們來計算採樣平均的特性函數：

${\displaystyle \phi _{\overline {X}}(t)=\mathrm {E} \left(e^{i{\overline {X}}t}\right)=\exp({\frac {1}{n}}\cdot n(ix_{0}t-\gamma |t|))=\exp(ix_{0}t-\gamma |t|)\!}$

其中，${\displaystyle {\overline {X}}}$ 是採樣平均值。這個例子表明不能捨棄中央極限定理中的有限變量假設。

洛侖茲線性分布更適合於那種比較扁、寬的曲線；高斯線性分布則適合較高、較窄的曲線。當然，如果是比較居中的情況，兩者都可以。很多情況下，採用的是兩者各占一定比例的做法。如勞侖次占60%，高斯占40%.

勞侖次分布方程式

函數表達式為 ${\displaystyle {\frac {{\frac {1}{2}}\Gamma }{x^{2}+({\frac {1}{2}}\Gamma )^{2}}}}$，其中${\displaystyle \Gamma }$為一個分布算符，詳見伽瑪分布。

外部連結

• 1.埃里克·韋斯坦因. Cauchy Distribution. MathWorld.
• 2.GNU Scientific Library - Reference Manual（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• 3.https://mathworld.wolfram.com/FullWidthatHalfMaximum.html